Matrix problem p

1
เรียนรูจากโจทยเรื่องเมทริกซ
1. กําหนดใหเมตริกซ
2
4 3
x y
A
x y
+⎡ ⎤
= ⎢ ⎥+⎣ ⎦
จงพิจารณาวาขอใดไมถูกตอง
[Entrance คณิต กข. ป 2520]
ก. เมตริกซ A เกิดจากผลคูณ
2 1
4 3
x
y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ข. เมตริกซ A เกิดจากผลคูณ
y
x
1 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥3 4⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ค. เมตริกซ A เกิดจากผลบวก 4
x y
y x
2⎡ ⎤ ⎡ ⎤
+⎢ ⎥ ⎢ ⎥3⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ง. A เปน 2 2× เมตริกซ ซึ่งมีคา det( ) 2A xy=
จ. A เปน 2 1× เมตริกซ ซึ่งหาคาของ det( )A ไมได

2
2. ถาผลคูณของ 2 2× เมตริกซ A กับเมตริกซ
4 16
36 64
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
เทากับ
14
,
4
A−0⎡ ⎤
⎢ ⎥0⎣ ⎦
มี
คาเทาใด
ก. 3 4
1 2⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
ข.
1 4⎡ ⎤
⎢ ⎥9 16⎣ ⎦
ค.
3 4⎡ ⎤
⎢ ⎥6 8⎣ ⎦
ง.
2 8⎡ ⎤
⎢ ⎥18 32⎣ ⎦

3
3. ถาผลบวกระหวาง
2
2
2
1
1 3
3
x x
A y
x y
⎛ ⎞−
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
1 0 2
2 0 1 2
2 2 1
t
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
คา x
และ y ที่ถูกตองตามสมการคือขอใด
ก. x+y=2
ข. x-y=-2
ค. x+y=-2
ง. x-y=2
จ. ไมมีขอใดถูก

4
4. กําหนด A,B และ C เปน 2 2× เมตริกซใดๆ ขอใดตอไปนี้ถูก
ก. AB BA=
ข.
1 1 1
( )AB B A− − −
=
ค. ถา AB AC= แลว B C=
ง. 0AB = แลว 0A = หรือ 0B =

5
5. ถา A เปน 2 2× เมตริกซ ที่มีคุณสมบัติ t t
AA A A= + แลว A เทากับเทาใด
ก.
−1 0⎡ ⎤
⎢ ⎥0 −1⎣ ⎦
ข.
0 1⎡ ⎤
⎢ ⎥1 0⎣ ⎦
ค.
1 0⎡ ⎤
⎢ ⎥0 1⎣ ⎦
ง.
1 1⎡ ⎤
⎢ ⎥1 1⎣ ⎦

6
6. ขอใดตอไปนี้ผิด
ก. [ ]
1 3
2 3 6
4 12
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ข.
1 3 0 3 9 0
3 2 2 1 6 6 3
3 1 0 9 3 0
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ค.
1 0 1 3 0 3
3 0 0 1 0 0 3
0 1 0 0 3 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ง.
4 5 0 2 5 0
2 1 0 4 1 1 0
4 2 4 1 1 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
จ.
1 1 0 1 0 1 1 0 0
2 2 1 0 0 1 2 1 4
4 0 3 0 1 0 4 3 4
− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7
7. กําหนด A,B และ C เปน 3 3× เมตริกซใดๆ ขอใดตอไปนี้ถูก
ก. ถา
1
2
3
x
A y
z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
สามารถหาคา x,y,z ไดเสมอ ที่สอดคลองกับระบบสมการ
ขางตน
ข. ถา A และ B เปนนอนซิงกูลารที่มีสมบัติ AB I= จะได
1
( )BA BA −
=
ค. ( )t t t t
ABC A B C=
ง. det( ) det( ) det( )A B A B+ = +
จ. det( ) det( ) det( )AB A B= +

8
8. ขอความตอไปนี้ขอใดผิด
ก. ถา
1 2 3
1 3 3
1 2 4
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จะได
1
6 2 3
1 1 0
1 0 1
A−
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
ข. ถา
3 1
6 2
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลว 1
B−
หาคาไมได
ค. ถา
1 2 3
2 3 1
A
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
และ
1 2
2 3
3 1
B
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
จะไดวา t
AB AA=
ง. ถา
1 0 0
0 2 0
0 0 3
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จะได
3
1 0 0
0 8 0
0 0 27
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จ. กําหนด
1 1 1 0
,
0 2 1 2
A B
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
จะไดวา
2 2
( )( )A B A B A B+ − = −

9
9. จงเลือกขอความที่ถูกตอง
ก. ถา
1 31
2 3 1
A
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
จะได 2
A I=
ข. ถา
1 3
2 5
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
5 3
2 1
B
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
จะได AB BA≠
ค. ถา
3 4 4
9 2 9
X
− −⎛ ⎞ ⎡ ⎤
=⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦
จะได
2
3
3
2
X
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
ง.
1 2 3 1 2 3
2 2 1 1 4 2 2
3 2 2 3 2 2
≠

10
10. กําหนดให
3
2
4
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
และ [ ]1 6 7B = − ไดวา AB เทากับ
ก. [ ]37
ข. [ ]3 12 28−
ค.
3−⎡ ⎤
⎢ ⎥12⎢ ⎥
⎢ ⎥28⎣ ⎦
ง.
3 2 4
18 12 24
21 14 28
− − −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
จ.
3 18 21
2 12 14
4 24 28
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠

11
11. กําหนดให 2 2ijA a
×
⎡ ⎤= ⎣ ⎦ โดย A มีสมาชิกเปนจํานวนจริง และ
t
A A= − ขอใดตอไปนี้ซึ่งสรุปสมบัติของสมาชิกของ A ไดถูกตองที่สุด
ก. 12 21a a= และ 11 22 0a a= =
ข. 12 21a a= และ 11 22a a≠
ค. 12 21a a= − และ 11 22 0a a= =
ง. 12 21a a= − และ 11 22a a≠

12
12. กําหนดให , ,0A I เปนเมตริกซมิติ 2 2× ที่ I เปนยูนิตเมตริกซ และ 0
เปนเมตริกซศูนย ถา
2
0A A I+ + = แลวจะสรุปไดวา
ก. A เปนนอนซิงกูลารเมตริกซ และ 1
A A I−
= +
ข. A เปนนอนซิงกูลารเมตริกซ และ 1
A A I−
= − −
ค. A เปนนอนซิงกูลารเมตริกซ และ 1
A A−
=
ง. A เปนนอนซิงกูลารเมตริกซ และ 1
A A−
= −
จ. A เปนนอนซิงกูลารเมตริกซ ที่หา 1
A−
ไมได

13
13. กําหนด
11 12
21 22
a a
A
a a
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
11 12
21 22
b b
B
b b
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ถา
11 12
21 22
c c
C
c c
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนทรานสโพสของ AB แลว ijC ซึ่งเปนสมาชิกของ C ที่อยู
ในแถวที่ i และ หลักที่ j จะมีคาเทากับ

14
1
2
3
4
1 1 1 1 8
1 1 1 1 6
1 1 1 1 0
1 1 1 1 4
x
x
x
x
− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
คาของ 3X เทากับ
ก. 2
ข. 3
ค. 4
ง. 5

15
3 7
2 5
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
1 0
0 1
I
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, x เปนสเกลาร ถา
1
C A xI−
= − และ det( ) 0C = แลว x มีคาเทากับ
ก.
1
3
ข.
1
5
ค. 4 15±
ง. 60±

16
16. ให
1 2 1 1
,
3 2 1
A B
a
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ 1 1
2C AB B− −
= + คาของ
“a” ที่ทําให det( ) 1C = คือ
ก. 3
ข.
11
4
ค. 2
ง.
8
3

17
2 1 1
1 0 2
2 1 0
1 1 1 1
x
y
u
v
− 2 0 −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥3 −1⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− 2 2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− 3⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
คาของ u คือ
ก. 1
ข.
1
3
ค.
1
2
ง.
1
2
−

18
18. กําหนดให I เปนเมตริกซเอกลักษณ 2 2× ขอใดตอไปนี้ไมจริง
ก. ถา
cos sin
sin cos
A
θ θ
θ θ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
แลว 1 t
A A−
=
ข. ถา
1 31
2 3 1
A
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
แลว 1 2
A A−
=
ค. ถา
1 2
2 3
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลว 1
4A A I−
= −
ง. ถา
1 1
0 2
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลว 1
3A I A−
= −

19
19. ถาแบงลักษณะระบบสมการเชิงเสนทั่วไป ตามจํานวนคําตอบของสมการ
จะไดวา
(1) ระบบสมการที่ไมมีคําตอบ
(2) ระบบสมการที่มีคําตอบเดียว
(3) ระบบสมการที่มีคําตอบนับไมถวน
กําหนดระบบสมการเชิงเสน
3
4 5
px qy k
rx sy t
− = −
− + =
โดยที่ k,p,q,r,s และ t เปนจํานวนจริงใดๆ และ
3
4
p q
r s
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
เปนซิงกูลารเมตริกซ
ระบบสมการนี้จะเปนแบบใดไดบาง
ก. (1) เพียงแบบเดียว
ข. (3) เพียงแบบเดียว
ค. (1) และ (2)
ง. (1) และ (3)

20
20. พิจารณาขอความตอไปนี้
(1) ถา
1 b
A
c d
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมื่อ b,c และ d เปนจํานวนจริง โดยที่ A I≠ แต
2
A I= แลว 1d = − และ 0bc =
(2) ถา A,B เปนเมตริกซใดๆ ขนาด 2 2× และ c เปนสเกลารใดๆ
2
det(( )( )) (det )(det )cA cB c A B=
(3) ถา A,B และ C เปนเมตริกซใดๆ และ
2 2
0A B A C+ = แลว 0A = หรือ
B C= −
(4) ถา 2t
A A= แลว det 1A = −
ขอใดตอไปนี้ถูก
ก. ขอ (1),(2),(3),(4) ผิดหมดทุกขอ
ข. มีผิด 3 ขอเทานั้น
ค. มีผิด 2 ขอ เทานั้น
ง. มีผิด 1 ขอเทานั้น

21
21. ถา
1
2 0
a
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ B เปนเมตริกซ 1
BA A−
= และ
1
2 2 0B A I−
− + = แลวเมตริกซ B คือ
ก.
1 11
2 12
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
ข.
1 11
2 12
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
ค.
1 21
1 12
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ง.
1 21
1 12
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠

22
22. ขอใดตอไปนี้ถูก
ก. A,B และ C เปน 2 2× เมตริกซใดๆ แลว ( )AB AC B C A+ = +
ข. ถา A,B เปนเมตริกซใดๆ และ 0AB = แลว 0A = หรือ 0B =
ค. เอกลักษณการคูณของ 2 2× เมตริกซ คือ
1 1
1 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ง. ถา A,B และ C คือ 2 2× เมตริกซซึ่ง det 0A < และ AB AC= แลว
B C=

