ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

1บ้านเลขที่70 ซอยข้างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087 www.krusawed.wordpress.com ครูเสวตร
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
1. เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนเต็ม
บทนิยาม เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว
a...aaaan
 จำนวน n ตัว
เรียก n
a ว่ำ เลขยกกาลัง
เรียก a ว่ำ ฐานของเลขยกกาลัง
เรียก n ว่ำ เลขชี้กาลัง
เช่น 23
มี 2 เป็น ฐำน และ มี 3 เป็นเลขชี้กำลัง
ทฤษฎีบท ถ้ำ a , b เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ m และ n เป็นจานวนเต็ม จะได้
1. nmnm
aaa 

2.   nnn
baab 
3.   mnnm
aa 
4. nm
n
m
a
a
a 

5. n
nn
b
a
b
a






6. 
a
7. n
n
a
a


ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปอย่ำงง่ำยและมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
1.  35
22 2.   
32
7
3. 332
)53(  = 4. 4
27
3
33 
 =
5. 



1n2
2n3n
2
22 6. 
)532)(532( 833242

7.
3
4
22
1
3
x
y4
y
x64

 














  =
8.
2
32
2
1
4
32
yx16
z15
yz125
yx4

















=
9.
2
533
154
zyx75
zyx5










=
10.
2
225
531
zyx3
zyx12











=
ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก จงหำคำตอบของข้อต่อไปนี้ในรูปอย่ำงง่ำย
1. 1nn
1nn
22
24217



 =
2. 2n3n
1n2n
33
3237



 =

3. 1n2n
1n1n
777
7572



 =
4.
1 2 3 1
3 4
9 3 27
3
n n n
n
   

  =
ตัวอย่างที่ 3 ถ้ำ n เป็นจำนวนเต็มแล้ว จงหำค่ำของ  
 
n
n
n
nn
nn
















ตัวอย่างที่ 4 ถ้ำ n เป็นจำนวนเต็มแล้ว จงหำค่ำของ 2n
2n
1n
3n
5
6
15
2





ตัวอย่างที่ 5 ถ้ำ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว จงหำค่ำของ  
n2n23n33n
n21n2n2
2
9
1
33
33





ตัวอย่างที่ 6 ถ้ำ n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว จงหำค่ำของ
 
 









n
n
n
n
2. รากที่ n ในระบบจานวนจริง และจานวนจริงในรูปกรณฑ์
- รากที่ 2 ของจานวนจริง
บทนิยาม ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนจริง
a เป็นรำกที่ 2 ของ b ก็ต่อเมื่อ ba 
ตัวอย่างที่ 1 จงหำรำกที่ 2 ของจำนวนในข้อต่อไปนี้
1. รำกที่ 2 ของ 4 คือ ……… และ ………..
2. รำกที่ 2 ของ
9
1 คือ ……… และ ………
3. รำกที่ 2 ของ 6 คือ …………………….
4. รำกที่ 2 ของ 7 คือ ……………………..
สมบัติของรากที่ 2 ที่ไม่เป็นลบ
1. ถ้ำ a  0 และ b  0 แล้ว abba 
2. ถ้ำ a  0 และ b > 0 แล้ว
b
a
b
a

เช่น 62x323 
416
3
48
3
48

- รากที่ n ของจานวนจริง
บทนิยาม ให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มำกกว่ำ 1 a และ b เป็นจำนวนจริง
a เป็นรำกที่ n ของ b ก็ต่อเมื่อ ban

เช่น 3 เป็นรำกที่ 2 ของ 9 ( 32
=9) -2 เป็นรำกที่ 3 ของ -8 ((-2)3
=-8 )
-5 เป็นรำกที่ 4 ของ 625 ((-5)4
=625 ) 2 เป็นรำกที่ 6 ของ 64 (26
=64 )

สมบัติของรากที่ n
1. ถ้ำ a และ b มีรำกที่ n แล้ว nnn
abba 
2. ถ้ำ a และ b มีรำกที่ n และ b แล้ว n
n
n
b
a
b
a

3. ถ้ำ Ra  ที่ทำให้ Ran
 แล้ว   aa
n
n

4. ถ้ำ Ra  และ 
In โดยที่ n แล้ว
a เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
n n
a =
| a | เมื่อ n เป็นจำนวนคู่
5. ถ้ำ Ra  , Ran
 และ m ที่ทำให้ รำกที่ m ของ Ran

