determinant หาค่าดีเทอร์มิแนนต์

1. ตัวกำหนด
Determinant
โดย....นำงสำวจำรุวรรณ บุญชลำลัย
โรงเรียนวิทยำศำสตร์จุฬำภรณรำชวิทยำลัย ตรัง

2. Determinant
ดีเทอร์มิแนนต์ คือ ฟังก์ชันหนึ่งที่ให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ซึ่งขึ้นอยู่กับค่า
ของ n ในมิติ n x n ของเมทริกซ์จัตุรัส A

3. ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์มิติ 2 x 2

4. Determinant

5. Determinant
ตัวอย่าง จงหา det(A) det(B) det(C)
4 3 4 2 1 5
, ,
2 1 2 1 2 1
A B C
     
= = =
     
     

6. Determinant
ตัวอย่าง จงหา det(A) , det(B) เมื่อกาหนด
1 2 3 2 1 0
0 4 1 , 3 4 5
1 2 0 9 8 7
A B
   
   
= =
   
   
   

7. การหาค่าดีเทอร์มินันต์โดยการกระจายโคแฟคเตอร์
บทนิยาม Minor
กาหนด A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n x n โดยที่ n ≥ 2
1. ไมเนอร์ของ เขียนแทนด้วย
2. ไมเนอร์ของ คือดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัด
แถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A ออก
ij
a ij
M
ij
a

8. ตัวอย่าง จงหาไมเนอร์ทั้งหมดของเมทริกซ์ A
2 1 0
3 4 5
9 8 7
A
 
 
=  
 
 

9. การหาค่าดีเทอร์มินันต์โดยการกระจายโคแฟคเตอร์
บทนิยาม Cofactor
กาหนด A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n x n โดยที่ n ≥ 2
1. โคแฟคเตอร์ของ เขียนแทนด้วย
2. โคแฟคเตอร์ของ คือ
ij
a ij
C
ij
a ( 1)i j
ij
M
+
−

10. ตัวอย่าง จงหาโคแฟคเตอร์ทั้งหมดของเมทริกซ์ A
2 0 1
3 1 2
4 5 6
A − −
 
 
=  
 
 

11. Determinant
ทฤษฎีบท กาหนด โดย เป็นสเกลาร์ และ n  Z , n ≥ 2 จะได้
เมื่อกระจายโคแฟกเตอร์ตามแถวที่ I
เมื่อกระจายโคแฟกเตอร์ตามหลักที่ j
ij nxn
a
A =  
  ij
a

12. Determinant
ตัวอย่าง จงหา det(A) โดยใช้โคแฟกเตอร์
4 1 1
2 1 2
3 5 2
A
 
 
=  
 
 

13. Determinant
ตัวอย่าง จงหา det(A) โดยใช้โคแฟกเตอร์
1 1 1 2
1 2 2 1
4 3 0 1
3 0 2 1
A
−
−
−
 
 
 
=
 
 
 

14. แอดจอยท์ (Adjoint)

15. Determinant
ทฤษฎีบท กาหนด โดย เป็นสเกลาร์ และ n  Z , n ≥ 2 จะได้
ถ้า det(A) ≠0 แล้ว
ij nxn
a
A =  
  ij
a
1 1
( )
det( )
adj A
A
A−
=

16. Determinant
ตัวอย่าง จงหาดีเทอร์มินันต์ของ ***จากสไลด์ 10 ตัวอย่างที่ 4 หน้า 56 หาโคแฟกเตอร์แล้ว***
2 0 1
3 1 2
4 5 6
A − −
 
 
=  
 
 

17. Determinant
ตัวอย่าง จงหาดีเทอร์มินันต์ของ ***จากสไลด์ 10 ตัวอย่างที่ 4 หน้า 56 หาโคแฟกเตอร์แล้ว***
2 0 1
3 1 2
4 5 6
A − −
 
 
=  
 
 
4 26 19
5 8 10
1 7 2
จะได้ C
−
−
−
 
 
=  
 
 
4 5 1
( ) C 26 8 7
19 10 2
T
adj A = = −
− −
 
 
 
 
 
 