23
23. ขอใดตอไปนี้ผิด
ก. กําหนดเมตริกซ
1 0
1 1
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
0a
B
b a
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, เมื่อ a,b เปนจํานวนจริงจะ
ไดวา AB BA=
ข. ถา
2 2
1
k
A
k
−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−3⎣ ⎦
เปนนอนซิงกูลารเมตริกซแลว 1k ≠ และ 4k ≠
ค. ถา A เปน 2x2 เมตริกซ และ k เปนจํานวนจริงใดๆ ซึ่ง 0k ≠ แลว
det( ) det( )t
kA k A=
ง. ถา A และ B เปน 2x2 เมตริกซ ที่หา 1
A−
และ 1
B−
ไดแลว
1 1 1
det( ) det( )det( )AB B A− − −
=

24
24. กําหนดเมตริกซ
4
2
a
A
b
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ถา
2
4 5 0A A I− − = แลว a,b จะมี
คาเทากับเทาใด
ก. a=1,b=-3 หรือ a=-3,b=1
ข. a=-1,b=-3 หรือ a=-3,b=-1
ค. a=1,b=3 หรือ a=3,b=1
ง. ขอ ก. ข. และ ค. ไมมีขอใดถูก

25
25. ให
2
cos 1
{ |
2 sin 2
x
A x
x
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
−⎣ ⎦
เปนซิงกูลารเมตริกซ และ [0, ]}x π∈ ขอ
ใดตอไปนี้ถูก
ก. [x x A∃ ∈ และ 0 sin cos2 1]x x< − <
ข. [ sin cos2 1]x x A x x∀ ∈ → − >
ค. [x x A∃ ∈ และ sin cos2 1]x x− ≥
ง. [ 0 sin cos2 1]x x A x x∀ ∈ → < − ≤

26
26. ให
0 1 0 0
0 0 1 , 0 0 1
1 0 0 0
A B
1 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥0 1⎣ ⎦ ⎣ ⎦
และ
0
0
0
I
1 0⎡ ⎤
⎢ ⎥= 1 0⎢ ⎥
⎢ ⎥0 1⎣ ⎦
ขอความ
ใดตอไปนี้เปนจริง
ก. 1 2
B AB A−
=
ข. 1
B AB A−
=
ค. 1
B AB I−
=
ง. 1
B AB B−
=

27
27. ในการสรางเมตริกซ
a b
d c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
โดยที่ , , { 2, 1,0,1,2}a b c∈ − − และ
0d = ความนาจะเปนที่จะได เมตริกซนอนซิงกูลาร เปนเทาใด

28
28. ถา A และ B เปนเซตของเมตริกซ กําหนดโดย
1 1
|
0 1
n
A n
⎧⎛ ⎞
= ⎨⎜ ⎟
⎝ ⎠⎩
เปนจํานวนเต็มบวก
1 0
|
0 1
n
B n
⎧ −⎛ ⎞
= ⎨⎜ ⎟
−⎝ ⎠⎩
เปนจํานวนเต็มบวก
แลวขอใดตอไปนี้เปนจริง
ก. A เปนเซตจํากัด B เปนเซตจํากัด
ข. A เปนเซตจํากัด B เปนเซตอนันต
ค. A เปนเซตอนันต B เปนเซตจํากัด
ง. A เปนเซตอนันต B เปนเซตจํากัด

29
1
1
c
A
c
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
และ
2 2 3 1
det(2 ) (1 ) det( ) 45t
A c A−
+ − = จงหาวาจํานวนจริง c ทั้งหมดซึ่ง
สอดคลองกับสมการขางตนอยูในเซตใดตอไปนี้
ก. { 3, 2, 5}− −
ข. {2,3, 5}−
ค. { 2,2,3}−
ง. { 2, 2,2}−

30
30. มีจํานวนเต็มบวก x ทั้งหมดที่ทําให 1
x x
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
มีคาดีเทอรมิแนนทไมเกิน 30 มี
จํานวนเทากับเทาใด

31
2 2 1
, ,
3 2 0 1
x y y a
A B C
z y
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ถา
AB C= แลว a จะมีคาเทากับเทาใด
ก.
29
36
ข.
27
36
ค.
19
36
ง.
17
36

32
cos sin 1 0
,
sin cos 0 1
A I
θ θ
θ θ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ
2 1 2
( ) 2B A A I−
= + + ดังนั้น
1 2
( )A B−
มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
ก. 2I
ข. 4I
ค. 4A
ง. 8A

33
33. ให
sin 2 sin3
cos2 cos3
x x
A
x x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
โดยที่ [ , ]
2 2
x
π π
∈ − ถา x สอดคลอง
กับสมการ
2
det( ) det( ) det(2 ) 6A A I+ − + = เมื่อ I เปนเมตริกซเอกลักษณ
แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
ก.
1
sin (1)−
ข.
1
sin ( 1)−
−
ค.
1
cos (1)−
ง.
1
cos ( 1)−
−

34
34. ให a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ ที่ไมเปนศูนยพรอมกัน
กําหนดเมตริกซ
a
A
b
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
cos2 sin 2
sin 2 cos2
B
θ θ
θ θ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
คาของมุม θ ในชวง [0, ]
2
π
ที่จะทําใหเมตริกซผลคูณ t
A BA เปนเมตริกซศูนยคือ คาในขอใด
ก.
6
π
ข.
3
π
ค.
4
π
ง.
2
π

35
35. ถา
sin cos
cos sin
A
θ θ
θ θ
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
cos2 sin 2
sin 2 cos2
B
θ θ
θ θ
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
แลว det( )AB มีคาเทากับขอใด
ก. 2 2
1 cos cos 3θ θ+ +
ข. 2 2
1 cos cos 3θ θ− +
ค. 2 2
1 cos cos 3θ θ+ −
ง. 2 2
1 cos cos 3θ θ− −