แล้ว mnm n
aa 
6. ถ้ำ bayx  แล้ว ax  และ by 
ตัวอย่างที่ 2 ถ้ำ 0x  และ 0y  แล้ว
1. 42
yx
2. 3 96
yx
ตัวอย่างที่ 3 ถ้ำ y,x และ z เป็นจำนวนจริงแล้ว
1. 846
zyx
2. 4 4128
zyx16
ตัวอย่างที่ 4 ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว จงหำค่ำของ 4 248
ba256

ผลบวก ผลต่าง ผลคูณ และผลหารของกรณฑ์
ตัวอย่างที่ 1 จงหำผลสำเร็จของจำนวนต่อไปนี้
1. 3537  =
2.
23
5
22  =
3. ( 2 5)( 5 2)  =
4. 33
53  =
5. )2653)(2352(  =
6.
3
4
12
3
5
 =
7. 333
192281824  =
8.
3
1
310123  =
9.
5
x
5x45
x
5
x4  เมื่อ x

ตัวอย่างที่ 2 จงหำผลคูณและผลหำรของข้อต่อไปนี้
1. (3 2 2 3)( 2 5 3)  
2. 7 4
7 2



3. 6 3 5
6 5



4. 3
3 2
5.
3
5
2

6. 3
5
3
x3
=
7.
732
6

=

3. การหารากที่ 2 ของจานวนที่อยู่ในรูป yx 
ถ้ำ b,a เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง bax  และ aby  แล้ว
1. รำกที่สองของ yx  คือ  ba 
2. รำกที่สองของ yx  คือ  ba 
3. yx  = ba 
ba  เมื่อ ba 
4. yx  = |ba|  =
ab  เมื่อ ba 
ตัวอย่างที่ 1 จงหำรำกที่สองของจำนวนในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. 11 2 24 
2. 13 2 42 
3. 15 4 14 
4.  8813

ตัวอย่างที่ 2 จงหำรำกที่ 2 ของจำนวนต่อไปนี้
1.  215
2.  105125
3.  2432

ตัวอย่างที่ 3 ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนจริงบวก จงหำรำกที่ 2 ของ ab144b8a7 
ตัวอย่างที่ 4 ถ้ำ m และ n เป็นจำนวนจริงบวก จงหำรำกที่ 2 ของ 22
n9m42m4 
ตัวอย่างที่ 5 ถ้ำ x เป็นจำนวนจริงบวก จงหำรำกที่ 2 ของ 15xx222x3 2

ตัวอย่างที่ 6 จงหำผลสำเร็จในแต่ละข้อต่อไปนี้
1. 13 2 40 
2. 22 2 72 

3. 33 12 7 
4. 27 8 17 12 2 28 6 3     
5. 3 3 8 7 4 3    
6. 1 3 4
11 2 30 7 2 10 8 4 3
  
  

4. เลขยกกาลังที่มีเลขชี้กาลังเป็นจานวนจริง
บทนิยาม ถ้ำ 
 In,Ra และ n และ a มีรำกที่ n แล้ว n
1
n
aa 
เช่น 33
1
5
1
5
55,33 
บทนิยาม ให้ In,Im,Ra  โดยที่ In,)n,m(  และ Ra n


โดยเมื่อ m
และ a ไม่เป็นศูนย์แล้ว
 n
1
m
m
n
1
n
m
aaa 









เช่น 


















ตัวอย่างที่ 1 จงหำผลสำเร็จของข้อต่อไปนี้
1. 3
5
3
1
33  = ………………………. 2. 3
1
2
1
77

 = ………………………………..
3. 43
55  = ………………………………..
ตัวอย่างที่ 2 ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว
1.  3
1
612
ba = ………………………………
2.   4
1
812
ba64
 = ………………………………………………
3.  2
1
86
ba81  = ……………………………………………….
ตัวอย่างที่ 3 ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว
1. 3
2
12
6
b27
a64








= ………………………………………………………………………..
2.
12
3
4
4
1
6
2
3
3
1
a
b
b
a


























= …………………………………………………………………….