18. Determinant
2 0 1 4 5 1 27 0 0
( ) 3 1 2 26 8 7 0 27 0 27
19 10 2 0 0 27
4 5 6
n
Aadj A I
= − − −
− −
   
   
   
   
   
   
 
 
= =
 
 
 
จาก
จะได้ det A = 27

19. Determinant
ตัวอย่าง จงหาอินเวอร์สการคูณของ A
1 0 1
2 1 0
1 1 1
A
−
 
 
=  
 
 

20. Determinant

21. Determinant
ตัวอย่าง ให้ ถ้า แล้ว b31 + b23 มีค่าเท่าไร
3 2 1
5 6 2
1 0 3
A
−
−
 
 
=  
 
 
11 12 13
1
21 22 23
31 32 33
b b b
A b b b
b b b
−
 
 
=  
 
 

22. Determinant

23. การแก้ระบบสมการโดยใช้กฎของคราเมอร์
ทฤษฎีบท กฎของคราเมอร์
ถ้า A เป็นเมทริกซ์มิติ nxn โดยที่ det(A) ≠0 แล้วระบบสมการ
ที่เขียนในรูปสมการเมทริกซ์ Ax = b
เมื่อ x1, x2,…, xn เป็นตัวแปร และ b1, b2,…, bn เป็นค่าคงตัว
โดยที่
และ
มีคาตอบคือ
เมื่อ Ai คือเมทริกซ์ที่ได้จากการแทนหลักที่ I ของ A ด้วย b
1
2
n
X
X
X
X
 
 
 
=
 
 
 
 
1
2
n
b
b
b
b
 
 
 
=
 
 
 
 
1 2
1 2
det( ) det( ) det( )
, ,...,
det( ) det( ) det( )
n
n
A A A
A A A
X X X
= = =

24. ตัวอย่าง จงหาคาตอบของระบบสมการที่กาหนดโดย
ใช้กฎของคราเมอร์

26. ตัวอย่าง จงหาคาตอบของระบบสมการที่กาหนดโดย
ใช้กฎของคราเมอร์
2x + 3y = 9
2x – 3y = 3

28. ตัวอย่าง จงหาคาตอบของระบบสมการที่กาหนดโดย
ใช้กฎของคราเมอร์
3x + y - z = 3
2x – y + 3z = 20
7x + y + z = 23

30. การหาค่าดีเทอร์มินันต์โดยการลดรูปตามแถว
ทฤษฎีบท ให้ A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ถ้า A มีสมาชิกแถวใดแถว
หนึ่ง หรือหลักใดหลักหนึ่งเป็นศูนย์ทุกตัว แล้ว det(A) =0

31. Determinant
การหาค่าดีเทอร์มินันต์โดยการลดรูปตามแถว
ทฤษฎีบท ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัส
1. ถ้าคูณสมาชิกทุกตัวในแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลักใดหลักหนึ่ง) ของ A ด้วยค่าคงที่
แล้วดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ใหม่เท่ากับ cdet(A)
2. ถ้าสลับที่กันระหว่างแถวสองแถวใดๆ(หรือหลักสองหลักใดๆ)ของ A แล้ว
ดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ใหม่เท่ากับ –det(A)
3. ถ้าเปลี่ยนแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลักใดหลักหนึ่ง) ของ A โดยใช้ค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์
คูณสมาชิกทุกตัวในแถวใดแถวหนึ่ง(หรือหลักใดหลักหนึ่ง) ของ A แล้วนาไปบวกกับสมาชิกในแถว
(หรือหลัก) ที่ต้องการเปลี่ยนนั้นโดยบวกสมาชิกในลาดับเดียวกันเข้าด้วยกัน แล้วใช้ผลบวกแทนที่
สมาชิกเดิมแล้วดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์ใหม่เท่ากับ det(A)

32. Determinant

33. Determinant
ทฤษฎีบท ให้ E เป็นเมทริกซ์มูลฐาน
1. ถ้า E เป็นผลจากการคูณเมทริกซ์ In ด้วยค่าคงที่ k แล้ว det(E) = k
2. ถ้า E เป็นการสลับแถวของสองแถวใดใน In แล้ว det(E) = -1
3. ถ้า E เป็นผลจากการคูณแถวใดแถวหนึ่งแล้วบวกกับแถวอื่นใน In แล้ว
det(E) = 1

