พีชคณิตเชิงเส้น

1. โดย ..... นางสาวจารุวรรณ บุญชลาลัย
โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ตรัง

2. (Operations with Matrices)

6. ตัวอย่าง จงตรวจสอบว่า A = B หรือไม่ เมื่อ
𝐴 =
2 1
0 3
และ B =
4 𝑎0
log𝑎 1 ln ⅇ3

7. (Matrix Addition and Scalar Multiplication)

8. (Matrix Addition and Scalar Multiplication)

9. (Matrix Addition and Scalar Multiplication)
สามารถนิยามการลบของเมทริกซ์ได้ดังนี้

12. ตัวอย่าง กาหนดเมทริกซ์ดังต่อไปนี้
𝐴 =
2 6
−5 3
, 𝐵 =
0 2
5 7
, 𝐶 =
5 −8 0
1 10 7
, D =
9 2
3
1
0
8
และ 𝐸 =
3 5
2
0
−3
7
จงหา 2A , -5B , 3C , A + C จงหา A + B , B + A , D + E

15. ตัวอย่างการพิสูจน์

16. หมายเหตุ
ขาดสมบัติบางประการของ Field คือ Inverse การคูณ
เพราะ Metrix บาง Metrix หา Inverse ไม่ได้

17. ตัวอย่าง Solving a Matrix Equation
กาหนด 𝐴 =
1 −2
0 3
, 𝐵 =
−3 4
2 1
จงหาเมทริกซ์ A ที่ทาให้ 2X + A = B

30. 𝐴 =
1 2 3 4
5
9
6 7 8
10 11 12
=
A11 A12
A21 A22
สาหรับเมทริกซ์ A ขนาด m x n หากแบ่งส่วนเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์ย่อย เรียกว่า
เมทริกซ์แบบบล็อก (Block Matrix) ที่มีขนาดเล็กกว่าเมทริกซ์ A เช่น
𝐴 =
1 2 3 4
5
9
6 7 8
10 11 12
= 𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4
𝐴 =
1 2 3 4
5
9
6 7 8
10 11 12
=
𝑅1
𝑅2
𝑅3
𝑅4

34. ทรานสโพสของเมทริกซ์ คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการนาสมาชิกทั้งหมดในแถวที่ 1 ของ
เมทริกซ์ A มาเขียนเป็นสมาชิกในหลักที่ 1 และนาสมาชิกทั้งหมดในแถวที่ 2 ของเมทริกซ์ A
มาเขียนเป็นสมาชิกหลักที่ 2 และทาเช่นนี้จนหมดทุกแถว
แทนทรานสโพสของ A ด้วย AT หรือ At
=[bij]nxm

35. จงหาทรานสโพสของเมทริกซ์ต่อไปนี้
𝐴 =
2 6
−5 3
, 𝐵 =
0 2
5 7
, 𝐶 =
5 −8 0
1 10 7
, D =
9 2
3
1
0
8
และ E =
3 5
2
0
−3
7

42. ทฤษฎีบท
ถ้า R เป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดลดรูปตามแถวที่มีมิติ n x n แล้ว R จะมีลักษณะอย่างใด
อย่างหนึ่งระหว่าง R มีแถวที่เป็นศูนย์หมด หรือ R จะเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
หากต้องการหาคาตอบของสมการ ax = b เริ่มจากการนาอินเวอร์สการคูณของ a
หรือ a-1 มาคูณทางซ้ายของสมการทั้งสองข้าง(โดยที่ a ≠ 0)
ax = b
(a-1a)x = a-1b
(1)x = a-1b
x = a-1b
a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณของ a เนื่องจาก a-1a = 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

43. นิยาม
กาหนดให้ A , B มีมิติ n x n
B เป็นอินเวอร์สการคูณของ A ก็ต่อเมื่อ AB = BA = In
ถ้า A หาอินเวอร์สการคูณไม่ได้ เรียก A ว่าเมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix)
ถ้า A หาอินเอวร์สการคูณได้ เรียก A ว่าเมทริกซ์มิใช่เอกฐาน (non-singular matrix)

44. ตัวอย่าง จงแสดงว่า B เป็นอินเวอร์สการคูณของ A เมื่อ
𝐴 =
−1 2
−1 1
, 𝐵 =
1 −2
1 1

45. ทฤษฎีบท
ถ้า B และ C เป็นอินเวอร์สการคูณของ A แล้ว B = C

46. ทฤษฎีบท ถ้า A = [a] โดยที่ a ≠ 0 แล้วอินเวอร์สการคูณของ A หาได้จาก
𝐴−1
=
1
𝑎

47. ทฤษฎีบท
ถ้า โดยที่ ad – bc ≠ 0 แล้วอินเวอร์สการคูณหาได้จาก
 
=  
 
a b
A
c d
−
−
 
=  
−
−  
1 1 d b
A
c a
ad bc

48. ตัวอย่าง จงหาอินเวอร์สการคูณของ A และ B เมื่อ
 
=  
 
2 1
6 3
A
 
=  
−
 
2 6
1 3
B

49. สมบัติของอินเวอร์สของเมทริกซ์

50. สมบัติของอินเวอร์สของเมทริกซ์
−1
A

51. −1
A
ทฤษฎีบท
ถ้า E เป็นเมทริกซ์มูลฐานมีมิติ m x m และ A เป็นเมทริกซ์ใดๆ ที่มิติ m x n แล้วผลคูณของ EA
จะเป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการใช้การดาเนินการตามแถวเบื้องต้นชนิดเดียวกับ E บน A

52. −1
A

53. −1
A

59. −1
A

60. −1
A

61. −1
A

62. −1
A

63. ทฤษฎีบท
ให้ A , B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีมิติเดียวกัน ถ้า AB มีอินเวอร์สการคูณ แล้ว A และ B ต้องมี
อินเวอร์สการคูณ

67. ผลสรุปที่เกี่ยวข้องกับการคูณของเมทริกซ์ทแยงมุม และตัวผกผันคือ
1. DA ได้มิติเดียวกับมิติของ A สมาชิกที่เกิดจากการนา d1 , d2 , … , dn ไปคูณเมทริกซ์ในแถวที่
1 , 2 , ... , n ของ A ตามลาดับ
2. AD ได้ [aij] mxn มิติเดียวกับมิติของ A ที่มีสมาชิกที่เกิดจากการนา d1 , d2 , … , dn ไปคูณเมทริกซ์
ในหลักที่ 1 , 2 , ... , n ของ A ตามลาดับ
3. การยกกาลัง D = diag[3 , -1 , 2]
D3 = diag[33 , (-1) 3 , 23] = diag[27 , -1 , 8]
4. การหา D-1 ถ้า D = [d1 , d2 , … , dn ] D หาตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อ D ≠ 0
D-1 = diag[
1
𝑑1
,
1
𝑑1
, … ,
1
𝑑𝒏
]