36
36. ขอใดถูก
ก. ถาเมตริกซ [ ] [ ]1 1 4 , 1U X= − − = 0 2 และ
5 1
0 , 1
1 2
V Y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
แลวเมตริกซ [ ]3 2 3UV XY− =
ข. ถา 2
2 1
a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนซิงกูลารเมตริกซแลว 2a =
ค. ถา A และ B เปนเมตริกซจัตุรัสที่มีมิติเดียวกัน และ det(AB)=0 แลว detA=0
หรือ detB=0
ง. ถา A เปนนอนซิงกูลารเมตริกซมิติ 2x2 แลว
1 1
det(2 ) det(2 )A A− −
=

37
37. สําหรับจํานวนจริง x ใดๆ ให xA เปนเมตริกซ กําหนดโดย
2
2
2sin 2sin
2 cos cos
x
x x
A
x x
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
ถา { | 2 2S x xπ π= − ≤ ≤ และ xA เปนซิงกูลารเมตริกซ}แลว S จะมีสมาชิกกี่ตัว

38
38. ถา
1 1
3 1
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
แลว
3
det( 2 ( ))t t
A A A A− + เทากับขอใด
ก. 768
ข. -768
ค. 384
ง. -384

39
39. กําหนดให A และ B เปนนอนซิงกูลารเมตริกซขนาด 2x2 โดยที่
1 1
det( )
2
A−
= − และ
1 2
B
x y
− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริง ถา
3 2AB A I+ = แลว x+y เทากับขอใด
ก. 2
ข. -2
ค. 4
ง. -4

40
40. กําหนดให 0 ,0x yπ π≤ ≤ ≤ ≤ ถา
3 1
sin cos cos sin( ) 2 2
1 0 sin 0 3
1
2
x x x x y
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟+⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลว
tan(2 )x y+ มีคาเทากับขอใด
ก.
1
3
−
ข. 3−
ค.
1
3
ง. 3

41
41. ถา ij m n
A a
×
⎡ ⎤= ⎣ ⎦ เมื่อ ija เปนจํานวนจริง และ n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1
แลว ขอความตอไปนี้ขอใดผิด
ก.
2
det( ) det( )t
AA A=
ข.
2 2 2
det( ) det( ),n
kA k A k R= ∈
ค.
2
det( ) [det 1]det( )A A A A+ = +
ง. [det( )] ( ) ( )A I A adjA adjA A= =

42
42. ให A,B เปนเมตริกซจัตุรัสมิติ 3x3 และ I เปนเมตริกซเอกลักษณ มิติ 3x3
ถา AB=BA=I และ
1 1 1
2 1 3
1 0 1
A
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
แลว เมตริกซผูกพันของ B เทากับขอใด
ก.
1
3
A
ข. 3A−
ค.
1
3
t
A
ง. 3 t
A−

43
43. ให A เปนเมตริกซ และ I เปนเมตริกซเอกลักษณ มิติ 3x3
ถา
1 2 1
3 0 1B
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−2 1 0⎣ ⎦
และ
0 2 3
3 1C
−⎡ ⎤
⎢ ⎥= − 2⎢ ⎥
⎢ ⎥0 2 1⎣ ⎦
สอดคลองกับสมการ
1
0
2
AB AC I− − = แลว 1
A−
คือเมตริกซในขอใด
ก.
1 0 2
0 1
⎡ ⎤
⎢ ⎥−1⎢ ⎥
⎢ ⎥−2 −1 −1⎣ ⎦
ข.
2 0 4
0 2
⎡ ⎤
⎢ ⎥− 2⎢ ⎥
⎢ ⎥−4 − 2 − 2⎣ ⎦
ค.
1 0 2
0 1
− −⎡ ⎤
⎢ ⎥− 1⎢ ⎥
⎢ ⎥2 1 1⎣ ⎦
ง.
1 0 4
0 2
− −⎡ ⎤
⎢ ⎥− 2⎢ ⎥
⎢ ⎥4 2 2⎣ ⎦

44
44. สําหรับจํานวนเต็มบวก n ใดๆ ให
1
1
1
n
n
n
M
n
n
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟− +⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ det( )n na M= แลว lim n
n
a
→∞
เปนจริงตามขอใดตอไปนี้
ก. มีคาเปน 0
ข. มีคาเปน 1
ค. มีคาเปน 2
ง. หาคาไมได

45
0 1 2 1 1 0
, ,
1 2 1 3 1 2
A B C
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ถา ( )X B C A= + แลว 1
X −
คือเมตริกซในขอใด
ก.
2 1
1 1
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ข.
2 1
1 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
ค.
1 1
1 0
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
ง.
1 1
1 0
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

46
46. ให A และ B เปนเมตริกซจัตุรัส มิติ 4x4 และ I เปนเมตริกซเอกลักษณมิติ
4x4 โดยที่ A(adjA)-BA=I ถา detB=0 แลว detA มีคาเทากับเทาใด
ก. -1
ข. 0
ค. 1
ง. 2

47
4
3 8 0
x y
A
x y
⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −1⎣ ⎦
โดยที่โคแฟคเตอรของ 21 6a = − โค
แฟคเตอรของ 23 4a = แลวโคแฟคเตอรของ 33a มีคาเทากับเทาใด
ก. -14
ข. -13
ค. 13
ง. 14

48
3 4 1 2
, ,
2 3 1 3
a b
A B X
c d
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ถา AX B A+ = แลว b c+ มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
ก. 7
ข. 9
ค. 10
ง. 11