34. Determinant
ตัวอย่าง จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของ A โดยการลดรูปตามแถว
0 1 5
3 6 9
2 6 1
A −
 
 
=  
 
 

35. Determinant

36. Determinant
ตัวอย่าง จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของ A โดยการลดรูปตามคอลัมภ์
1 0 0 3
2 7 0 6
0 6 3 0
7 3 1 5
A
−
 
 
 
=
 
 
 

37. Determinant

38. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์
ถ้า A , B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n และ k เป็นสเกลาร์แล้ว
1. det(kA) = kndet(A)
2. det(Ak) = [detA]k เมื่อ k เป็นจานวนเต็มบวก

39. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์
ถ้า A , B , C เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n และมีสมาชิกแตกต่าง
กันเพียงแถวเดียว แถวที่แตกต่างกันคือแถวที่ r ซึ่งสมาชิกแถว
ที่ r ของ C เกิดจากการบวกกันของสมาชิกแถวที่ r ของ A
และ B ที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกัน แล้ว
det(EA) = det(E)det(A)

40. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n และ E เป็นเมทริกซ์มูลฐานที่
มีมิติ n x n 1แล้ว
det(A) = det(A)+det(B)
ผลลัพธ์ดังกล่าวยังคงเป็นจริงเมื่อเปลี่ยนจากแถวเป็นหลัก

41. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์
เมทริกซ์จัตุรัส A เป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ ก็ต่อเมื่อ
det(A) ≠ 0

42. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท สมบัติของดีเทอร์มินันต์
ถ้า A , B เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n แล้ว
det(AB) = det(A)det(B)

43. Determinant
ตัวอย่าง det(ABCD)
1 2 2 1 2 1 2 1
, , ,
3 4 3 0 4 3 4 3
A B C D
−
       
= = = =
       
       

44. Determinant

45. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท ถ้าเมทริกซ์จัตุรัส A เป็นเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ แล้ว
1 1
det( )
det( )
A
A

46. สมบัติของดีเทอร์มินันต์ฟังก์ชัน
ทฤษฎีบท กาหนดให้ A มีมิติ n x n ข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน
1. A มีอินเวอร์สการคูณ
2. Ax = 0 มีคาตอบชัดแจ้งเพียงคาตอบเดียว
3. A = I โดยที่ เป็นเมทริกซ์ขั้นบันไดลดรูปตามแถวของเมท
ริกซ์ A
4. สามารถเขียน A ในรูปผลคูณของเมทริกซ์มูลฐานได้
5. Ax = b เป็นระบบคล้องจองสาหรับทุก b ที่มีมิติ n x 1
6. Ax = b มีคาตอบเดียว สาหรับทุก b ที่มีมิติ n x 1
7. det(A) ≠ 0

47. Determinant
ตัวอย่าง จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของ A เมื่อ
1 1 1 2
1 2 2 1
4 3 0 1
3 0 2 1
A
−
−
−
 
 
 
=
 
 
 

48. Determinant

49. Determinant
ตัวอย่าง จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของ A เมื่อ
1 1 3 1
1 1 1 2
3 2 2 1
2 3 2 5
A
−
−
−
 
 
 
=
 
 
 

50. Determinant

51. Determinant
ตัวอย่าง กาหนด จงหา
2 1 5 3 3 4 3 4
1 1 1 1 2 1 2 1
a b
c d
      
=
      
      
a b
c d
 
 
 

52. Eigenvalue and Eigenvector
นิยาม

53. ระบบสมการเชิงเส้นในรูป Ax = x
ระบบสมการนี้สามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งดังนี้
Ax - x = 0
Ax - Inx = 0
(A - In)x = 0
ดังแสดงให้เห็น ระบบสมการ (A - In)x = 0 เป็นระบบสมการ
เชิงเส้นเอกพันธ์ และเป็นระบบคล้องจอง (มีคาตอบชัดแจ้งเป็น
คาตอบหนึ่งของสมการ)

