1. จำนวนจริง
(Real Numbers)

2. แผนจำนวนจริงแสดงควำมสัมพันธ์ของจำนวนชนิดต่ำงๆ
จำนวนจริง
จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่
จำนวนเต็ม
จำนวนเต็ม
จำนวนเต็มลบ
จำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มศูนย์

3. • ระบบจำนวนจริง
จำกแผนผังแสดงควำมสัมพันธ์ของจำนวนข้ำงต้น จะพบว่ำ ระบบ
จำนวนจริง จะประกอบไปด้วย
1. จำนวนอตรรกยะ หมำยถึง จำนวนที่ไม่สำมำรถเขียนให้อยู่ในรูป
เศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซำได้ ตัวอย่ำงเช่น √2 , √3,
√5, -√2,-√3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่ำ 3.14159265...
2. จำนวนตรรกยะ หมำยถึง จำนวนที่สำมำรถเขียนให้อยู่ในรูป
เศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซำได้

4. • ระบบจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะยังสำมำรถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมำยถึง จำนวนที่สำมำรถ
เขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม
ตัวอย่ำงเช่น
2. จำนวนเต็ม หมำยถึง จำนวนที่เป็นสมำชิกของเซต
I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซต
ของจำนวนเต็ม

5. • ระบบจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มยังสำมำรถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมำยถึง จำนวนที่เป็นสมำชิกของเซต I-
โดยที่
I-
= {..., -4, -3, -2, -1} เมื่อ I-
เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมำยถึง จำนวนที่เป็นสมำชิกของเซต I+
โดยที่
I+
= {1, 2, 3, 4, ...} เมื่อ I+
เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็ม
บวก เรียกได้อีกอย่ำงว่ำ "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวน
นับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+
= {1, 2, 3, 4, ...}
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่ำงว่ำ "จำนวนนับ" ซึ่งเขียน
แทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}

6. สมบัติของจำนวนจริงเกี่ยวกับกำรบวกและกำรคูณ
• สมบัติกำรเท่ำกันของจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติกำรสะท้อน a = a
2. สมบัติกำรสมมำตร ถ้ำ a = b แล้ว b = a
3. สมบัติกำรถ่ำยทอด ถ้ำ a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัติกำรบวกด้วยจำนวนที่เท่ำกัน ถ้ำ a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติกำรคูณด้วยจำนวนที่เท่ำกัน ถ้ำ a = b แล้ว ac = bc

7. • สมบัติกำรบวกในระบบจำนวนจริง
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดกำรบวก a + b เป็นจำนวนจริง
2. สมบัติกำรสลับที่ของกำรบวก a + b = b + c
3. สมบัติกำรเปลี่ยนกลุ่มกำรบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
4. เอกลักษณ์กำรบวก 0 + a = a = a + 0 นั่นคือ ในระบบจำนวน
จริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์กำรบวก
5. อินเวอร์สกำรบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -aเป็นอินเวอร์สของกำรบวก

8. • สมบัติกำรคูณในระบบจำนวนจริง
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดกำรคูณ ab เป็นจำนวนจริง
2. สมบัติกำรสลับที่ของกำรคูณ ab = ba
3. สมบัติกำรเปลี่ยนกลุ่มของกำรคูณ a(bc) = (ab)c
4. เอกลักษณ์กำรคูณ 1 · a = a = a · 1 นั่นคือในระบบจำนวน
จริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์กำรคูณ
5. อินเวอร์สกำรคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์ส
กำรคูณ ยกเว้น 0

9. นอกจำกนีในระบบจำนวนจริงยังมีสมบัติที่เกี่ยวข้องทังกำรบวกและ
กำรคูณ สมบัติดังกล่ำว ได้แก่ สมบัติกำรแจกแจง กล่ำวคือ
เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ
a(b+c) = ab + ac
และ (b+c)a = ba + ca
เช่น 2· (5+8) = 2·5 + 2·8 หรือ (5+8) ·2 = 5·2 + 8·2

10. กำรนำสมบัติของจำนวนจริงไปใช้แก้สมกำรกำลังสอง
• กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม
พหุนำมดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนำมที่เขียนในรูป ax2 + bx + c
เมื่อ a , b , c เป็นค่ำคงตัวที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร
กำรแยกตัวประกอบของพหุนำมดีกรีสองตัวแปรเดียว
ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b เป็นจำนวนเต็ม และ c = 0
ในกรณีที่ c = 0 พหุนำมดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป ax2+ bx
สำมำรถใช้สมบัติกำรแจกแจงแยกตัวประกอบได้

11. ตัวอย่ำงที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 2x
วิธีทำ x2
+ 2x = (x)(x) + (2)(x)
= x(x + 2)
ตัวอย่ำงที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 4x2 - 20x
วิธีทำ 4x2
- 20x = (4x)(x) - (4x)(5)
= 4x(x - 5)
ตัวอย่ำงที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ -4x2 - 6x
วิธีทำ -4x2
- 6x = -2x(2x + 3)
หรือ -4x2
- 6x = 2x(-2x - 3)
ตัวอย่ำงที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ -15x2 + 12x
วิธีทำ -15x2
+ 12x = (3x)(-5x) + (3x)(4)
= 3x(-5x + 4)

12. ในรูป ax2
+bx+c เมื่อ a = 1 , b และ c เป็นจำนวนเต็มและ c ≠ 0
ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนำมดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ใน
รูป x2
+ bx + c
สำมำรถแยกตัวประกอบของพหุนำมในรูปนีได้ โดยอำศัยแนวคิดจำกกำร
หำผลคูณของพหุนำม ดังตัวอย่ำงต่อไปนี
จำกกำรหำผลคูณ ( x +2 )( x + 3 ) ดังกล่ำว จะได้ขันตอนกำรแยกตัว
ประกอบของ x2
+ 5x + 6 โดยทำขันตอนย้อนกลับ ดังนี
x2
+ 5x + 6 = x2
+ (2 + 3)x + (2)(3)
= x2
+ (2x + 3x) + (2)(3)
= (x2
+2x) + [3x + (2)(3)]