ตัวอย่างที่ 4 ถ้ำ n เป็นจำนวนเต็มบวก จงหำค่ำของ
1
3 1 2 1
2 1 1
5 5
5 5
n n n
n n
 
 
 
 
 
ตัวอย่างที่ 5 จงหำเซตคำตอบของสมกำร
1
2
7 12 0x x  
ตัวอย่างที่ 6 เซตคำตอบของสมกำร
1
2
7 18 0x x   เท่ำกับเท่ำใด
ตัวอย่างที่ 7 จงแก้สมกำร
3 1
2 2
21 27 7x x x  

5. การแก้สมการที่อยู่ในรูปกรณฑ์
กำรแก้สมกำรในรูปกรณฑ์สำมำรถทำได้โดยกำรกำจัดเครื่องหมำยกรณฑ์โดยใช้การยกกาลังเพื่อให้เครื่องหมำย
กรณฑ์หำยไป แต่คาตอบที่ได้จะต้องตรวจสอบเสมอ
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้สมกำร 9 11x x  
ตัวอย่างที่ 2 จงหำเซตคำตอบของสมกำร 3 3
8 2x x  
ตัวอย่างที่ 3 เซตคำตอบของสมกำร 8 1 1x x     มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด

ตัวอย่างที่ 4 จงหำเซตคำตอบของสมกำร 7 7x x  
ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมกำร 7 2 6 13x x x    
ตัวอย่างที่ 6 เซตคำตอบของสมกำร 1 7
2
1 7
x x
x x
  

  
มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด

ตัวอย่างที่ 7 จงแก้สมกำร 6 11 2 1
3 6
x x
x x
 


6 2 5 11 2x x x x    
ตัวอย่างที่ 9 เซตคำตอบของสมกำร 2 2
3 2 6 1 1x x x x     เท่ำกับเท่ำใด

9 3 4 3 5 11x x x x    
ตัวอย่างที่ 11 จงแก้สมกำร 1 13
1 6
x x
x x

 

22
3 8 1 8
7
x x
x x
x x
   
   
 

6. การแก้อสมการในรูปกรณฑ์
ทำได้คล้ำยกับกำรแก้สมกำรในรูปกรณฑ์แต่คำตอบที่ได้จะต้องนำมำอินเตอร์เซกชันกับค่ำของตัวแปรที่ทำให้ภำยใน
เครื่องหมำยกรณฑ์มำกกว่ำหรือเท่ำกับศูนย์
ตัวอย่างที่ 1 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร 2
2 5 2 5x x  
ตัวอย่างที่ 2 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร 2 2 2 1x x   
ตัวอย่างที่ 3 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร 4 2 8x x   

ตัวอย่างที่ 4 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร 11 6 3x x   
ตัวอย่างที่ 5 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร 2 4x x  
ตัวอย่างที่ 6 จงแก้อสมกำร 2
1 1x x x   

7. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential function )
บทนิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป
  
a,a,ay|RR)y,x(f x
เช่น  x
y|RR)y,x(f  
 x
y|RR)y,x(g  
 x
ey|RR)y,x(h  ( e เป็นจำนวนอตรรกยะ และ ....e  )

















x
y|RR)y,x(w
7.1 กราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกรำฟของฟังก์ชัน x
y 
X -2 -1 0 1 2 3
Y
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกรำฟของฟังก์ชัน
x
y 








X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกรำฟของฟังก์ชัน x
y  , x
y  ,
x
y 







 และ
x
y 








ลงในระบบแกนมุมฉำกเดียวกัน

ข้อสังเกต 1. กรำฟของฟังก์ชัน  a,a,ay x
จะผ่ำนจุด ),(  เสมอ
ทั้งนี้ เพรำะว่ำ 
a
2. ถ้ำ a แล้ว x
ay  เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
ถ้ำ  a แล้ว x
ay  เป็นฟังก์ชันลด
3. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จำก R ไปทั่วถึง 
R
4. โดยสมบัติของฟังก์ชัน 1 – 1 จะได้ว่ำ yx
aa  ก็ต่อเมื่อ yx 
การวาดกราฟของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลโดยอาศัยสมการรูปมาตรฐาน
กำหนดฟังก์ชัน  1a,0a,akyRR)y,x(f hx
 
จำก 1a,0a,aky hx
 
สำมำรถวำดกรำฟได้คร่ำวๆดังนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกรำฟของ 1x
2y 
 และ 1x
2y 

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกรำฟของ
2x
3
1
y







 และ
3x
2
1
y









ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนกรำฟของ x
21y  และ x
22y 
ตัวอย่างที่ 4 จงเขียนกรำฟของ 3x
22y 
 และ 2x
21y 