54. Eigenvalue and Eigenvector
ตัวอย่าง

55. Eigenvalue and Eigenvector
ตัวอย่าง

56. Eigenvalue and Eigenvector
ตัวอย่าง

57. Eigenvalue and Eigenvector
ตัวอย่าง

58. Eigenvalue and Eigenvector
ตัวอย่าง

59. Eigenvalue and Eigenvector
ตัวอย่าง

60. Eigenvalue and Eigenvector

61. Eigenvalue and Eigenvector

62. Eigenvalue and Eigenvector
จงหา Eigenvalue ของ A
1 1 1
1 0 2
0 2 1
A
−
−
−
 
 
=  
 
 

64. ลองทาดู

65. ลองทาดู

69. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์
เพื่อหาดีเทอร์มินันต์
วิธีการเรียงสับเปลี่ยน
นิยาม วิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3 , … , n} หมายถึง
การนาจานวนเต็ม 1 , 2 , 3 , … , n มาจัดเรียงโดยไม่ขาดตัวใดและไม่มีตัวใดซ้ากัน
เขียนแทนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3 , … , n} ด้วยสัญลักษณ์
(p1 , p2 , … , pn) โดยที่ p1 , p2 , … , pn เป็นจานวนเต็มในเซต {1 , 2 , 3 , … , n}
ที่ไม่ซ้ากัน

70. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์
เพื่อหาดีเทอร์มินันต์
ตัวอย่าง วิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2} มี 2 วิธี คือ
(1 , 2) และ (2 , 1)
หมายเหตุ จานวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3 , … , n}
เท่ากับ n! วิธี
ตัวอย่าง วิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3} มี 6 วิธี คือ
(1 , 2 , 3) , (1 , 3 , 2) , (2 , 1 , 3) , (2 , 3 , 1) , (3 , 1 , 2) และ (3 , 2 , 1)

71. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์
เพื่อหาดีเทอร์มินันต์
การผกผัน (inversion)
นิยาม ถ้า P = (p1 , p2 , … , pn) เป็นวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม
{1 , 2 , 3 , … , n} การผกผัน (inversion) จะปรากฏใน P ก็ต่อเมื่อ มีจานวน pi
และ pj ใน P ซึ่ง pi > pj แต่ pi อยู่ในตาแหน่งหน้า pj
เขียนแทนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3 , … , n} ด้วยสัญลักษณ์
(p1 , p2 , … , pn) โดยที่ p1 , p2 , … , pn เป็นจานวนเต็มในเซต {1 , 2 , 3 , … , n}
ที่ไม่ซ้ากัน

72. จะนับจานวนการผกผันใน P = (p1 , p2 , … , pn) ดังนี้
- หาจานวนเต็มใน P ซึ่งน้อยกว่า p1 แต่อยู่หลัง p1
สมมติให้มี m1 จานวน
- หาจานวนเต็มใน P ซึ่งน้อยกว่า p2 แต่อยู่หลัง p2
สมมติให้มี m2 จานวน
:
- หาจานวนเต็มใน P ซึ่งน้อยกว่า pn-1 แต่อยู่หลัง pn-1
สมมติให้มี mn-1 จานวน
จะได้ว่าจานวนของการผกผันใน P = (p1 , p2 , … , pn) เท่ากับ
m1+ m2 + ... + mn-1 จานวน

73. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์
เพื่อหาดีเทอร์มินันต์
ตัวอย่าง
j1 = (1 , 3 , 2) การผกผันของ j1 คือ (3 , 2) จะได้จานวนการผกผันใน j1 คือ 1
ดังนั้น t(1 , 3 , 2) = 1
จานวนการผกผันใช้สัญลักษณ์ t(j) แทนจานวนการผกผันในการเรียงสับเปลี่ยน
j2 = (5 , 4 , 2 , 3 , 1) การผกผันของ j2 คือ (5 , 4) , (5 , 2) , (5 , 3) , (5 , 1) , (4 , 2) ,
(4 , 3) , (4 , 1) , (2 , 1) , (3 , 1) จะได้จานวนการผกผันใน j2 คือ 9
ดังนั้น t(5 , 4 , 2 , 3 , 1) = 9
j3 = (1 , 2 , 5 , 3 , 4) การผกผันของ j3 คือ (5 , 3) , (5 , 4) จะได้จานวนการผกผันใน j3
คือ 2 ดังนั้น t(1 , 2 , 5 , 3 , 4) = 2

