01real

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ตรัง 1
เอกสารประกอบการเรียน
รายวิชาคณิตศาสตร์2 (ค30102)
ระบบจานวนจริง สมการและการแก้อสมการ
1
1.1.1 จำนวนธรรมชำติ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ และจำนวนจริง
จำนวนธรรมชำติ (Natural Number)
ตามหลักการทางคณิตศาสตร์ จานวนธรรมชาติ (natural number) อาจนิยามได้ในรูปแบบตามหลักการ
ของทฤษฎีจานวน ก็คือ จานวนเต็มบวก หรือ จานวนนับ (1, 2, 3, 4, …) แต่หาในกรณีนิยามในรูปแบบของ
หลักการในเชิงเซต ตรรกศาสตร์ และวิทยาการคานวณ อาจกล่าวได้ว่า 0 เป็นจานวนธรรมชาติตัวแรก หรือนิยาม
ได้ว่า จานวนธรรมชาติ คือ จานวนเต็มไม่เป็นลบ (0, 1, 2, 3, 4, …)
หรือสรุปได้ว่า จานวนธรรมชาติ เป็นจานวนที่เกิดขึ้นในทางธรรมชาติโดยธรรมดา ชัดเจน ไม่ซับซ้อน เช่น
จานวนไม่เป็นลบทั้งหมด อาจเขียนเซต ของ จานวนธรรมชาติ โดยใช้สัญลักษณ์ N ซึ่งสามารถกาหนดได้สอง
รูปแบบ คือ N = {0, 1, 2, 3, ...} และ N = (1, 2, 3, 4, ...}
มีสันนิษฐานว่าจานวนธรรมชาติเกิดขึ้นอย่างเป็นธรรมชาติตามรูปแบบของการนับหรือจานวนนับ ซึ่งก็
หมายถึงลาดับการนับของตัวเลขเพื่อแสดงค่าจานวน ดังนั้น ถ้าถามว่าจานวนธรรมชาติมีความสาคัญอย่างไร ? ก็
คงตอบได้ว่า ไม่อาจกล่าวได้ว่ามีความสาคัญ แต่เป็นหลักการพื้นทางของวิชาคณิตศาสตร์ ที่ควรทาความเข้าใจเสีย
มากกว่า ซึ่งโดยปกติ เราใช้จานวนธรรมชาติในการนับและการจัดอันดับเป็นส่วนใหญ่ ตัวอย่างการนับ เช่น บ้าน
หลังนี้มีจานวนสมาชิกอยู่ทั้งหมด 5 คน ส่วนตัวอย่างการจัดอันดับเช่น กรุงเทพมหานครเป็นเมืองที่มีประชากร
หนาแน่นเป็นอันดับที่ 1 ในประเทศ เป็นต้น
ข้อสังเกตที่เป็นข้อเท็จจริงอีกอย่างก็คือ ชุดจานวนธรรมชาติไม่มีที่สิ้นสุด เพราะสาหรับจานวนธรรมชาติ
ใด ๆ จะมีจานวนธรรมชาติอีกจานวนหนึ่งที่จะยิ่งใหญ่กว่ามากกว่าจานวนธรรมชาติ นอกจากนี้ชุดจานวนธรรมชาติ
มักข้องเกี่ยวกับการดาเนินการต่าง ๆ เช่น การดาเนินการขั้นพื้นฐานอย่าง การบวก การลบ การคูณ และการหาร
รวมไปถึง การยกกาลัง
1.1 จำนวนจริงและสมบัติของจำนวนจริง