ตัวอย่างที่ 5 จงเขียนกรำฟของ
2x
2
1
1y







 และ
5x
3
1
1y









7.2 สมการเอกซ์โพเนนเชียล
กำรแก้สมกำรเอกซ์โพเนนเชียลทำได้โดยใช้สมบัติของฟังก์ชัน 1 – 1 คือ
yx
aa  ก็ต่อเมื่อ yx  ( ทำฐำนให้เท่ำกันแล้วจับเลขชี้กำลังเท่ำกัน )
ตัวอย่างที่ 1 จงหำเซตคำตอบของสมกำร 27
3
1
1x







ตัวอย่างที่ 2 จงแก้สมกำร 64
2
1
x23







3|1x2|
25
4
2
5














ตัวอย่างที่ 4 จงหำเซตคำตอบของสมกำร    
4 18 4
18 54 2
xx 

ตัวอย่างที่ 5 จงแก้สมกำร   2323
3x2


ตัวอย่างที่ 7 จงหำเซตคำตอบของสมกำร 032)2(122 xx2

ตัวอย่างที่ 8 จงแก้สมกำร 09)3(26)3(3 xx2


ตัวอย่างที่ 9 จงหำเซตคำตอบของสมกำร 
 xx
ตัวอย่างที่ 10 จงแก้สมกำร  
)(
x
x
ตัวอย่างที่ 11 จงหำเซตคำตอบของสมกำร     
xx

ตัวอย่างที่ 12 จงแก้สมกำร


 xx
7.3 อสมการเอกซ์โพเนนเชียล
หลักทั่วไปของการแก้อสมการ
ใช้ควำมรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ถ้ำ a แล้ว yx
aa  ก็ต่อเมื่อ yx 
ถ้ำ  a แล้ว yx
aa  ก็ต่อเมื่อ yx 
ตัวอย่างที่ 1 จงแก้อสมกำร 8131 x

ตัวอย่างที่ 2 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร
128
1
2 |1x2|


ตัวอย่างที่ 3 จงแก้อสมกำร     1xxo1x4x3o
22
10sin10sin


ตัวอย่างที่ 4 ถ้ำ x แล้ว จงหำเซตคำตอบของอสมกำร 


xx
xx
ตัวอย่างที่ 5 จงแก้อสมกำร    


 xx
xx เมื่อ x
ตัวอย่างที่ 6 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร     


xxx
xx เมื่อ x

ตัวอย่างที่ 7 เซตคำตอบของอสมกำร x
x เมื่อ x มีค่ำเท่ำใด
8. ฟังก์ชันลอการิทึม ( Logarithm function )
บทนิยาม ฟังก์ชันลอกำริทึม คือ ฟังก์ชัน
  
a,a;xlogy|xRR)y,x(f a
ซึ่งเป็นอินเวอร์สของ
ดังนั้น ควำมสัมพันธ์ระหว่ำง x และ y ที่เขียนในรูป y
ax  มีควำมหมำยเดียวกับ xlogy a
ดังนั้น y
ax  ก็ต่อเมื่อ xlogy a
8.1 สมบัติของลอการิทึม
เมื่อ N,M,a เป็นจำนวนจริงบวก  a,a และ n เป็นจำนวนจริง แล้ว
1. NlogMlogMNlog aaa 
2. NlogMlog
N
M
log aaa 





3. MlognMlog a
n
a 
4. aloga
5. alog
6. Ma Mloga

7.
Nlog
Mlog
Mlog
a
a
N  เมื่อ N
8.
alog
Mlog
M
a

 เมื่อ M
9. MlogNlog aa
NM 
10. Mlog
n
Mlog aan


11.
N
M
alog M
aN 

ตัวอย่างที่ 1 จงหำค่ำของข้อต่อไปนี้
1. log216 + log327 + log
4
1
256
2. log2log31012
- log2log3103
3. (log381) (log5125) + (log2781) (log
2
1
64)
4. log23  log34  log45  …  log255256
5. log5625  log7343 + 2 log3900 - 4 log3270
6. log
2
1
8 + log
4
1
16 + log4
4
1 + log168

7. log3log2log2log216
8.
120log
1
2
+
120log
1
3
+
120log
1
4
+
120log
1
5
9. 25 2log1 5
+ 3 2log3
- 16 3log4
10. logatan1 + logatan2 + logatan3 + … + logatan89
11. log2(log3178
) - log2(log3173
) + log5






