สิ่งพิมพ์ เรื่อง เมทริกซ์ จัดทำโดย นางสาว พรพิมล จันทร์สว่าง 563050111-3 เสนอ อ.ดร.อนุชา โสมาบุตร

2. เมทริกซ์(matrix)
รายวิชา นวัตกรรมการศึกษา
สอนโดย
อาจารย์ ดร.อนุชา โสมาบุตร
จัดทาโดย
นางสาวพรพิมล จันทร์สว่าง
รหัสนักศึกษา 5630501113 ชั้นปีที่ 2
คณะศึกษาศาสตร์ สาขาวิชาคณิตศาสตรศึกษา
มหาวิทยาลัยขอนแก่น

3. สารบัญ
เรื่อง หน้าที่
เมทริกซ์ คือ อะไร 1
ลักษณะการเขียนเมทริกซ์ 3
ประเภทของเมทริกซ์ 4
การดาเนินการบนเมทริกซ์ 7
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 12
เมทริกซ์ผกผัน 18
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ 20
แบบฝึกหัดเสริมสร้างความรู้ 25
เอกสารอ้างอิง 27
คานา
สมุดเล่มเล็กเล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของรายวิชานวัตกรรมการศึกษา ซึ่ง เป็นการนาเอาวิชาความรู้ที่มีอยู่แล้วของเรา มาประยุกต์ให้เข้ากับโลก สมัยใหม่ โดยใช้นวัตกรรมที่ก้าวหน้ามาพัฒนาวิชาชีพให้ดีขึ้น
และเรื่องที่นามาให้ศึกษานั้น คือ เมทริกซ์ ซึ่งเมทริกซ์เป็นสาขา หนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้น ซึ่งสามารถนาไปประยุกต์ใช้ประโยชน์ต่างๆ มากมาย
หากเนื้อหามีข้อบกพร่องประการใด ก็ขออภัยไว้ ณ ที่นี้ด้วย
จัดทาโดย
นางสาวพรพิมล จันทร์สว่าง

4. คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
เมทริกซ์ คือ
เมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) ซึ่งสามารถ นาไปประยุกต์ใช้ประโยชน์ต่างๆมากมาย เช่น การแก้ระบบสมการเชิงเส้น การ วิเคราะห์เชิงพีชคณิตและเรขาคณิต ใช้จัดเก็บข้อมูลต่างๆ (MS Excel) ใช้ในการ เก็บ -วิเคราะห์ข้อมูลของโปรแกรมต่างๆ (JAVA, C++) รวมถึงการวิเคราะห์ เกี่ยวกับอิเล็กตรอนและอนุภาคอื่นๆในสาขาฟิสิกส์นิวเคลียร์
เมทริกซ์ ( Matrix) คือ กลุ่มของจานวนที่นามาเขียนเรียงกันอย่างมี ระเบียบภายในเครื่องหมายวงเล็บ โดยจานวนเหล่านี้จะเรียงกันเป็นแถว ซึ่งใน แต่ละแถวจะมีจานวนหลักเท่ากันทุกแถว
1

5. 2
เมทริกซ์
คณิตศาสตร์
เราเรียกจานวนที่อยู่ในเมทริกซ์ว่า สมาชิกของเมทริกซ์ ซึ่งเราจะระบุตาแหน่งของสมาชิกในเมทริกซ์ โดยบอกแถว (row) และหลัก (column) ของสมาชิก
เรามักใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวใหญ่แทนเมทริกซ์ และใช้ตัวอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กซึ่งเขียนตัวเลข 2 ตัวห้อย ต่อไว้ทางด้านขวาแทนสมาชิก (เช่น aijคือ สมาชิกของเมท ริกซ์ A ที่อยู่ที่แถวที่ i หลักที่ j)
ขนาดของเมทริกซ์จะเรียกว่า มิติของเมทริกซ์
โดยเมทริกซ์ที่มี m แถว n หลักจะมีขนาด m x n มิติ
3
ลักษณะการเขียนเมทริกซ์
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์

6. 4
เมทริกซ์
คณิตศาสตร์
ประเภทของเมทริกซ์
1. เมทริกซ์ศูนย์(Zero matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัว เป็นศูนย์ เขียนแทนด้วย 0
2. เมทริกซ์แถว (Row matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีแถวเพียงแถวเดียว
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
3. เมทริกซ์หลัก (Column matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีหลักเพียงหลักเดียว
4. เมทริกซ์จัตุรัส (Square matrix) คือ เมทริกซ์ที่มีจานวนแถวเท่ากับ จานวนหลัก (มีมิติ n x n)
5