1
นอกจากนี้จานวนธรรมชาติก็ยังมีความสัมพันธ์เกี่ยวกับคุณสมบัติ กฎ ทฤษฎี ต่าง ๆ ที่เกี่ยวกับเรื่องของ
จานวน การนับ การดาเนินการในเชิงคณิตศาสตร์มากมาย ซึ่งโดยปกติแล้วการศึกษาสมบัติของจานวนธรรมชาติ
ก็จะเป็นหลักการเริ่มต้นในวิชาทฤษฎีจานวน
จำนวนเต็ม (Integers)
การพัฒนาการของจานวนมีมาตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงปัจจุบัน โดยเริ่มตั้งแต่การรู้จักใช้จานวนในการนับ
สิ่งของ แล้วใช้สัญลักษณ์แทนจานวนที่เกิดจากการนับนั้น เช่น การใช้รอยขีดบนพื้น บนฝาผนัง หรือการใช้วัตถุอื่น
เช่น การใช้กิ่งไม้ การใช้ก้อนหิน เป็นต้น จานวนที่ใช้ในการนับสิ่งของเหล่านี้ เป็นจานวนที่ใช้ในชีวิตประจาวัน
และใกล้ตัวที่สุด เรียกจานวนเหล่านี้ว่า จานวนนับ หรือ จานวนเต็มบวก ซึ่งต่อมาก็มีผู้คิดใช้สัญลักษณ์แทนจานวน
นับที่เรียกว่า ตัวเลข ตัวเลขที่แทนจานวนนับเหล่านี้ ก็มีการพัฒนาการที่ยาวนานเรื่อยมาจนถึงปัจจุบัน จานวน
นับเหล่านี้ ได้แก่ จานวนที่แทนด้วยตัวเลข 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ...
ต่อมามนุษย์รู้จักกับคาว่า ศูนย์ ในเชิงปริมาณที่ไม่มีอะไรเหลือ เช่น สัตว์เลี้ยงตายหมด และใช้สัญลักษณ์ 0
แทนจานวนที่เรียกว่า ศูนย์
จานวนชนิดอื่นที่มีการพัฒนาต่อมา คือ จานวนเต็มลบ ได้แก่ จานวนที่ใช้ตัวเลขต่อไปนี้แทนจานวนเต็มลบ
-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , -6 , -7 , ...
จานวนเต็มบวก(หรือจานวนนับ) ศูนย์ และจานวนเต็มลบ จานวนเหล่านี้ทั้งหมดรวมเรียกว่า จานวนเต็ม
จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ (Rational Number and Irrational Number)
จำนวนตรรกยะ (Rational Number)
จำนวนตรรกยะ หมายถึง จานวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน
a
b
โดยที่ a , b เป็นจานวนเต็ม และ b ≠ 0

1
ตัวอย่างของจานวนตรรกยะ เช่น
- จานวนเต็ม ... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...
- เศษส่วน
1
2
,
1
3
6
,
5
4
−
- ทศนยมซ้า เช่น 0.5 , 2.43, 5.465
จำนวนอตรรกยะ ( irrational number ) คือจานวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจานวนเต็มที่
ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แต่เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้าและสามารถกาหนดค่าโดยประมาณได้
เช่น 2 มีค่าประมาณ 1.414
3 มีค่าประมาณ 1.732
 มีค่าประมาณ 3.1416
0.1010010001… มีค่าประมาณ 1.101
จำนวนจริง ( Real number ) ได้แก่จานวนที่กล่าวถึงทั้งหมดนี้ยูเนียนกัน นั่นคือประกอบด้วยสับเซต
ของจานวนต่างๆ กล่าวได้ว่าคือการยูเนียนของเซตของจานวนตรรกยะ และเซตของจานวนอตรรกยะ
สมบัติของจำนวนจริง
• สมบัติกำรเท่ำกันของจำนวนจริง
กาหนด a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ
1. สมบัติการสะท้อน a = a
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคูณด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

1
• สมบัติกำรบวกในระบบจำนวนจริง
สมบัติ กำรบวก ตัวอย่ำง
1. ปิด
2. การสลับที่
3. การเปลี่ยนหมู่
4. การมีเอกลักษณ์
5. การมีอินเวอร์ส
ถ้า a R และ b R แล้ว a + b R
a + b = b + a
a + (b + c) = (a + b) + c
มีจานวนจริง 0 ซึ่ง 0 +a = a = a + 0
สาหรับจานวนจริง a จะมีจานวนจริง -a ที่
(-a) + a = 0 = a + (-a)
ถ้า -3 , 5 R แล้ว (-3 + 5) R
2 4 4 2
+ +
=
6 + (7 + 8) = (6 + 7) + 8
0 + (-7) = -7 = (-7) + 0
(-9) + 9 = 0 = 9 + (-9)
• สมบัติกำรคูณในระบบจำนวนจริง
สมบัติ กำรบวก ตัวอย่ำง
1. ปิด
ถ้า a R และ b R แล้ว a  b R
a  b = b  a
a(bc) = (ab)c
มีจานวนจริง 1 ซึ่ง 1a = a = a1
สาหรับ a ที่ a  0 จะมีจานวนจริง a-1
โดยที่ a-1  a = 1 = a  a-1
ถ้า -3 , 5 R แล้ว (-3)  5 R
53 = 35
6  (7  8) = (6  7)  8
1  (-7) = -7 = (-7)  1
1
2
2 = 1 = 2 
1
2
• สมบัติกำรแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca
เช่น 3  (5 + 7) = (3  5) + (3  7)
(5 + 7) 3 = (53) + (73)