8
3
log2
5

กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
จำกสมกำร xlogy a ; x และ a จึงสำมำรถแบ่ง a ได้เป็น 2 ช่วง
คือ a และ  a เมื่อนำมำเขียนกรำฟได้ดังนี้
กรณี  a กรณี a
จำกกรำฟจะได้ว่ำ
1. กรำฟของฟังก์ชัน xlogy a ; x และ a ผ่ำนจุด (1,0) เสมอ
2. ถ้ำ  a แล้ว xlogy a เป็น ฟังก์ชันลด
ถ้ำ a แล้ว xlogy a เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม
3. ฟังก์ชันลอกำริทึมเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จำก 
R ไปทั่วถึง R
4. ฟังก์ชันลอกำริทึมเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จะได้ว่ำ ylogxlog aa  ก็ต่อเมื่อ yx 
8.2 ลอการิทึมสามัญ ( Comon logarlithm)
ลอกำริทึมสำมัญ หมำยถึง ลอกำริทึมฐำนสิบ จะเขียน Nlog แทนด้วย Nlog
กำรหำค่ำ Nlog ทำได้โดยเขียน n
AN  โดยที่  A , In 
ดังนั้น   nAloglogAlogAlogNlog nn
 เรียก Alog ว่ำ ค่าแมนทิสซา และ
เรียก n ซึ่งเป็นจำนวนเต็มว่ำ ค่าแคแรคเทอริสติก
ตัวอย่างที่ 1 จงหำค่ำแมนทิสซำและค่ำแคแรคเทอริสติกของลอกำริทึมต่อไปนี้
ข้อ log N ค่ำแมนทิสซำ ค่ำแคแรคเทอริสติก
1.
2.
3.
4.
5.
log 325
log 32500
log 0.0325
log 0.000325
log 0.000000325

ตัวอย่างที่ 2 ถ้ำกำหนดให้ log 4.85 = 0.6857 จงหำค่ำของ
1. log 485 = ……………………………………………………………………………………
2. log 0.485 = ………………………………………………………………………………….
3. log 0.000485 = ……………………………………………………………………………..
4. log 4,850,000 = …………………………………………………………………………….
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ log 0.0631 = - 1.2 และ log 6320 = 3.8007 จงหำ
1. log 0.006317
2. log 631.7
แอนติลอการิทึม (Antilogarithm)
เป็นวิธีกำรหำค่ำ N เมื่อโจทย์กำหนด Nlog ให้ ทำได้โดยอำศัย สมบัติ คือ
1. xalogAnti  ก็ต่อเมื่อ axlog 
2. x)xlog(logAnti 
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ log 5.55 = 0.7443 และ xlog = 3.7443 จงหำค่ำของ x

ตัวอย่างที่ 5 ถ้ำกำหนดให้ log 2.87 = 0.4579 และ log 2.88 = 0.4594 จงหำจำนวนจริง x
เมื่อกำหนดให้ xlog = 4.4586
ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural Logarlithm)
คือ log ฐำน e เมื่อ e เป็นจำนวนอตรรกยะ และ e มีค่ำประมำณ 2.71828 …
xloge จะเขียนแทนด้วย xln
กำรหำค่ำของ xln ทำได้โดยกำรเปลี่ยนให้เป็นลอกำริทึม
ดังนั้น


.
xlog
elog
xlog
xlogxln e หรือ xlog)3026.2(xln 
1. ln กำหนดให้  .log
2. .ln กำหนดให้  ..logAnti
3. 2547.0ln กำหนดให้ 4060.32547log 

1. log [ ln 3.02 +2 ln 3 – ln 10 ]10
กำหนด elog = 0.4343 , e = 2.718
2. 
.ln.lnlne lnln
8.3 สมการลอการิทึม
หลักกำรทั่วไปของในกำรแก้สมกำร
1. สมกำรที่อยู่ในรูป  a,x;cxloga และ a ให้จัดอยู่ในรูป xac

2. สมกำรที่อยู่ในรูป blogxlog aa  ;  b,x ,  a,a
ให้ ปลด log เป็น bx 
ตัวอย่างที่ 1 จงหำจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมกำรในข้อต่อไปนี้
1.


 xlog
2.  )x(log
3. 
 )xx(log

4. 
 )xx(logloglog
5.





xlog
6. xlogxlog 
7. log3 







x1
2 = log3  x4
8. xlog)x(log  
9. xlogxlog  

10.  
xxx x
log
11. )x)(logx(log
12.




log
x
13. xlogxlog  
14.


 xlogxlog

15. 
 xlogxlog
16. )()( loglogxlog 

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้  
ba,alogblog ba และ ba  แล้ว ab มีค่ำเท่ำใด

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้  
y
x
y,ylogxlog xy และ yx  จะได้ xy
มีค่ำเท่ำใด
ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ xy  ถ้ำให้  )yx(log และ   ylogxlog แล้ว
ค่ำของ )xy(log)yx(log  

