1. ใบความร้ ูที 5.1
เรือง รากที 2 ของจํานวนเชิ งซ้ อน
รากทีสองของจํานวนเชิ งซ้ อน (Square Roots of Complex Number)
็่
ให้ z , w เป็ นจํานวนเชิงซ้อนใดๆ w เป็ นรากทีสองของ z กตอเมือ w 2 = z
่
ตอไปนี# จะแสดงวิธีการหาสู ตร เพือใช้ในการหารากทีสองของจํานวนเชิงซ้อนใดๆ
่ ่ ั
ให้ z = x + yi เป็ นจํานวนเชิงซ้อนซึ ง x และ y เป็ นจํานวนจริ งทีไมใชศูนย์ พร้อมกน
และ ให้ w = a + bi เป็ นรากทีสองของ z
จะได้ w2 = z
(a + bi) 2 = x + yi
(a + bi)(a + bi) = x + yi
a 2 + abi + abi + (bi) 2 = x + yi
(a 2 − b 2 ) + 2abi = x + yi
่
จึงทําให้ได้วา a 2 − b 2 = x ………………………….(1)
และ 2ab = y ………………………….(2)
ดังนั# น ( a 2 + b 2 ) 2 = a 4 + 2a 2 b 2 + b 4
= ( a 2 − 2a 2 b 2 + b 4 ) + 4a 2 b 2
= (a 2 − b 2 ) 2 + (2ab) 2
= x 2 + y2
จะได้ a 2 + b2 = x 2 + y2 …………………(3)
นําสมการ (1) + (3) จะได้ 2a 2 = x 2 + y 2 + x
x 2 + y2 + x
a2 =
2
x2 + y2 + x
a=± และ
2
นําสมการ (3) – (1) จะได้ 2b 2 = x 2 + y 2 − x
x 2 + y2 − x
b2 =
2
x 2 + y2 − x
b=±
2

2. ่ ่
แตรากทีสองของ z มีเพียงจํานวนเดียวเทานั# น เราจึงต้องเลือกเครื องหมายของ a และ b
่
ให้ถูกต้องโดยสังเกตจากสมการ (2) ซึ งแสดงวา 2ab = y นันคือเครื องหมายของผลคูณ ab ต้อง
ั
เหมือนกบเครื องหมายของ y เราจึงเลือก a และ b ดังนี#
ถ้า y ≥ 0 รากทีสองของ z คือ
x 2 + y2 + x x 2 + y2 − x x 2 + y2 + x x 2 + y2 − x
+ i ั
กบ − − i
2 2 2 2
ถ้า y<0 รากทีสองของ z คือ
x 2 + y2 + x x 2 + y2 − x x 2 + y2 + x x 2 + y2 − x
− i ั
กบ − + i
2 2 2 2
เราจึงสรุ ปเป็ นทฤษฎีบทได้ดงนี#
ั
ํ
ทฤษฎีบท กาหนดจํานวนเชิ งซ้อน z = x + yi และให้ r = x 2 + y2
่
จะได้วารากทีสองของ z คือ
 r+x r−x 
กรณี ที 1 ± 
 + i เมือ y≥0
 2 2 
 r+x r−x 
กรณี ที 2 ±
 − i เมือ y<0
 2 2 
สมบัตของรากทีสองของจํานวนเชิงซ้ อน
ิ
่
ให้ z , w เป็ นจํานวนเชิงซ้อนใดๆ จะได้วา
็่ ่
1. w 2 = 0 กตอเมือ w = 0 นันคือรากทีสองของ 0 มีจานวนเดียวคือ 0 เทานั# น
ํ
2. ถ้า w เป็ นรากทีสองของ z แล้ว - w เป็ นรากทีสองของ z ด้วย
่
3. รากทีสองของจํานวนเชิงซ้อน z ≠ 0 จะมีเพียงสองจํานวนเทานั# น
4. ถ้า z = x + yi และ r = x 2 + y 2 แล้ว z มีรากทีสองเป็ นดังนี#
 r+x r−x 
่ ั 
4.1 รากทีสองของ z เทากบ ±  + i เมือ y≥0
 2 2 
 r+x r−x 
่ ั 
4.2 รากทีสองของ z เทากบ ±  − i เมือ y<0
 2 2 

3. ตัวอย่ างที 1 จงหารากทีสองของ 3 + 4i
วิธีทา ให้ z = x + yi = 3 + 4i
ํ
จะได้ x = 3 , y = 4
และ r = x 2 + y 2
r = 32 + 4 2
r = 9 + 16
r = 25
r=5
ดังนั# น รากทีสองของ z คือ
 r+x r−x   5+3 5−3 
±
 + i  = ± + i
 2 2  

 2 2 
= ± (2 + i)
ั
รากทีสองของ 3 + 4i คือ 2 + i กบ − 2 − i
่
ในกรณี ทีจํานวนเชิงซ้อนเป็ นจํานวนจริ งลบ การหารากทีสองสามารถทําได้โดยงายดังนี#
่
ให้ z = −a เมือ a เป็ นจํานวนจริ งบวก จะได้วารากทีสองของ z คือ a i และ − a i
่
เชน รากทีสองของ − 9 คือ 3i และ − 3i
รากทีสองของ − 5 คือ 5i และ − 5i

4. แบบฝึ กทักษะที 5.1
่
จงหารากทีสองของจํานวนเชิ งซ้อนตอไปนี#
1. − 16i
2. 5 + 12i
3. 3 − 4i
4. 8 − 6i
5. 1 − 2 2i
6. − 8 + 6i
7. 5 − 12i
ใบความร้ ูที 5.2

5. เรือง สมการพหนามกําลังสอง
ุ
การแก้ สมการพหุนามกําลังสอง
สมการพหุ นาม ax 2 + bx + c = 0 เมือ a , b และ c เป็ นจํานวนจริ ง โดยที a ≠ 0
มีคาตอบของสมการพหุ นาม ดังนี#
ํ
− b ± b 2 − 4ac
1. x= เมือ b 2 − 4ac ≥ 0
2a
−b± b 2 − 4ac i
2. x= เมือ b 2 − 4ac < 0
2a
ตัวอย่ างที 2 จงหาเซตคําตอบของ x 2 − 4x + 5 = 0
ํ ั
วิธีทา จากสมการพหุ นามทีกาหนดเมือเทียบกบสมการ ax 2 + bx + c = 0
ํ
จะได้ a = 1 , b = −4 และ c = 5
ดังนั# น b 2 − 4ac = (−4) 2 − (4)(5)(1)
= 16 − 20
= −4 ซึ ง −4<0
− ( − 4) ± 4i
จะได้ x=
2
4 ± 2i
x=
2
x = 2±i
เซตคําตอบคือ {2 + i,2 − i}
แบบฝึ กทักษะที 5.2

6. ่
จงหาเซตคําตอบของสมการตอไปนี#
1. x 2 = −4
2. x 2 + 48 = 0
3. x 2 − 2x + 40 = 0
4. x 2 − 2x + 8 = 0
5. x 2 − 2x − 1 = 0
6. x 2 − x − 6 = 0
7. x 2 + 2x + 4 = 0
8. (x + 1) 2 + 49 = 0