1
จากสมบัติของระบบจานวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนามาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตัดออกสาหรับการบวก
เมื่อ a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ
ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสาหรับการคูณ
เมื่อ a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ
ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจานวนจริงใดๆ
a · 0 = 0
0 · a = 0
(-1)a = -a
a(-1) = -a
ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a, b เป็นจานวนจริงใดๆ
ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
a(-b) = -ab
(-a)b = -ab
(-a)(-b) = ab
เราสามารถนิยามการลบและการหารจานวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจานวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น

1
• กำรลบจำนวนจริง
บทนิยำม เมื่อ a, b เป็นจานวนจริงใดๆ
a- b = a + (-b)
นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
• กำรหำรจำนวนจริง
บทนิยำม เมื่อ a , b เป็นจานวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
1
( )
a
a b
b
−
=
นั่นคือ
a
b
คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b
ตัวอย่ำง กาหนดให้ a , b , c เป็นจานวนจริง จงบอกสมบัติของจานวนจริงที่แสดงว่า
1. ab เป็นจานวนจริง 2. (ab)c = (ba)c
3. (ab)c = a(bc) 4. 1 x a = a
5. มีจานวนจริงที่คูณกับ 2.8 แล้วได้ 1 6. a(b + c) = ab + ac
แนวคิด 1. สมบัติปิดของการคูณของจานวนจริง เนื่องจาก a และ b ต่างเป็นจานวนจริง
ab ก็เป็นจานวนจริงด้วย
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ จะเห็นว่า ab = ba
3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของการคูณ
4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ
5. สมบัติการมีอินเวอร์สการคูณ เนื่องจากมี
1 1
2.8 2.8
2.8 2.8
1
 =  =
6. สมบัติการแจกแจง

1
ตัวอย่ำง กาหนด A = {-1 , 0 , 1} ข้อต่อไปนี้ ข้อใดถูก ข้อใดผิด
1. A มีสมบัติปิดการบวก 2. A มีสมบัติปิดการลบ
3. A มีสมบัติปิดการคูณ 4. มีเอกลักษณ์การบวกใน A
5. มีเอกลักษณ์การคูณใน A 6. สมาชิกทุกตัวใน A มีอินเวอร์สการบวกอยู่ใน A
7. สมาชิกทุกตัวใน A มีอินเวอร์สการคูณอยู่ใน A
วิธีทำ

1
จำนวนภำยใต้กำรดำเนินกำร *
จานวนมีการกระทาพื้นฐานระหว่างจานวน 2 จานวน คือ+ , - , x ,  อาจกาหนดให้มีการดาเนินการ
อื่นๆ ที่ซับซ้อนได้
การตรวจสอบสมบัติพื้นฐานของเซต A ภายใต้การดาเนินการ *
สมบัติ *
1. ปิด
1. ถ้า a , b A แล้ว a * b A แสดงว่า A มีสมบัติปิดของ *
2. ถ้า a , b A แล้ว a * b = b * a แสดงว่า A มีสมบัติการสลับที่ของ *
3. ถ้า a , b , c A แล้ว (a * b) * c = a * (b * c)
4. ถ้า a  A และมี e A ที่ทาให้ a * e = e * a = a
เรียก e ว่าเอกลักษณ์ภายใต้การดาเนินการ *
แสดงว่า A มี e เป็นเอกลักษณ์ของ *
5. ถ้า a  A จะมี a-1  A ที่ทาให้ a* a-1 = a-1 * a = e
เรียก a-1 ว่าอินเวอร์สของ a ภายใต้การดาเนินการ *
แสดงว่า A มีสมบัติการมีอินเวอร์สของ *

1
ตัวอย่ำง กาหนด a , b  R เมื่อ R เป็นเซตของจานวน
จริง และ a * b = a + b – 3 จงแสดงว่า R ภายใต้การดาเนินการ * มีสมบัติต่อไปนี้หรือไม่
1. ปิด 2. การสลับที่
3. การเปลี่ยนหมู่ 4. การมีเอกลักษณ์ 5. การมีอินเวอร์ส