 มีค่ำเท่ำใด

8.4 อสมการลอการิทึม
หลักกำรทั่วไปของกำรแก้อสมกำร
ใช้ควำมรู้เรื่องฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดมำช่วยในกำรแก้ปัญหำ
นั่นคือ เมื่อ x และ x
1. ถ้ำ a แล้ว   xlogxlog aa ก็ต่อเมื่อ   xx
2. ถ้ำ  a แล้ว   xlogxlog aa ก็ต่อเมื่อ   xx
ตัวอย่างที่ 1 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร )x(log)x(log  
ตัวอย่างที่ 2 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร )x(log)x(log 




ตัวอย่างที่ 3 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร )xlog()xxlog( 



ตัวอย่างที่ 4 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร )xx(log)xx(log xx  
ตัวอย่างที่ 5 จงหำเซตคำตอบของอสมกำร )x(log   
ตัวอย่างที่ 6 กำหนดช่วง )b,a( เป็นเซตคำตอบของอสมกำร 
 logxlog
x)( แล้ว ba  มีค่ำเท่ำใด

ตัวอย่างที่ 7 กำหนดให้  


  xlogxlog|RxS xx
จำนวนสมำชิกของ S ที่
เป็นจำนวนเต็มซึ่งน้อยกว่ำ 20 เท่ำกับเท่ำใด
ข้อสอบ Entrance
1. เซตคำตอบของสมกำร )01.0(log)4xx(log 1.0
22
2  เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้
ก. R – [-2,2]
ข. R – [-1,3]
ค. [-4,2]
ง. [-3,3]
2. เซตคำตอบของสมกำร   x3log 30x3x
9
2

เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้
ก. (-11,0)
ข. (0,8)
ค. (-10,5)
ง. (-7,7)

3. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมกำร 0
4x3x
1
logloglog 3
2
2
1
3
1
4
1 









เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 1
ข. 2
ค. 3
ง. 4
4. ถ้ำ x และ y ที่เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องกับระบบสมกำร
  4logxlog5.0log2 35.03 
3y21y
23 

แล้ว x และ y เป็นจริงตำมข้อใดต่อไปนี้
ก. x0y 
ข. yx0 
ค. xy0 
ง. yx0 
5. ถ้ำ
















4
9
3
2
|RxA
)x1(x
แล้วเซต B เป็นช่วงในข้อใดต่อไปนี้ที่ทำให้  AB
ก. (-2,-1)
ข. (-1,0)
ค. (0,1)
ง. (1,2)

6. 91log325log28log
100
1
10
110  มีค่ำตรงกับข้อใด
ก. 0
ข. 1
ค. 2
ง. 3
7. กำหนดให้ y,x สอดคล้องกับระบบสมกำร
1649 ylogxlog 23
 และ 2log2ylogxlog 3
3
13 
แล้ว |yx| 22
 มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 75 
ข. 75 
ค. 75
ง. 710
8. กำหนดให้ A =  








 )3(533 2
1
x
x2
255|Rx ผลบวกของสมำชิกทั้งหมดของ A
มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 0
ข. 1
ค. 2
ง. 3

9. กำหนดให้ a , b เป็นคำตอบของสมกำร 53log6xlog x3  โดยที่ a < b
ถ้ำ A = { ]b,a[x|Ix  
และ 3 หำร x ลงตัว } เมื่อ 
I เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
แล้ว A มีจำนวนสมำชิกเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 6
ข. 7
ค. 18
ง. 19
10. ถ้ำ x เป็นรำกของสมกำร x1x5x1x3
752562  
แล้ว x มีค่ำตรงกับข้อใด
ก. 0.25
ข. 0.50
ค. 0.75
ง. 1
11.




 

6353
2733
log3
ก. 







 23log
4
3 4
1
3
ข. 







 23log
4
1 2
1
3
ค. 19log
4
1
4
3
3
ง. 19log
4
1
4
1
3

12. กำหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ U =  
 In|n เมื่อ 
I เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
พิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้
1. x [ 4)2(182 x3x2

=0 ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
2. x [ 2)1x(log)2x(log 22  ] มีค่ำควำมจริงเป็นจริง
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. 1. ถูก และ 2. ถูก
ข. 1. ถูก แต่ 2. ผิด
ค. 1. ผิด แต่ 2. ถูก
ง. 1. ผิด และ 2. ผิด
13. กำหนดให้ A เป็นเซตคำตอบของสมกำร x9x
3
3 xlog

และ B เป็นเซตคำตอบของสมกำร
3
x
xlog x
3 
ถ้ำ C = { ab | a A และ bB } แล้ว เซตในข้อใดต่อไปนี้เป็นสับเซตของ C
ก.