49
1 2 1
2 3 , , 1
1 0 0
a x
A b X y B
c z
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
โดยที่ , ,a b c
เปนจํานวนจริง ถา AX B= และ 2 1
1 2
0 1 1 2
1 0 2
A R R
3⎡ ⎤
⎢ ⎥− − −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
∼
แลว x มีคา
เทากับขอใดตอไปนี้
ก. -1
ข.
2
3
−
ค.
3
4
ง. 2

50
1 2
1 0
2 1 0
A
3⎡ ⎤
⎢ ⎥= 0 −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
และ
p
X q
r
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
ถา
2
1
( ) 6
0
A adjA X
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
แลว p มีคาเทากับเทาใด

51
51. ถา
1 2 1 1
,
3 4 2 1
A B
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
แลว 1
2 t
A B−
คือเมตริกซใน
ขอใดตอไปนี้
ก.
2 10
2 7
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
ข.
2 10
2 7
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ค.
5 2
6 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ง.
5 2
6 6
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

52
1
2
3
1
1 ,
1 1
x
A a X x
a x
−1 2 ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥= −1 = ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
และ
1
0
1
B
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
แลว คา
ของ a ทั้งหมดที่ทําใหระบบสมการ AX B= หาคําตอบ ( )X ได จะตรงกับเซตใน
ขอใด
ก. {1}R −
ข. {1,2}R −
ค. {3}R −
ง. { 1,3}R − −

53
2 1
1 3
A
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ 3
3
7
x x
M
x
−⎛ ⎞
⎜ ⎟=
⎜ ⎟+⎜ ⎟
⎝ ⎠
เซตของจํานวนจริง x ที่ทําให
1
det det[(2 ) ]t
M A A A−
= + คือเซตในขอใดตอไปนี้
ก.
11
{ , 5}
7
−
ข.
11
{ ,5}
7
ค.
11
{ , 5}
7
− −
ง.
11
{ ,5}
7
−

54
54. ถา 3 3
0
1 2 0 ,det 1
1 1
ij
x y
A a A
x
×
⎛ ⎞
⎜ ⎟⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
และ โคแฟคเตอร
21 3a = แลว det( )A I+ เทากับเทาใด (เมื่อ I เปนเมตริกซเอกลักษณขนาด 3x3)
[Entrance คณิต 1- มีนาคม ป 2542]

55
55. ถา 1x สอดคลองกับระบบสมการ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 0
3 2 5
2 3 3 9
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ − =
− − =
และ
1 12
3
x y x
A
y
+⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลว ผลบวกของ y ทั้งหมดที่ทําให A เปนเมตริกซเอกฐานเทากับขอใดตอไปนี้
ก. 0
ข. -1
ค. -2
ง. -3

56
5 1
0 4 2
0 0
x
A
x
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
โดยที่ det( ) 1A = − และ x เปน
จํานวนจริง ถา I เปนเมตริกซเอกลักษณขนาด 3x3 แลว det(2( ) )t
I A A− มีคา
เทากับเทาใด
[Entrance คณิต 1- ตุลาคม ป 2542]
ก. 4
ข. 8
ค. 12
ง. 18

57
57. ให A เปนเมตริกซ 3x3 ถา 13 21
1 3 1
,
1 2
M M
− − 1
= =
2 4 และ
32
2 1
1 0
M =
− แลว det Aมีคาเทากับเทาใด

58
58. ถา
5 4 6
2 0 7
1 2 0
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
13 23( ) ( )
3 2
C A C A
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลว
1
det( )B−
มีคาเทากับเทาใด

59
59. ถา
3 2
2 2
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลว
1 1 2 1 3 1 6
det(4( )) det(4 ) det(4 ) ... det(4 )A A A A− − − −
+ + + + มีคา
เทาใด

60
1 6
2 5 7
4 2 9
x
A
y
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ถาไมเนอรของ 32a เทากับ 23 และ โค
แฟคเตอรของ 23a เทากับ -44 แลว x+y มีคาเทากับเทาใด

61
61. ในการสรางเมตริกซในรูป
2
4
1
x x
x x
⎛ ⎞−
⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
แบบสุม โดยที่
{0,1,2,3,4}x∈ ความนาจะเปนที่จะไดเมตริกซเอกฐานเทากับเทาใด

62
62. ถา
1 0 1
3 1 2
2 5
A
a
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ 11( ) 2C A = แลว
1
det( 3 )A−
− มีคา

63
(tan30 ) 1
(cot 60 ) 2
x
x
A
⎛ ⎞° −
= ⎜ ⎟
°⎝ ⎠
และ
1
det( ) 9,A A−
= คือ
เมตริกซในขอใดตอไปนี้
ก.
2 1
9 3
1 1
9 3
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ข.
2 1
9 3
1 1
9 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎝ ⎠
ค.
1 1
3 3
1 2
9 9
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ง.
2 1
9 9
1 1
3 3
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎜ ⎟
⎝ ⎠

64
(1) ถา x R∈ และ
1
det( 1 ) 4
1 1
x x
x x
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥ = −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
แลว 2x ≤
(2) กําหนดให ,a b R∈ และ
2
2 3
a
A
b
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
ถา A badjA= แลว
2a b+ ≥
ขอใดตอไปนี้เปนจริง
ก. (1) ถูก และ (2) ถูก
ข. (1) ถูก และ (2) ผิด
ค. (1) ผิด และ (2) ถูก
ง. (1) ผิด และ (2) ผิด

