1. ใบความรู้ที่ 19
เรื่อง อสมการ
อสมการ (Inequalities)
ถ้า a และ b เป็นจานวนจริง เราสามารถเปรียบเทียบตาแหน่ง a และ b บนเส้นจานวน
โดยใช้ความสัมพันธ์น้อยกว่า มากกว่า น้อยกว่าหรือเท่ากับ และมากกว่าหรือเท่ากับ โดยมี สัญลักษณ์บอก
ความสัมพันธ์เป็น <, >, และ ตามลาดับ เช่น
กราฟนี้แสดงว่า b < a หรือ a > b
เป็นข้อความที่สมมูลกับข้อความ a - b เป็นจานวนบวก
เป็นข้อความที่บอกตาแหน่ง คือ a อยู่ทางขวาของ b
ตาราง แสดงประโยคคณิตศาสตร์ข้อความที่สมมูลกัน และข้อความบอกตาแหน่งของจุดบนเส้นจานวน
ประโยคคณิตศาสตร์ ข้อความที่สมมูลกัน ข้อความบอกตาแหน่ง
a > 0 a เป็นจานวนบวก a อยู่ทางขวาของจุดกาเนิด
a < 0 a เป็นจานวนลบ a อยู่ทางซ้ายของจุดกาเนิด
a > b a-b เป็นจานวนบวก a อยู่ทางขวาของ b
a < b a-b เป็นจานวนลบ a อยู่ทางซ้ายของ b
a b a-b เป็นศูนย์หรือจานวนบวก a อยู่จุดเดียวกับ หรือ a
อยู่ทางขวาของ b
a b a-b เป็นศูนย์หรือจานวนลบ a อยู่จุดเดียวกับ หรือ a
อยู่ทางซ้ายของ b
ประโยคคณิตศาสตร์ที่ใช้สัญลักษณ์อสมการ เช่น a > b, a < b, a b หรือ a b เรียกว่า อสมการ
(inequalities)
2. ตัวอย่าง การอ่านสัญลักษณ์ของอสมการ
1) a < b อ่านว่า a น้อยกว่า b หมายถึง a มีค่าน้อยกว่า b
2) a b อ่านว่า a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b หมายถึง a มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ b
3) a > b อ่านว่า a มากกว่า b หมายถึง a มีค่ามากกว่า b
4) a b อ่านว่า a มากกว่าหรือเท่ากับ b หมายถึง a มีค่ามากกว่าหรือเท่ากับ b
5) a < b < c อ่านว่า a น้อยกว่า b และ b น้อยกว่า c หมายถึง a มีค่าน้อยกว่า b
และ b มีค่าน้อยกว่า c
6) a b c อ่านว่า a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b และ b น้อยกว่าหรือเท่ากับ c
หมายถึง a มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ b และ b มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ c
7) a < b c อ่านว่า a น้อยกว่า b และ b น้อยกว่าหรือเท่ากับ c หมายถึง
a มีค่าน้อยกว่า b และ b มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ c
8) a b < c อ่านว่า a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b และ b น้อยกว่า c
หมายถึง a มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ b และ b น้อยกว่า c
จานวนจริงจะสอดคล้องกับสมบัติของอสมการต่อไปนี้
สมบัติของอสมการ
ให้ a, b และ c แทนจานวนจริง
1. มีความสัมพันธ์เพียงอย่างเดียวเท่านั้น คือ
a < b, a > b, a = b
เรียกสมบัติไตรวิภาค (trichotomy property)
2. ถ้า a < b และ b < c แล้ว a < c
เรียกสมบัติถ่ายทอด (transitive property)
2 < 6 และ 6 < 10
ดังนั้น 2 < 10
3. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c
เรียกสมบัติการบวก (addition property)
-4 < 2 ดังนั้น -4 + 6 < 2 + 6
3 < 6
ดังนั้น > และ
3 6
3. 4.ถ้า a < b และ c > 0 แล้ว ac < bc
เรียกสมบัติการคูณ (multiplication property)
-5 < 1 ดังนั้น(-5) x4 < 1 x 4
หรือ -20 < 4
นั่นคือ เมื่อคูณอสมการด้วยจานวนบวก สัญลักษณ์อสมการยังคงเหมือนเดิม
5.ถ้า a < b และ c < 0 แล้ว ac > bc
เรียกสมบัติการคูณ (multiplication property)
-3 < 2 ดังนั้น(-3)(-4) > (2)(-4)
หรือ 12 > -8
นั่นคือ เมื่อคูณอสมการด้วยจานวนลบสัญลักษณ์อสมการจะเปลี่ยนไป เช่น
เปลี่ยนจาก < เป็น >, เป็น , > เป็น < และ เป็น
สรุป
สมบัติที่เกี่ยวกับอสมการของจานวนจริง มีดังนี้
ให้ a , b และ c แทนจานวนจริง
1. มีความสัมพันธ์อย่างเดียวเท่านั้น คือ a < b , a > b , a = b
เรียกว่าสมบัติไตรวิภาค
2. ถ้า a < b และ b < c แล้ว a < c เรียกว่าสมบัติถ่ายทอด
3. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c เรียกว่าสมบัติการบวก
4. ถ้า a < b และ c > 0 แล้ว ac < bc เรียกว่าสมบัติการคูณ
5. ถ้า a < b และ c < 0 แล้ว ac > bc เรียกว่าสมบัติคูณด้วยจานวนลบ