 
23
1
3,3
ข.







 
3
4
3
1
3,3
ค.







 23
4
3,3
ง.







 
3
2
3
1
3,3
14. กำหนด A เป็นเซตคำตอบของอสมกำร 0)x2x(logloglog 2
234  จำนวนเต็มที่เป็น
สมำชิกของ A มีทั้งหมดกี่จำนวน
ก. 3 จำนวน
ข. 4 จำนวน
ค. 5 จำนวน
ง. 6 จำนวน

15. เซตคำตอบของอสมกำร
)x(
)x(x






เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้
ก. (1,)
ข. (-2,100)
ค. (-10,10)
ง. (-,2)
16. ให้ช่วงเปิด (a,b) เป็นเซตคำตอบของอสมกำร
    11xlog4x3log  แล้ว a+b มีค่ำตรงกับข้อใด
ก. 3
ข. 4
ค. 5
ง. 6
17. ถ้ำ
4
x0

 แล้วเซตคำตอบของอสมกำร
x2coslogxcoslogx2sinlogxsinlog 5.05.05.05.0  คือเซตในข้อใดต่อไปนี้
ก. 
ข. 




 
6
,0
ค. 




 
6
,
12
ง. 




 
4
,
6

18. เซตคำตอบของสมกำร xx2x2
6132934  เป็นสับเซตในข้อใดต่อไปนี้
ก. [-4,0]
ข. [-3,1]
ค. [-2,2]
ง. [1,3]
19. ค่ำ x ที่สอดคล้องกับสมกำร     5x5xxlog12xlog
3log
x2log
33 
มีค่ำตรงกับข้อใด
ก. –14
ข. -13
ค. 13
ง. 14
20. กำหนดให้ a > 0 เป็นคำตอบของสมกำร 02294 1aa
 
แล้ว เซตคำตอบของอสมกำร
    41xlog2xlog2 aa  เป็นสับเซตของช่วงใดต่อไปนี้
ก. (-3 ,3)
ข. (-2 ,7)
ค. (0 ,8)
ง. (1 ,10)

21. กำหนดให้ 2))x(log(loglog 248  ถ้ำ )2( n
4x  แล้ว n มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
22. ให้ A เป็นเซตคำตอบของอสมกำร   xlogxlogxlog และ
B เป็นเซตคำตอบของอสมกำร 1)3(263 3x23x4
 
แล้ว BA คือช่วงใน
ข้อใดต่อไปนี้
ก. 





2
3
,0
ข. 





16,
2
3
ค.  3,0
ง.  16,3
23. เซตคำตอบของอสมกำร     0x1log24 2x
 เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี้
ก. 






2
1
,2
ข. 





 2,
2
1
ค.  10,0
ง. 





20,
2
1

24. กำหนดให้ S เป็นเซตคำตอบของอสมกำร 







x
x
logx และ  Sx|xlogT  
แล้ว T เป็น
สับเซตของช่วงใดต่อไปนี้
ก. ],[ 
ข. ],[ 
ค. 









,
ง. 









,
25. ถ้ำ b,a เป็นคำตอบของสมกำร   xxx
แล้วคำตอบของสมกำร
xx
)ab()ab( 
ก.


loglog
log
ข.
16log7log
4log

ค.


log
ง.


log
26. ผลบวกของคำตอบของสมกำร    12log2624log 1x
2
1x1x
2  
มีค่ำเท่ำใด

27. กำหนดให้ S เป็นเซตคำตอบของอสมกำร 022924
1
10
x
log
xlog 2








ถ้ำ a และ b เป็นสมำชิกของ S ที่มีค่ำมำกสุดและค่ำน้อยสุด ตำมลำดับ แล้ว
b
a
ก. 20
ข. 100
ค. 200
ง. 1000
28. ผลบวกของคำตอบของสมกำร      14logx9log3log21 x9x  มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
29. ให้ S เป็นเซตคำตอบของอสมกำร
9)5(12115 xx2

ถ้ำ a และ b เป็นสมำชิกของ S ที่มีค่ำมำกที่สุดและน้อยที่สุด ตำมลำดับ
แล้ว ba  เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 15log5
ข. 20log5
ค. 2
ง. 30log5