7. 6
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
เมทริกซ์จัตุรัสยังอาจแบ่งประเภทย่อยๆได้เป็น
4.1 เมทริกซ์เอกลักษณ์(Identity matrix) คือ เมทริกซ์ จัตุรัส (หรือเมทริกซ์ทแยงมุม) ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่ง สมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ In หรือเพียงแค่ I (ไอ) ส่วนทางกลศาสตร์ควอนตัมจะ
4.2 เมทริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular matrix) คือ เมทริกซ์ซึ่ง มีสมาชิกที่อยู่เหนือหรือใต้เส้น
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
7
การดาเนินการบนเมทริกซ์
1. การเท่ากันของเมทริกซ์
เมทริกซ์ A และ B จะเท่ากันกันได้ ก็ต่อเมื่อ
- A และ B ต้องมีมิติเท่ากัน (m = p และ n = q)
- สมาชิกที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกันต้องมีค่าเท่ากัน (aij = bij)
2. การบวก-ลบเมทริกซ์
การบวก-ลบ เมทริกซ์ทาได้โดยนาสมาชิกที่ตาแหน่งเดียวกันมา บวก-ลบ กัน ซึ่งเราจะบวก-ลบ เมทริกซ์ ได้เมื่อ เมทริกซ์ที่นามาบวก-ลบ กัน มีมิติเท่ากัน

8. คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
8
3. สมบัติเกี่ยวกับการบวกของเมทริกซ์
กาหนด A , B และ C เป็นเมทริกซ์มิติm x n
1. สมบัติปิดของการบวก A , B เป็นเมทริกซ์มิติ m x n แล้ว A + B เป็น เมทริกซ์มิติ m x n
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก A + B = B + A
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก (A + B) +C = A + (B + C)
4. สมบัติการมีเอกลักษณ์ของการบวก จะมีเมทริกซ์ 0 ซึ่งทาให้
A + 0 = 0+ A = A เรียก 0 ว่า เอกลักษณ์ของการบวกของเมทริกซ์
5. สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก สาหรับเมทริกซ์ A จะมีเมทริกซ์ -A ซึ่งทาให้
A + (-A) = (-A) + A = 0 เรียก -A ว่า อินเวอร์สของการบวกของ A
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
9
4. การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริง
การคูณเมทริกซ์ด้วยจานวนจริงทาได้โดย นาสมาชิกทุก ตาแหน่งในเมทริกซ์คูณด้วยจานวนจริงนั้น
5.การคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
กาหนด A = [a ] ij m n และ B = [b ] ij p q เป็นเมทริกซ์
- เมทริกซ์ A และ B จะคูณกันได้เมื่อ n = p (จานวนหลักของ A เท่ากับ จานวนแถวของ B)
- เมทริกซ์ผลคูณ A x B จะเป็นเมทริกซ์มิติ m x q
- สมาชิกแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ผลคูณ A x B จะหาได้โดยการ นาสมาชิกในแถวที่ i ของ
A มาคูณกับสมาชิกในหลักที่ j ของ B เป็นคู่ๆ แล้วนามาบวกกัน

9. 10
กาหนด A , B และ C เป็นเมทริกซ์
1. สมบัติปิดของการคูณ A , B เป็นเมทริกซ์แล้ว A x B ยังคงเป็นเมท ริกซ์
2. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ (A x B) x C = A x (B x C)
3. สมบัติการมีเอกลักษณ์ของการคูณ จะมีเมทริกซ์ I ซึ่งทาให้
A x I = I x A = A เรียก 0 ว่า เอกลักษณ์ของการบวกของเมทริกซ์
4. สมบัติการมีอินเวอร์สของการคูณ สาหรับเมทริกซ์ A จะมีเมทริกซ์ A-1 ซึ่งทาให้
A x A-1= A-1 x A = I
เรียก A-1ว่า อินเวอร์สของการบวกของ A (มีเฉพาะบางเมทริกซ์)
5. สมบัติการแจกแจง A x (B + C) = A x B + A x C
ข้อควรระวัง ! เมทริกซ์ไม่มีสมบัติการสลับที่และสมบัติการมีอินเวอร์สสาหรับ การคูณ ดังนั้น สมบัติที่เป็นจริงบางประการในระบบจานวนจริง จะไม่เป็นจริง ในเมทริกซ์
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
6.สมบัติเกี่ยวกับการคูณของเมทริกซ์
11
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
7.ทรานสโพสของเมทริกซ์
ทรานสโพสของเมทริกซ์ก็คือ การสร้างเมทริกซ์ใหม่โดยการ เปลี่ยนจากแถวเป็นหลักนั่นเอง
สมบัติของทรานสโพสของเมทริกซ์
กาหนด A = [a ] ij m n และ B = [b ] ij m n เป็นเมท ริกซ์ และ k เป็นจานวนจริงใดๆ
1. (A )t t = A
2. (A บวก/ลบ B)t = At บวก/ลบ Bt
3. (kA)t = kAt
4. (AB)t = Bt x At
5. (Am)t = (At)m
6. (A-1)t = (At)-1

10. คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
12
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์
ในหัวข้อนี้ เราจะมาศึกษาสมบัติอีกประการหนึ่งของเมทริกซ์ นั่นคือ ดีเทอร์มิแนนต์ ( determinant) และนอกจากนี้จะศึกษาเกี่ยวกับสมบัติของเมท ริกซ์อื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับดีเทอร์มิแนนท์ ได้แก่ ไมเนอร์
ตัวประกอบร่วมเกี่ยว (Cofactor) และ เมทริกซ์ผูกพัน (Adjoint matrix)
ดีเทอร์มิแนนต์ เป็นสมบัติของเมทริกซ์จัตุรัส ซึ่งเราจะนาไปใช้ในการหาเมท ริกซ์ผกผันและแก้ระบบสมการหลายตัวแปรต่อไป
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ det(A) หรือ / A/
13
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
1.ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 2 x 2 และมิติ 3 x 3
กาหนด เมทริกซ์ A มีขนาด 2 x 2 ซึ่ง
กาหนด เมทริกซ์ A มีขนาด 3 x 3 ซึ่ง
แล้ว det(A) จะหาได้โดยการนาหลักที่ 1 และ 2 ของ A มาเขียนต่อจาก หลักที่ 3 และ หาผลบวกของผลคูณในแนวเฉียงลง ลบกับผลบวกของผลคูณ ในแนวเฉียงขึ้น จะได้
det(A) = (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa +idb)

11. คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
2. ไมเนอร์ และ ตัวประกอบร่วมเกี่ยวของเมทริกซ์
กาหนด A = [a ij ] n x n เป็นเมทริกซ์จัตุรัส เมื่อ n มากกว่าหรือ เท่ากับ 2
ไมเนอร์ (minor) ของ aij คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการ ตัดแถวที่ i และหลักที่ j ของ A ออก เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Mij(A)
ตัวประกอบร่วมเกี่ยว (cofactor) ของ aij เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Cij(A) โดย
สมบัติของไมเนอร์
1. Mij(kA) = kn-1 x Mij(A)
2. Mij(At) = Mji(A)
14
เมทริกซ์
15
3. เมทริกซ์ผกผัน
กาหนด A = [a ij ] n x n เป็นเมทริกซ์จัตุรัส เมื่อ n มากกว่าหรือเท่ากับ 2
เมทริกซ์ผกพัน (adjoint matrix) ของ A เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ adj(A) โดย
สมบัติของเมทริกซ์ผกพัน
1. adj(A) x A = A x adj(A) = det(A) x I
2. adj(kA) = kn-1 x adj(A)
3. adj(A-1) = [adj(A)]-1
4. adj(AB) = adj(B)adj(A)
5. adj(At) = [adj(A)]t
คณิตศาสตร์

12. 16
2.1 ในกรณีที่เลือกแถวที่ i ของเมทริกซ์ A จะได้ว่า
det(A) = ai1Ci1(A) + ai2Ci2(A) +... + ainCin(A)
2.2 ในกรณีที่เลือกหลักที่ j ของเมทริกซ์ A จะได้ว่า
det(A) = a1jC1j(A) + a2jC2j(A) + ... + anjCnj(A)
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
4. ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ n
สาหรับเมทริกซ์มิติ n x n (n มากกว่าหรือเท่ากับ 2 ) เราสามารถหา ดีเทอร์มิแนนต์ได้ โดยวิธีการกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวหรือหลัก ซึ่งมี ขั้นตอนดังนี้
1. เลือกแถวหรือหลักของเมทริกซ์ An x n ขึ้นมา 1 แถว
2. หาค่าดีเทอร์มิแนนต์ตามสูตร โดยแบ่งออกเป็นสองกรณี
เมทริกซ์
17
กาหนด A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n x n และ k เป็นจานวนจริงใดๆ
1. det(At) = det(A)
2. det(kA) = kn det(A)
3. det(AB) = det(A) x det(B)
4. det(Am) = [det(A)]m
5. det(A-1) = 1/det(A)
6. det(I) = 1 , det(0) = 0
7. det(adj(A)) = [det(A)]n-1
8. det(A) = 0
9. ถ้า A เป็นเมทริกซ์ สามเหลี่ยมแล้ว det(A) จะ เท่ากับผลคูณของสมาชิกใน แนวเส้นทแยงมุมหลัก
(A และ B ต้องเป็นเมทริกซ์ จัตุรัสที่มีมิติเท่ากัน)
(เมื่อ A-1หาค่าได้)
เมื่อ
- มีบางแถว (หรือบางหลัก) ของเมท ริกซ์เป็นศูนย์ทั้งหมด
- มีบางแถว (หรือบางหลัก) ของเมท ริกซ์ซ้ากัน
- มีบางแถว (หรือบางหลัก) ของเมท ริกซ์เป็น k เท่าของอีกแถว (หรือ หลัก)
5. สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
คณิตศาสตร์