65
2 0
,
1 0
A I
4 − 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 1⎣ ⎦ ⎣ ⎦
และ c เปนจํานวนจริงที่นอย
ที่สุดที่ทําให det( ) 0A cI− = ถา
1
c c
B c c
c c
1⎡ ⎤
⎢ ⎥= 1⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
แลว
1
det( )
2
B เทากับ
เทาใด

66
66. ถา A ปนเมตริกซซึ่ง
1
2 0
3 1 , 0
0
A x
x
−
1⎡ ⎤
⎢ ⎥= 1 − >⎢ ⎥
⎢ ⎥− 2⎣ ⎦
และ
1
det(2 )
18
adjA = แลว x เปนจริงตามขอใดตอไปนี้
ก. 5x <
ข. 5 9x≤ <
ค. 0 13x≤ <
ง. 13x ≥

67
67. กําหนดให A และ B เปนเมตริกซขนาด 2x2
ถา
5 4
2
8 16
A B
⎡ ⎤
+ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
และ A B
2 1⎡ ⎤
− = ⎢ ⎥−1 −5⎣ ⎦
แลว
1
det(2 )A B−
มีคาเทากับเทาใด

68
2 1
0 1
1 1
x x x
A x x
x x
+ +⎡ ⎤
⎢ ⎥= +⎢ ⎥
⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
และ
1
2 3
x x
B
x
+⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
ถา x เปนจํานวนจริง ที่ทําให det( ) 0A = แลว adjB คือเมตริกซในขอใดตอไปนี้
ก.
3 2
2 1
−⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎣ ⎦
ข.
3
2 1
0⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎣ ⎦
ค.
3 3
4
−⎡ ⎤
⎢ ⎥− 2⎣ ⎦
ง.
3 1⎡ ⎤
⎢ ⎥4 − 2⎣ ⎦

69
69. กําหนดให a เปนจํานวนจริง และ
1 2 6
3
2
a a
A a
a a
⎡ ⎤+
⎢ ⎥
= 6⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
ถา 11( ) 18M A = และ 22 ( ) 12M A = − แลว 31( )C A เทากับขอใดตอไปนี้
ก. -57
ข. -33
ค. -15
ง. -3

70
70. กําหนดให a เปนจํานวนจริง และ
2
A
a
1 0⎡ ⎤
⎢ ⎥= 0 3 0⎢ ⎥
⎢ ⎥4 0⎣ ⎦
ถา 10a > และ det( ) 225adjA = แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
ก. 11
ข. 12
ค. 13
ง. 14

71
2 1
1 1
1 1
a a
A a
a
− −⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
เมื่อ a เปนจํานวนจริง ถา
11( ) 5M A = และ 33 ( ) 0M A = แลว
พิจารณาขอความตอไปนี้
(1) det( ) 11A =
(2) 13 ( ) 1C A = −
ก. (1) ถูก และ (2) ถูก
ข. (1) ถูก และ (2) ผิด
ค. (1) ผิด และ (2) ถูก
ง. (1) ผิด และ (2) ผิด

72
72. ให x,y,z เปนคําตอบของระบบสมการเชิงเสน
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2
1
0
a x a y a z
a x a y a z
a x a y a z
+ + =
+ + =
+ + =
ถา
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼
แลวคาของ x+y+z เทากับเทาใด

73
73. กําหนดให A เปนเมตริกซ 3x3 และ ijA คือเมตริกซที่ไดจากการตัดแถวที่ i
และหลักที่ j ของเมตริกซ A ออก
ถา 11 32
2 5 1
1 2 1 1
28 1 , ,
5 8 3 2
17 5
adjA A A
− −⎡ ⎤
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − 10 − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥− −1⎣ ⎦
แลว det( )A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
ก. -92
ข. -15
ค. 15
ง. 92

74
74. กําหนดให S คือเซตของเมตริกซ { | , , , (0,1)}
a b
a b c d
c d
⎛ ⎞
∈⎜ ⎟
⎝ ⎠
ความ
นาจะเปนในการสุมหยิบเมตริกซ A จากเซต S โดยมีสมบัติ det( ) 0A = หรือ
det( ) 1A = เทากับขอใดตอไปนี้
ก.
3
4
ข.
5
8
ค.
11
16
ง.
13
16

75
75. ถา x,y,z สอดคลองกับระบบสมการ
2 2 2
2 2 5
3 2 3
x y z
x y z
x y z
+ − = −
+ + =
− − =
แลว
ดิเทอรมิแนนต
2 1 3
2 2 2
2 2 3x y x y x y
−
− −
+ + −
มีคาเทากับเทาใดตอไปนี้
[A-net กุมภาพันธ ป 2549]
1. 60
2. 75
3. 90
4. 105

76
3 3
2 0 9
1 1 2
x
A
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
เมื่อ x เปนจํานวนจริง
ถา
3 3 1 0 0 1 0 0 9 5 36
2 0 9 0 1 0 0 5 3 21
1 1 2 0 0 1 0 0 1 2 1 8
x −⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 0 − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∼
แลว x มีคาเทากับเทาใด

77
77. กําหนดให a,b เปนจํานวนจริง และ
1 1
,
1
a
A B
b
−3⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥2 3⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ถา
2 2 2
( ) 2A B AB A B+ − = + แลว det( )A เทากับขอใดตอไปนี้
1. 0.5
2. 1.5
3. 3.5
4. 4.5

78
1 1
3 1 1
0 1
x
A
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥−⎣ ⎦
ถา 12 ( ) 4C A = แลว det 2A มีคา
เทาใด

79
79. กําหนดเมตริกซ A และ B ดังนี้
2
2
2
x
A
x
⎡ ⎤− 2
= ⎢ ⎥
2⎢ ⎥⎣ ⎦
และ
2 4
0
x
B
− −⎡ ⎤
= ⎢ ⎥2⎣ ⎦
โดยที่ x เปนจํานวนจริง ถา det(2 ) 76A = − แลวเมตริกซ
C ในขอใดตอไปนี้ ที่ทําใหคาของ det( )BC อยูภายในชวง ( 100, 50)− −
1.
1 1
C
−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥1 2⎣ ⎦
2.
1 2
C
−⎡ ⎤
= ⎢ ⎥1 1⎣ ⎦
3.
1
C
2⎡ ⎤
= ⎢ ⎥−1 4⎣ ⎦
4.
2 1
C
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥3 −1⎣ ⎦

80
1
A x
y
1 2 −⎡ ⎤
⎢ ⎥= 2 2⎢ ⎥
⎢ ⎥2 1⎣ ⎦
โดยที่ x และ y เปนจํานวนจริง
ถา 11( ) 13C A = และ 21( ) 9C A = แลว det( )A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
[PAT1 มีนาคม ป 2552]
1. -33
2. -30
3. 30
4. 33

81
T
A
−2 2 3⎡ ⎤
⎢ ⎥= 1 −1 0⎢ ⎥
⎢ ⎥0 1 4⎣ ⎦
สมาชิกในแถวที่ 2 และหลักที่ 3 ของ
1
A−
1.
2
3
−
2. 2−
3.
2
3
4. 2

82
82. กําหนดให x,y,z สอดคลองกับระบบสมการ
2 2 5
3 6
4
x y z
x y z
x y z
− − = −
− + = −
− + − =
1.
2 2 2
6x y z+ + =
2. 2x y z+ + =
3. 6xyz =
4. 2
xy
z
= −

83
83. กําหนดให A เปนเมตริกซที่มีมิติ 2x2 และ det( ) 4A = ถา I ปนเมตริกซ
เอกลักษณและ 3A I− เปนเมตริกซเอกฐาน แลว det( 3 )A I+ เทากับขอใด
ตอไปนี้
[PAT1 กรกฎาคม ป 2552]
1. 0
2. 6
3. 13
4. 26

84
84. ถา x,y,z เปนจํานวนจริงซึ่งสอดคลอง กับระบบสมการเชิงเสน
2 2 1
3 7
5
x y z
x y z
x y z
− − =
− + =
− + − = −
แลว
1 2 3
x y z
+ + เทากับขอใดตอไปนี้
1. 0
2. 2
3. 5
4. 8

85
85. ถา A และ B เปนเมตริกซซึ่ง
3 4
2
3 6
A B
⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
1 2
2
4 2
A B
−⎛ ⎞
+ = ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
แลว
1
( )AB −
คือเมตริกซในขอใดตอไปนี้
ก.
1
0
4
1 1
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
ข.
1 0
1
1
4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟−
⎝ ⎠
ค.
1
1
4
0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
ง.
1 1
1
0
4
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟−
⎝ ⎠

86
x
X y
z
⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
สอดคลองกับสมการ AX C= เมื่อ
1 2 1 1 0
2 0 1 , 2 0 1
0 1 2 1 4 0
A B
−1⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
และ
2
2
3
C
⎡ ⎤
⎢ ⎥= −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
ถา
(2 )
a
A B X b
c
⎡ ⎤
⎢ ⎥+ = ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
แลว a+b+c มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
[PAT1 ตุลาคม ป 2552]
1. 3
2. 6
3. 9
4. 12

87
87. ถา
1
0 0
1
det 2 0 2 2
1
3 1 5
x
x
−
⎛ ⎞⎡ ⎤
⎜ ⎟⎢ ⎥ =⎜ ⎟⎢ ⎥ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

88
88. ให A และ B เปนเมตริกซที่มีขนาด 2x2 โดยที่
4 4
2
5 6
A B
− −⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
5 8
2
4 0
A B
− −⎛ ⎞
− = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
คาของ
4 1
det( )A B−

89
89. ให x,y,z และ w สอดคลองกับสมการ
1 0 1 2 1 1 0
1 0 2 1
x y
w y z w
− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
คาของ 4 3 2w z y x− + − เทากับเทาใด

90
0 1
0 1
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1
0 0
B
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
1 1
0 2
C
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
คาของ
2
det(2 )t t
A BC B C+ + เทากับขอใดตอไปนี้
1. -1
2. 0
3. 2
4. 6

91
91. ให a,b,c,d เปนจํานวนจริง
ถา
5 5 6 4 5
3
2 1 3 2 2
a a a
c c
b b
d d d
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
แลวคาของ b c+ เทากับเทาใด

92
92. ให a,b,c,d,t เปนจํานวนจริง
ถา
a b
A
c d
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
โดยที่ det 0A t= ≠ c และ
2 1
det( ) 0A t A−
+ =
แลวคาของ
2 1
det( )A t A−
− เทากับเทาใด

93
1 1
1 1
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
และ
x y
B
y z
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ถา
1 2 0
0 4
A BA− −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลวคาของ xyz เทากับขอใดตอไปนี้
1. -3
2. -1
3. 0
4. 1

94
94. กําหนดให X เปนเมตริกซที่สอดคลองกับสมการ
3 2
1 2 2 1 2
4 1 4
4 3 0 1 3
3 1
X
⎡ ⎤
− −⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥+ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥−⎣ ⎦
แลวคาของ det(2 ( ))t t
X X X+ เทากับเทาใด

95
2
2
cos 70 sin 40cos 10 3
,
0 cos 50sec10 1
ec
A B
⎛ ⎞ ⎛ ⎞° °°
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
°° ⎝ ⎠⎝ ⎠
และ
2
2
cos 20 0
80 cos 10
C
sin
⎛ ⎞°
= ⎜ ⎟
° °⎝ ⎠
คาของ det[ ( )]A B C+ เทากับเทาใด

96
0 3
, 0A a
a b
⎛ ⎞
= ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
B เปนเมตริกซ 2x2 และ I เปน
เมตริกซเอกลักษณมิติ 2x2 ถา 2
A B I= และ 1
2 3A B I−
− = แลว จงหาคาของ
2 3a b+
[PAT1 ธันวาคม ป 2554]
1. 4
2. 3
3. 2
4. 1

97
2 1 0
0 1 3
0 0
x
A
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
และ
1
det(1 ) 0, 0A x−
− = > จง
หาคาของ
11
det[ (3 2 )]
2
t
A I A−
−
[PAT1 ธันวาคม ป 2554]

98
98. กําหนดให a,b,c,d,x และ y เปนจํานวนจริง และ
1
, ,
1
x a b
A B
y c d
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 0
0 1
C
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
1 0
0 1
I
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
ถา 2
A I= และ 2AB C=
แลวคาของ
1
det( )B−
1. 0.25
2. 0.5
3. 2
4. 4

99
99. กําหนดให A,B และ C เปนเมตริกซไมเอกฐาน(nonsingular matrix)
มิติ 3x3 และ I เปนเมตริกซเอกลักษณ การคูณมิติ 3x3
ถา
a b c
A d e f
g h i
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมื่อ a,b,c,d,e,f,g,h และ i เปนจํานวนจริง
และ
3 1
2 ,det( ) 4A I C−
= = และ
3 3 3
2 2 2
t
g h i
B C a b c
d e f
− − −⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − − −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
แลว det( )B เทากับเทาใด

100
100. กําหนดให A เปนเมตริกซที่มีมิติ 3x3 และ det( ) 0A ≠
พิจารณาขอความตอไปนี้
(ก)
3
(det( )) det( ( ))A adj A=
(ข) ถา 2
2A A= แลว det( ) 2A =
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. (ก) ถูก และ (ข) ถูก
2. (ก) ถูก แต (ข) ผิด
3. (ก) ผิด แต (ข) ถูก
4. (ก) ผิด และ (ข) ผิด

101
101. กําหนดให A,B และ C เปนเมตริกซที่มีมิติ 3x3 โดยที่ det 0B ≠
ถา
1 2 3
2 1 1
3 1 0
A
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
และ
1
det( ) 4t
B CB−
= −
แลว det( )t
C AC เทากับเทาใด

102
102. กําหนดให A และ B เปนเมตริกซมีมิติ 3x3 โดยที่ det( ) 2A = และ
1 3 2
0 1
0 2
B x
y
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
เมื่อ x และ y เปนจํานวนจริง ถา 3 2AB A I+ = เมื่อ I
เปนเมตริกซเอกลักษณ ที่มีมิติ 3x3 แลว x+y เทากับขอใดตอไปนี้
1. 0
2. -1
3. -2
4. -2.5

103
103. ให S เปนเซตของจํานวนจริง x ทั้งหมด ที่ทําใหเมตริกซ
4 2 7
1 3
2 0
x
x
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เปนเมตริกซเอกฐาน และให y เทากับผลบวกของสมาชิกทั้งหมดทั้งหมดในเซต S
ถา
1
1
y
A
y
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
แลวคา ของ
1 1
det((( ) ) )t t
A − −

104
1 2 1 0
,
0 1 0 1
A I
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
และ B เปนเมตริกซใดๆมีมิติ
2x2 ให x เปนจํานวนจริงที่สอดคลอง กับ
2
det( ) 0A xI+ = พิจารณาขอความ
ตอไปนี้
(ก) det( ) 0A xI+ =
(ข)
2
det( ) det( )t
A xI B B+ − =

105
105. กําหนดให A และ B เปนเมตริกซจัตุรัสมิติเทากัน โดยที่ det( ) 0A ≠ และ
det( ) 0B ≠ ถา
1 1
det( ) 0A B− −
+ ≠ และ det( ) 0A B+ ≠ แลว
1
( )A B −
+ ตรง
กับขอใดตอไปนี้
1.
1 1 1 1
( )B A B A− − − −
+
2.
1 1 1 1 1
( )B A B A− − − − −
+
3.
1 1
( )B A B A− −
+
4.
1 1 1
( )B A B A− − −
+

106
1 1 0
,
4 0 1
a
A I
b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ที่
0ab ≠ และเมตริกซ A สอดคลองกับ สมการ
1
2( ) 4A I I A−
− = − พิจารณา
ขอความตอไปนี้
(ก) 2ab =
(ข)
2 1
det(3 ) 324t
A A A−
=
[PAT1 เมษายน ป 2557]

107
(ก) ถา
0 0
0 0
0 0
a
A b
c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมื่อ a,b,c เปนจํานวนจริงบวก ที่ 1abc =
และ I เปนเมตริกซเอกลักษณ การคูณมิติ 3x3 แลว
2
det( ) 0A A I+ + =
(ข) ให
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
A b b b
c c c
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
และ
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2 3
1 2 3
2 3 2 3 2 3
2 2 2
3 3 3
a b c a b c a b c
B b b b
c c c
+ − + − + −⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
เมื่อ
1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , ,a a a b b b c c c เปนจํานวนจริง ถา det( ) 3A = แลว det( ) 18B = −
[PAT1 เมษายน ป 2557]

Matrix problem p

More Related Content

What's hot

Similar to Matrix problem p

More from Thanuphong Ngoapm

Matrix problem p