30. ผลบวกของคำตอบของสมกำร 018)4(9)3(212 xxx
 มีค่ำเท่ำกับเท่ำใด
31. ให้ S เป็นเซตคำตอบของอสมกำร     1xlog9logxloglog 2

ถ้ำ a และ b เป็นสมำชิกของ S ที่มีค่ำมำกที่สุดและค่ำน้อยที่สุด ตำมลำดับ
แล้ว ab มีค่ำเท่ำกับข้อใด
ก. 2
7
10
ข. 2
9
10
ค. 2
11
10
ง. 2
13
10
32. ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. 7 5 7log 3 log 3 log 10 
ข. 5 7 7log 3 log 3 log 10 
ค. 7 7 5log 3 log 10 log 3 
ง. 7 5 7log 10 log 3 log 3 

33. จานวนเต็ม ที่สอดคล้องกับอสมกำร
 1 3
2
log log x 1 1    
มีจำนวนเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 6
ข. 7
ค. 8
ง. มำกกว่ำ 8
34. ถ้ำ log23 = 1.59 แล้ว ค่ำของ x ซึ่งสอดคล้องสมกำร 22x + 1
 32x + 2
= 122x
เท่ำกับเท่ำใด
35. กำหนดให้ A = {z  R | z = y
x
และ 6 log (x – 2y) = log x3
+ log y3
}
ผลบวกของสมำชิกทั้งหมดในเซต A มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 3
ข. 4
ค. 5
ง. 6

ข้อสอบ B-PAT1 ตุลาคม 2551
36. ถ้ำ 6 x + y
= 36 และ 5x + 2y
= 125 แล้วค่ำของ x เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 1
ข. 1.5
ค. 2
ง. 2.5
37. ถ้ำ       yxyx loglog12log9log4
22
 แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. xy 2
ข. yx 2
ค. 23
yx 
ง. 32
yx 
38. ถ้ำ 2xy แล้ว
 
 2
2
2
2
yx
yx


ก. 4
ข. 8
ค. 64
ง. 256
39. กำหนดให้ A และ B เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้ำ 12log5log 5050  BA แล้ว BA เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 2
ข. 3
ค. 4
ง. 5

ข้อสอบ PAT1 มีนาคม 2552
40. ถ้ำ 4x y
= 128 และ 2
3 x y
=81 แล้วค่ำของ y เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. -2
ข. -1
ค. 1
ง. 2
41. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมกำร 3log 1 log 9xx   อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้
ก. [0, 4)
ข. [4, 8)
ค. [8, 12)
ง. [12, 16)
42. กำหนดสมกำร 4
25
x
 
 
 
+ 9
25
x
 
 
 
= 1 จงพิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้
1. ถ้ำ a เป็นคำตอบของสมกำรแล้ว 1a 
2. ถ้ำสมกำรมีคำตอบ แล้วคำตอบจะมีเพียงค่ำเดียว
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. 1.ถูก และ 2.ถูก
ข. 1.ถูก และ 2.ผิด
ค. 1.ผิด และ 2.ถูก
ง. 1.ผิด และ 2.ผิด

ข้อสอบ PAT1 กรกฎาคม 2552
43. คำตอบของสมกำร 22
log (4 ) log (9 4 ) 1x x    อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้
ก.  10, 6 
ข.  6, 2 
ค.  2,2
ง.  2,6
44. กำหนดให้ , 0x y  ถ้ำ y x
x y และ 5y x แล้ว ค่ำของ x อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้
ก.  0,1
ข.  1,2
ค.  2,3
ง.  3,4
45. กำหนดให้ , , 1a b c 
ถ้ำ log 30,log 50a bd d  และ log 15abc d  แล้วค่ำของ logc d เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ก. 75
ข. 90
ค. 120
ง. 150

เฉลยข้อสอบ Entrance
1. ง 2. ง 3. ค 4. ข 5. ข 6. ค
7. ค 8. ข 9. ก 10. ก 11. ก 12. ค
13. ข 14. ข 15. ง 16. ก 17. ง 18. ค
19. ค 20. ง 21. 127 22. ก 23. ก 24. ก
25. ง 26. 3 27. ง 28. 9 29. ข 30. 2.5
31. ข 32. ก 33. ข 34. 2.09 35. ข 36. ก
37. ง 38. ง 39. ข 40. ข 41. ค 42. ค
43. ค 44. ข 45. ก

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

More from sawed kodnara

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม