สรุปเรื่อง ทฤษฎีจำนวน ม.4

1. ทฤษฎีจำนวน
เบื้องต้น

2. นิยำม ถ้า m และ n เป็นจานวนเต็ม โดยที่
n≠0 แล้ว n หาร m ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจานวน
เต็ม c เพียงจานวนเดียวเท่านั้น ซึ่ง m = nc
เรียก n ว่าตัวหารหนึ่งของ m สัญลักษณ์
n|m หมายถึง n หาร m ลงตัว n|/m
หมายถึง n หาร m ไม่ลงตัว

3. 1. กำรหำรลงตัว
a|b หมายถึง “b หารด้วย a ลงตัว” หรือ “a หาร b
ลงตัว”
b/a = c โดยที่ c เป็นจานวนเต็ม
สมบัติ
1) ถ้า a|b และ b|c แล้ว a|c
2) ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็มบวก และ a|b แล้ว a≤b
3) ถ้า a, b, c เป็นจานวนเต็ม โดย a|b และ a|c แล้ว
a(bx+cy) เมื่อ x, y เป็นจานวนเต็มใดๆ

4. 2. กำรหำรเหลือเศษ
a/b = c เศษ d → a = bxc+d โดยที่ a, b, c, d เป็นจานวนเต็ม และ 0 ≤ d < b
เช่น
0/3 = 0 เศษ 0 → 0 = 3 x (0) + 0 (เหลือเศษเท่ากับ 0 หารลงตัว)
2/3 = 0 เศษ 2 → 2 = 3 x (0) + 2 (เหลือเศษเท่ากับ 2 )
3/3 =1 เศษ 0 → 3 = 3 x (1) + 0 (เหลือเศษเท่ากับ 0 หารลงตัว)
4/3 =1 เศษ 1 → 4 = 3 x (1) + 1 (เหลือเศษเท่ากับ 1)
11/3 = 3 เศษ 2 → 11 = 3 x (3) + 2 (เหลือเศษเท่ากับ 2 )
**Tips ถ้า a/b เหลือเศษเท่ากับ d แล้ว am/b เหลือเศษเท่ากับ เศษเหลือของ
dm/b

5. 3. จำนวนเฉพำะ และ จำนวนประกอบ
จานวนเฉพาะ คือ จานวนเต็มบวก ที่มีแต่ 1, −1, ตัวมันเอง,
จานวนตรงข้ามของตัวมันเองเท่านั้นที่หารลงตัว (โดยที่ 1 ไม่เป็นจานวน
เฉพาะ) เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…
จานวนประกอบคือ จานวนเต็มบวก ที่ไม่ใช่ 1 และ ไม่ใช่จานวน
เฉพาะโดยสามารถเขียนจานวนประกอบให้อยู่ในรูปจานวนเฉพาะคูณกัน
ได้ เช่น
4 = 2 × 2
6 = 2 × 3
21 = 3 × 7

6. 4. ห.ร.ม. (หำรร่วมมำก)
ห.ร.ม. ของ a และ b ใช้สัญลักษณ์ (a,b)คือ จานวนเต็มบวก ที่มีค่ามาก
ที่สุดที่หาร a และ b ลงตัว การหาค่า ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบเช่น จงหา
ห.ร.ม. ของ 300 และ 180
300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
ห.ร.ม. ของ 300 และ 180 หรือ (300,180) คือ 2 × 2 × 3 × 5 = 60
สมบัติ
1) (a,b,c) = ((a,b),c) = (a,(b,c))
2) *** ถ้า n|a และ n|b จะได้ว่า n|(a,b)***

7. 5. ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย)
ค.ร.น. ของ a และ b ใช้สัญลักษณ์ [a,b]คือ จานวนเต็มบวก ที่มีค่าน้อย
ที่สุดที่หารด้วย a และ b ลงตัว การหาค่า ค.ร.น. โดยวิธีแยกตัวประกอบเช่น จง
หา ค.ร.น. ของ 300 และ 180
300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5
ค.ร.น. ของ 300 และ 180 หรือ [300,180] คือ 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 3 =
900
สมบัติ
1) [a,b,c] = [[a,b],c] = [a,[b,c]]
2) *** ถ้า a|n และ b|n จะได้ว่า [a,b]|n***

8. 6. จำนวนเฉพำะสัมพัทธ์
คือ จานวนเต็ม 2 จานวน ที่มีห.ร.ม. เท่ากับ 1(ดังนั้น
จานวนเต็ม 2 จานวนนั้น จะไม่มีตัวประกอบร่วมกัน) เช่น 21 กับ
25
21= 3×7
25 = 5×5
สรุป 21 กับ 25 ไม่มีตัวประกอบร่วมกันเลยดังนั้น 21 กับ 25 มี
ห.ร.ม. เท่ากับ 1 และเป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์

9. 7. สมบัติร่วมของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
(a,b) x [a,b] = a x b เช่น (300,180) คือ 60 ,
[300,180] คือ 900
จาก (300,180) x [300,180] = 300 x 180 จะได้ 60 × 900 = 300
× 180