1
1. ให้นักเรียนเติมโครงสร้ำงของจำนวนจริงให้สมบูรณ์
กาหนด R แทนเซตของจานวนจริง
Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ
Q’ แทนเซตของจานวนอตรรกยะ
F แทนเซตของจานวนที่ไม่ใช่จานวนเต็ม
I แทนเซตของจานวนเต็ม
I+ และ I- แทนเซตของจานวนเต็มบวกและจานวนเต็มลบ
แบบฝึกทักษะที่ 1.1

1
2. ให้นักเรียนพิจำรณำว่ำจำนวนที่กำหนดให้เป็นจำนวนชนิดใด โดยเขียน ✓ลงในช่องว่ำง
จำนวน จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็ม จำนวนนับ จำนวนจริง
-1
0
5
3
-1.36
0.333...
2

2
−
-1.1412...
7
22
5
5 −
3
27
3
64
−
2
)
5
(−
9
25 −

1
จำนวน จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ จำนวนเต็ม จำนวนนับ จำนวนจริง
7
2
1.732
0.101001
3. ให้ตรวจสอบว่ำข้อควำมต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ
3.1 5 เป็นจานวนธรรมชาติ .......................
3.2
1
3
เป็นจานวนตรรกยะ ......................
3.3 -100 เป็นจานวนเต็ม ......................
3.4
4
5
เป็นจานวนธรรมชาติ ......................
3.5 0 เป็นจานวนเต็ม ......................
3.6
2
4
−
เป็นจานวนเต็ม ......................
3.7 1 เป็นจานวนอตรรกยะ ......................
3.8
22
7
เป็นจานวนอตรรกยะ ......................
3.9  เป็นจานวนอตรรกยะ ......................
3.10 3
5 เป็นจานวนจริง ......................

1
3.11 4 เป็นจานวนตรรกยะ ......................
3.12 0.001 เป็นจานวนตรรกยะ ......................
3.13 0.101001... เป็นจานวนอตรรกยะ ......................
3.14 4
4 เป็นจานวนตรรกยะ ......................
3.15 3
8
− เป็นจานวนอตรรกยะ ......................
3.16 4 5
− เป็นจานวนตรรกยะ ......................
3.17
0
5
เป็นจานวนตรรกยะ ......................
3.18 2.1828 เป็นจานวนตรรกยะ ......................
3.19  เป็นจานวนตรรกยะ ......................
3.20 e เป็นจานวนอตรรกยะ ......................
4. ให้นักเรียนระบุจำนวนตำมข้อควำมที่กำหนด
ข้อควำม จำนวน
4.1 จานวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดแต่มากกว่า 10
4.2 จานวนเต็มบวกที่มากที่สุด
4.3 จานวนเต็มที่น้อยที่สุดแต่มากกว่า -11
4.4 จานวนเต็มที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า -100
4.5 จานวนเต็มที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า -10
4.6 จานวนเต็มลบที่น้อยที่สุด
4.7 จานวนเต็มลบที่มากที่สุด
4.8 จานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง -1 กับ 1

1
ข้อควำม จำนวน
4.9 จานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 3 กับ 4
4.10 จานวนตรรกยะที่มากที่สุดแต่น้อยกว่า 0
4.11 จานวนตรรกยะที่น้อยที่สุดแต่น้อยกว่า 0
4.12 จานวนตรรกยะที่น้อยที่สุด
4.13 จานวนตรรกยะที่มากที่สุดแต่น้อยกว่าหรือเท่ากับ -5
4.14 จานวนตรรกยะที่มากที่สุดแต่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 0
4.15 จานวนจริงที่น้อยที่สุดแต่มากกว่าหรือเท่ากับ -2
4.16 จานวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด
4.17 จานวนเต็มที่น้อยที่สุด
4.18 จานวนเต็มที่มากที่สุด
4.19 จานวนตรงข้ามของ -
4.20 จานวนที่เป็นส่วนกลับของ
1
2
5. ให้นักเรียนพิจำรณำว่ำข้อควำมต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ
5.1 จานวนตรรกยะคูณจานวนตรรกยะเป็นจานวนตรรกยะ .............................
5.2 จานวนตรรกยะคูณจานวนอตรรกยะเป็นจานวนตรรกยะ .............................
5.3 จานวนตรรกยะคูณจานวนอตรรกยะเป็นจานวนอตรรกยะ .............................
5.4 จานวนตรรกยะบวกจานวนอตรรกยะเป็นจานวนอตรรกยะ .............................
5.5 จานวนอตรรกยะบวกจานวนอตรรกยะเป็นจานวนตรรกยะ .............................
5.6 จานวนอตรรกยะคูณจานวนอตรรกยะเป็นจานวนตรรกยะ .............................
5.7 จานวนอตรรกยะลบด้วยจานวนอตรรกยะเป็นจานวนอตรรกยะ .............................
5.8 จานวนอตรรกยะหารด้วยจานวนอตรรกยะเป็นจานวนตรรกยะ .............................

1
In Exercises 6–9, determine which numbers in the set are
(a) natural numbers, (b) whole numbers, (c) integers, (d) rational numbers, and
(e) irrational numbers.
6.
7 2
9, ,5, , 2, 0,1, 4,2, 11
2 3
(a) natural numbers =
1, 2, 5
(b) whole numbers =
0, 1, 2, 5
(c) integers =
11, 9, 4, 0, 1, 2, 5
(d) rational numbers =
7 2
11, 9, 4, , 0, , 1, 2, 5
2 3
(e) irrational numbers =
2
7.  
7 4
5,-7,- ,0,3.12, ,-3,12,5
3 5
(a) natural numbers = ……………………………………………………………………….…………….……….……...
(b) whole numbers = ……………………………………………………………………….…………….…….………...
(c) integers = ……………………………………………………………………….…………….……...…….…
(d) rational numbers = ……………………………………………………………………….…………….……….……...
(e) irrational numbers = ……………………………………………………………………….…………….……….……...

1
8.  
3
6 1
- , , 2,-7.5,-1, 9,2.01632, 8
3 2

(a) natural numbers = ……………………………………………………………………….……………….…….……...
(b) whole numbers = ……………………………………………………………………….…………….……….……...
(c) integers = ……………………………………………………………………….………….………….……...
(d) rational numbers = ……………………………………………………………………….……….…………….……...
(e) irrational numbers = ……………………………………………………………………….………….………….……...
9.  
2.01,0.666…,-13,0.010110111…,1,-6
(a) natural numbers = ……………………………………………………………………….………….………….……...
(b) whole numbers = ……………………………………………………………………….………….………….……...
(c) integers = ……………………………………………………………………….………….………….……...
(d) rational numbers = ……………………………………………………………………….………….………….……...
(e) irrational numbers = ……………………………………………………………………….…….……………….……...
10. กำหนดให้ x , y , z เป็นจำนวนจริงใดๆ ให้บอกสมบัติของกำรเท่ำกัน
1) 2x + y = 2x + y ..........................................................................................
2) ถ้า x = y + z แล้ว y + z = x ..........................................................................................
3) ถ้า 2 + 3 = 5 แล้ว (2 + 3) + 4 = 5 + 4 ..........................................................................................
4) ถ้า 2 + 3 = 5 และ 5 = 4 + 1 แล้ว 2 + 3 = 4 + 1....................................................................................
5) ถ้า b = -3 แล้ว 2 x b = 2 x (-3) ..........................................................................................
6) ถ้า 2y = x + z และ x + z = 8 แล้ว 2y = 8 ..........................................................................................
7) ถ้า 2x = 6y แล้ว x = 3y ..........................................................................................
8) ถ้า x + 2 = 3y แล้ว x + 7 = 3y + 5 ..........................................................................................

1
9) ถ้า 4 + (-3) = 1 แล้ว 1 = 4 + (-3) ..........................................................................................
10) ถ้า 4 2
= และ 3
2 8
= แล้ว 3
4 8
= .................................................................................
11. ให้เติมช่องว่ำงโดยใช้สมบัติกำรเท่ำกัน
1) ถ้า a = b แล้ว a + 5 = ..............................................................................................
2) ถ้า a = b แล้ว -3a = ..................................................................................................
3) ถ้า a + 4 = b + 4 แล้ว a = .....................................................................................
4) ถ้า a + 1 = b + 2 และ b + 2 = c - 5 แล้ว a + 1 = ..............................................
5) ถ้า
2 2
2 1 ( 1)
x x x
+ + = + แล้ว
2
( 1)
x + =..........................................................
6) ถ้า
3
2
x y
= แล้ว 2x = ................................................................................................
7) ถ้า
2
1 2
x x
+ = แล้ว
2
( 1)
x − = ..............................................................................
8) ถ้า ab = a + b แล้ว
1
2
ab =..........................................................................................
12. เซตของจำนวนตรรกยะมีสมบัติปิดสำหรับกำรบวกและกำรคูณหรือไม่
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

1
13. find Additive inverse and Multiplicative inverse
ข้อที่ จำนวนจริง
อินเวอร์ส
ข้อที่ จำนวนจริง
อินเวอร์ส
กำรบวก กำรคูณ กำรบวก กำรคูณ
1 3 11 3 2
2 4 12 3 2
3 0 13 3
4 1
2
14 2
3
5 3
5
15
1
3
6 3
1
4
16
2
1 3
7 1 3 17 2 3
4
8 2 3 18
1
3 1
9 2 1
2 1
19 1 3
1 3
10 2 3 20 1 3
1 3

1
14. กําหนดตัวดําเนินการ บนเซตของจํานวนจริง ถ้า ,
a b และ a b a b ab
จงหาอินเวอร์สของ 2 ภายใต้การดําเนินการ

1
15. นิยามการดาเนินการ โดย 3
a b a b เมื่อ ,
a b
จงหาอินเวอร์สของ (2 4) 6 ภายใต้การดาเนินการ

1
16. สาหรับ x และ y เป็นจานวนจริงบวกใดๆ กาหนดให้ x y เป็นจานวนจริงบวก ที่มีสมบัติต่อไปนี้
(1) ( ) ( )
x xy x x y
(2) (1 ) 1
x x x
(3) 1 1 1
ค่าของ 2 (5 (5 6)) เท่ากับเท่าใด

1
17. สาหรับ a และ b เป็นจานวนจริงบวกใดๆ กาหนดให้ a b เป็นจานวนจริงที่มีสมบัติต่อไปนี้
(ก) 4
a a a
(ข) a b b a
(3) ( )
a a b a b
a b b
ค่าของ (8 5) 100 เท่ากับเท่าใด

1
1.1.2 กำรเขียนแทนเซตของจำนวนจริงด้วยเส้นจำนวน
Real numbers are represented graphically by a real number line. When you draw a point
on the real number line that corresponds to real number line, you are plotting is the real
number. The point 0 on the real number line is the origin. Numbers to the right of 0 are
positive, and numbers to the left of 0 are negative, as shown in Figure A.1.
FIGURE A.1 The real number line
As illustrated in Figure A.2, there is a one-to-one correspondence between real numbers
and points on the real number line.
FIGURE A.2 One-to-one correspondence
•
Origin
– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5
Positive
direction
Negative
direction
– 3 – 2 – 1 0 1 2 3
•
0.75
• •

Every real number corresponds to
exactly one point on the real number line.
1

1
Plotting Points on the Real Number Line
Plot the real numbers on the real number line.
a. 4
7
−
b. 2.3 c. 3
2
d. 5
.
1
− e. 5
Solution
In Exercises 1 and 2, plot the real numbers on the real number line.
1. (a) 3 (b)
2
7
(c)
2
5
− (d) 2
.
5
−
2. (a) 8.5 (b)
3
4
(c) 75
.
4
− (d)
3
8
−
Example
– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5
แบบฝึกทักษะที่ 1.1.2
– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5
– 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1
1.1.3 ค่ำสัมบูรณ์ และสมบัติของค่ำสัมบูรณ์ (Absolute Value and Their Properties)
ตัวอย่ำง จงหาค่าของจานวนต่อไปนี้

1
สมบัติของค่ำสัมบูรณ์
ตัวอย่ำง จงหาค่าของจานวนต่อไปนี้
ตัวอย่ำง จงเติมเครื่องหมาย > , < หรือ = ให้ถูกต้อง

1
1. จงเขียนเครื่องหมาย ✓ หน้าข้อความที่เป็นจริง และเขียนเครื่องหมาย
แบบฝึกทักษะที่ 1.1.3

1
2. จงหาผลลัพธ์ของจานวนต่อไปนี้

01real

More Related Content

What's hot

Similar to 01real

More from kroojaja

01real