13. 18
กาหนด A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n x n แล้ว เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ A คือ
1. เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์มิติ 2 x 2
กาหนด
แล้ว
เมทริกซ์ผกผัน (อินเวอร์สการคูณ) ของเมทริกซ์ A คือ
2. เมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์มิติ n x n
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
เมทริกซ์ผกผัน
19
กาหนด A, B เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน m เป็นจานวนเต็มบวก และ k เป็นจานวนจริงใดๆ
1. A x adj(A) = adj(A) x A = det(A) x I
2. (kA)-1 = 1/k(A-1)
3. (A-1)t = (At)-1
4. (A-1)m = (Am)-1
5. (A x B)-1 = B-1 x A-1
6. det(A-1) = 1/det(A)
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
3. สมบัติของเมทริกซ์ผกผัน

14. 20
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์
1. ระบบสมการเชิงเส้น
สาหรับระบบสมการเชิงเส้นที่มี n ตัวแปร m สมการ ซึ่งมี x1, x2, x3, ... , xnจะมีรูปแบบเป็น
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
ซึ่งผลลัพธ์ที่จะเกิดขึ้นจากระบบสมการจะแบ่งได้ 3 แบบ คือ
ระบบสมการมีคาตอบเดียว
คณิตศาสตร์
เมทริกซ์
21
ระบบสมการมีคาตอบเป็น จานวนอนันต์
ระบบสมการไม่มีคาตอบ

15. 22
พิจารณาระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร 3 สมการ
ax + by + cz = m
dx + ey + fz = n
gx + hy + iz = p
ซึ่งเราสามารถเขียนเป็นสมการเมทริกซ์ได้เป็น
เมทริกซ์
คณิตศาสตร์
2. การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ผกผัน
จะอยู่ในรูป A x X = B โดยเราเรียกเมทริกซ์ A ว่า เมทริกซ์ สัมประสิทธิ์ ( Coefficient Matrix) เรียก เมทริกซ์ B ว่า เมทริกซ์ค่าคงตัว และเรียกเมทริกซ์ X ว่า เมทริกซ์ตัวแปร ซึ่งสามารถหาคาตอบของสมการ เมทริกซ์นี้ได้จาก X = A-1 x B (เมื่อ A-1 หาค่าได้)
เมทริกซ์
คณิตศาสตร์
23
3.การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของคาร์เมอร์
กาหนดระบบสมการเชิงเส้น n ตัวแปร n สมการ โดย AX = B (A เป็นเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ X เป็นเมทริกซ์ตัวแปร และ B เป็นเมท ริกซ์ค่าคงตัว) เป็นสมการเมทริกซ์ซึ่งสัมพันธ์กับระบบสมการดังกล่าว ถ้า det(A) ไม่เท่ากับ 0

16. คณิตศาสตร์ เมทริกซ์
24
4.การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้ Row-Operation
พิจารณาการแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร 2 สมการ เทียบ
กับการดา เนินการกับเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นใหม่ (เรียกเมทริกซ์นี้ว่า เมทริกซ์
แต่งเติม : augmented matrix)
จบบทเรียนแล้วจ้า
อย่าลืมทาแบบฝึกหัดด้วยนะ
คณิตศาสตร์ เมทริกซ์
25
แบบฝึกหัดเสริมสร้างความรู้
ลองทาๆ
ไม่ยากๆ
แก้สมการ
ง่ายนิดเดียว
4. ถ้า = จงหา x, y, z
5. ถ้า = จงหา x, y
6. จงหาจา นวนจริง x และ y ที่ทา ให้ A = B เมื่อกา หนดให้
A = และ B =



 
2 4 1
3 x 2 y




2 4 z
3 1 5



 
4 1
x y 5




4 x  y
3 5







 
4
2 1 3
x y
x




 1
0 3
y

17. 26
กา หนด A = , B = จงหา
1. 2A + 2B
2. 2 ( A + B )
3. 3A + 5A
4. ( 3 + 5 ) A
5. 0 A
6. ( 2 3 ) A , 2 ( 3A )



 
0 1
2 1



 
1 2
3 5

ปริศนาน่าคิด
คณิตศาสตร์ เมทริกซ์
27
เอกสารอ้างอิง
http://www.clipvidva.com/wp-content/
uploads/
downloads/2012/12/Matrix.pdf
คณิตศาสตร์ เมทริกซ์