13. = (x + 2)x + (x + 2)(3)
= (x + 2)(x + 3)
นั่นคือ x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
พิจำรณำผลคูณของพหุนำมต่อไปนี
1. (x + 2)(x + 3) = (x + 2)(x) + (x + 2)(3)
= (x2
+ 2x)+ [3x +(2)(3)]
= x2
+ (2x+ 3x) + (2)(3)
= x2
+ (2+ 3)x + (2)(3)
= x2
+ 5x + 6
ดังนัน แยกตัวประกอบของ x2
+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

14. • กำรแก้สมกำรกำลังสองตัวแปรเดียว
กำรแก้สมกำร หรือกำรหำคำตอบของสมกำรกำลังสอง
ตัวแปรเดียว หมำยถึงกำรหำคำตอบของสมกำรที่เขียนอยู่ในรูป
ax2+bx+c=0 เมื่อ a, b, c เป็นค่ำคงตัว และ a ≠ 0 ทำได้โดยอำศัย
ควำมรู้เกี่ยวกับจำนวนจริงดังนี
ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนจริง และ ab = 0 แล้ว a หรือ b
อย่ำงน้อยหนึ่งตัวต้องเป็นศูนย์
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหำคำตอบของสมกำร x(x-2) = 0
วิธีทำ ถ้ำ x(x-2) = 0
จะได้ว่ำ x = 0
หรือ x-2 = 0 , x = 2
ดังนัน 0 และ 2 เป็นคำตอบของสมกำร x(x-2) = 0

15. ตัวอย่ำงที่ 2 จงหำคำตอบของสมกำร x2
+6x+4 = 0
วิธีทำ x2
+6x+4 = (x2
+(2)(3)x+32
)+4-32
= (x+3)2
-5
= (x+3+√2)(x+3-√5)
หำคำตอบของสมกำร (x+3+√2)(x+3-√5) = 0
โดยกำรหำค่ำ x ที่ทำให้ (x+3+√5) = 0 หรือ (x+3-√5) = 0
จะได้ x = -(3+√5) หรือ x = -(3-√5)

16. • สมบัติกำรไม่เท่ำกัน
ให้ a, b, c เป็นจำนวนใดๆ
1) สมบัติกำรถ่ำยทอด
ถ้ำ a > b และ b > c แล้ว a > c
เช่น 10 > 5 และ 5 > 1 ดังนัน 10 > 1
2) สมบัติกำรบวกด้วยจำนวนเท่ำกัน
ถ้ำ a > b แล้ว a + c > b + c
เช่น 2 > 0 จะได้ 2 + 1 > 0 + 1 หรือ 3 > 1
3) สมบัติกำรคูณด้วยจำนวนเท่ำกันที่มำกกว่ำศูนย์
ถ้ำ a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
เช่น 5 > 3 จะได้ 5 x 2 > 3 x 2 หรือ 10 > 6

17. • ตัวอย่ำงกำรเขียนสัญลักษณ์กำรไม่เท่ำกันเท่ำกันแทนข้อควำม
1) a น้อยกว่ำ b หมำยถึง a < b
2) a มำกกว่ำ b หมำยถึง a > b
3) a น้อยกว่ำหรือเท่ำกับ b หมำยถึง a ≤ b
4) a มำกกว่ำหรือเท่ำกับ b หมำยถึง a ≥ b
5) a ไม่เท่ำกับ b หมำยถึง a ≠ b

18. แสดงช่วงต่ำงๆ บนเส้นจำนวนได้ดังนี้
B = [3, 4]A = (3, 4)
C = (3, 4] D = [3, 4)
F = [4, ∞)E = (4,∞)
G = (-∞,4) H = (-∞,3]

19. • ค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนจริง
เมื่อกำหนดให้ a เป็นจำนวนจริง ระยะจำกจุด 0 ถึงจุดที่
แทนจำนวนจริง a เรียกว่ำ ค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนจริง a เขียน
แทนด้วยสัญลักษณ์ I a I
เช่น I 2 I หมำยถึง ระยะจำกจุด 0 ถึงจุดที่แทนจำนวน 2
ซึ่งเท่ำกับ 2 หน่วย
สรุปเป็นกรณีทั่วไป เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ได้ดังนี
ถ้ำ a เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว I a I = a
ถ้ำ a เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว I a I = -a
ถ้ำ a เป็นศูนย์ แล้ว I a I = 0

20. a ถ้ำ a เป็นจำนวนบวกหรือศูนย์
หรือ | a | = a ถ้ำ a เป็นจำนวนลบ
โดยทั่วไปถ้ำ a เป็นจำนวนจริงบวกใดๆ
1. | x | < a มีควำมหมำยเช่นเดียวกับ –a < x < a
และ | x | ≤ a มีควำมหมำยเช่นเดียวกับ –a ≤ x ≤ a
เช่น | x | < 2 หมำยควำมว่ำระยะจำกจุดที่แทน x ไปยังจุด 0
บนเส้นจำนวนน้อยกว่ำ 2 หน่วย เขียนแสดงบนเส้นจำนวนได้ดังนี
จำกรูปจะเห็นว่ำ | x | < 2 มีควำมหมำยเช่นเดียวกันกับ -2 < x < 2
| x | ≤ 2 เขียนแสดงค่ำ x บนเส้นจำนวนได้ดังนี
-2 0-1-3 1 2 3
-3 -2 -1
0
1 2
3