74. ตัวอย่าง จงหาจานวนของการผกผัน
(6 , 2 , 5 , 3 , 1 , 4)
(7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1)
(4 , 2 , 1 , 3)

75. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์
เพื่อหาดีเทอร์มินันต์
วิธีการเรียงสับเปลี่ยนคู่ วิธีการเรียงสับเปลี่ยนคี่
นิยาม วิธีการเรียงสับเปลี่ยน P จะเรียกว่า วิธีการเรียงสับเปลี่ยนคู่ (even
permutation) เมื่อจานวนการผกผันใน P เป็นจานวนคู่ และจะเรียกว่า วิธีการเรียง
สับเปลี่ยนคี่(odd permutation) เมื่อจานวนการผกผันใน P เป็นจานวนคี่
เขียนแทนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3 , … , n} ด้วยสัญลักษณ์
(p1 , p2 , … , pn) โดยที่ p1 , p2 , … , pn เป็นจานวนเต็มในเซต {1 , 2 , 3 , … , n}
ที่ไม่ซ้ากัน

76. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์
เพื่อหาดีเทอร์มินันต์
ตัวอย่าง
กาหนดให้ j1 = (3 , 1 , 2 , 5 , 4) , j2 = (4 , 1 , 3 , 2) และ j3 = (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6)
จงหาว่า j1 , j2 , j3 เป็นการเรียงสับเปลี่ยนคู่หรือคี่
j1 = (3 , 1 , 2 , 5 , 4) การผกผันของ j1 คือ (3 , 1) , (3 , 2) , (5 , 4) จะได้จานวนการ
ผกผันใน j1 คือ 3 หรือ t (3 , 1 , 2 , 5 , 4) = 3 ดังนั้นเป็นการเรียงสับเปลี่ยนคี่
j2 = (4 , 1 , 3 , 2) การผกผันของ j2 คือ (4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3) , (3 , 2) จะได้จานวน
การผกผันใน j2 คือ 4 หรือ t (4 , 1 , 3 , 2) = 4 ดังนั้นเป็นการเรียงสับเปลี่ยนคู่
j3 = (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6) ไม่มีการผกผัน t (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6) = 0 ดังนั้นเป็นการเรียง
สับเปลี่ยนคู่

77. ตัวอย่าง จงแยกประเภทของวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของ
เซตของจานวนเต็ม {1 , 2 , 3}
วิธีการเรียงสับเปลี่ยน จานวนการผกผัน ประเภทคู่ / คี่
(1 , 2 , 3) 0 คู่

78. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์
เพื่อหาดีเทอร์มินันต์
ดีเทอร์มินันต์โดยวิธีการทางคอมบินาทอริกส์
นิยาม กาหนดให้
ฟังก์ชันดีเทอร์มินันต์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ det นิยามว่า
det(A) =  ()a1p1a2p2 … anpn
เมื่อ (p1 , p2 , … , pn) เป็นวิธีการเรียงสับเปลี่ยนของเซต {1 , 2 , 3 , … , n} และมีวิธีการ
เลือกเครื่องหมาย  ดังนี้
เลือก + เมื่อ (p1 , p2 , … , pn) เป็นวิธีการเรียงสับเปลี่ยนคู่
เลือก – เมื่อ (p1 , p2 , … , pn) เป็นวิธีการเรียงสับเปลี่ยนคี่
เรียก det(A) ว่าดีเทอร์มินันต์ของ A
aij n n
A 
=  
 

79. วิธีการทางคอมบินาทอริกส์
เพื่อหาดีเทอร์มินันต์
ตัวอย่าง จงหาค่าดีเทอร์มินันต์ของเมทริกซ์มิติ 3x 3 โดยวิธีการทางคอมบินาทอริกส์