Downloaded 13 times
![ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อ a เป็นจำำนวนจริงใดๆ a.0 = 0
ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจำำนวนจริงใดๆ (-1)a =
-a
ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a และ b เป็นจำำนวนจริงใดๆ
ถ้ำ ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a , b เป็นจำำนวนจริงใดๆ
1. a(-b) = -ab
2. (-a)b = -ab
3. (-a)(-b) = ab
พิสูจน์ 1. a(-b) = a[(-1)b]](https://image.slidesharecdn.com/2-150919101130-lva1-app6891/85/2-6-320.jpg)
![1.5 ช่วงและกำรแก้อสมกำร
บทนิยำม เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของ
จำำนวนจริง และ a < b
1. ช่วงเปิด (a,b) หมำยถึง {x / a < x <
b}
2. ช่วงปิด [a,b] หมำยถึง
}/{ bxax ≤≤
3. ช่วงครึ่งเปิด (a,b] หมำยถึง}/{ bxax ≤<
4. ช่วงครึ่งเปิด [a,b) หมำยถึง}/{ bxax <≤
5. ช่วง (a, ) หมำยถึง {x / x > a}α
6. ช่วง [a, ) หมำยถึงα }/{ axx ≥
7. ช่วง (- ,a) หมำยถึง {x / x < a}α
8. ช่วง (- ,a] หมำยถึงα }/{ axx ≤
9. ช่วง (- , ) หมำยถึง เซตของ
จำำนวนจริง หรือ R
α α](https://image.slidesharecdn.com/2-150919101130-lva1-app6891/85/2-10-320.jpg)
![ตัวอย่าง จงหาเซตคำาตอบของอสมการ512 +≥+ xx
วิธีทำา จาก 512 +≥+ xx
จะได้ หรือ)5(12 +−≤+ xx 512 +≥+ xx
63 −≤x 4≥x
2−≤x
ดังนั้น เซตคำาตอบของอสมการ คือ),4[]2,( αα ∪−−
ตัวอย่าง จงหาเซตคำาตอบของอสมการ2312 +<− xx
วิธีทำา จาก 2312 +<− xx
ยกกำาลังสอง 4x2
-4x+1 < 9(x2
+4x+4)
4x2
-4x+1 < 9x2
+36x+36
-5x2
-40x-35 < 0
x2
+8x+7 > 0](https://image.slidesharecdn.com/2-150919101130-lva1-app6891/85/2-18-320.jpg)
![[สรุปสูตร] สรุปสูตรคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม456 1](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/456-1-130802015611-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
บทที่ 2 ระบบจำนวนจริงและเซต
- 1. บทที่บทที่ 22 ำนวนจริงและเซตำนวนจริงและเซต อำจำรย์อรนุช เขตสูงเนินอำจำรย์อรนุชเขตสูงเนิน ณะวิทยำศำสตร์กำรแพทย์ณะวิทยำศำสตร์กำรแพทย์
- 3.
- 4. สมบัติ กำรบวก กำรคูณ ปิด1. a+b R 6. a.b R สลับที่ 2. a+b = b+a 7. ab = ba เปลี่ยน กลุ่ม 3. (a+b)+c = a+ (b+c) 8. (ab)c = a(bc) เอกลัก ษณ์ 4. a+0 = 0+a = a 9. ax1 = 1xa = a ตัว ผกผัน 5. a+(-a) = (-a)+a = 0 10. a.a-1 = a-1 .a = 1 ∈ ∈ เมื่อ a , b , c เป็นจำำนวนจริง 1.2 สมบัติของระบบจำำนวนจริง
- 5. ทฤษฎีบทที่ทฤษฎีบทที่ 11 ((กฏกำรตัดออกสำำหรับกำรบวกกฏกำรตัดออกสำำหรับกำรบวก)) เมื่อa , b และ c เป็นจำำนวนจริงใดๆ ถ้ำ a+c = b+c แล้ว a = b พิสูจน์ 1. a+c = b+c ( กำำหนดให้ ) 2. (a+c)+(-c) = (b+c)+(-c) (บวก ด้วยจำำนวนเดียวกัน) 3. a+(c+(-c)) = b+(c+(-c)) (เปลี่ยน กลุ่มกำรบวก) 4. a+0 = b+0 (ตัว ผกผันของกำรบวก) 5. a = b ทฤษฎีบทที่ทฤษฎีบทที่ 22 ((กฏกำรตัดออกสำำหรับกำรคูณกฏกำรตัดออกสำำหรับกำรคูณ)) เมื่อ a , b และ c เป็นจำำนวนจริงใดๆ ถ้ำ a.c = b.c และ c แล้ว a = b 0≠
- 6. ทฤษฎีบทที่ 3 เมื่อa เป็นจำำนวนจริงใดๆ a.0 = 0 ทฤษฎีบทที่ 4 เมื่อ a เป็นจำำนวนจริงใดๆ (-1)a = -a ทฤษฎีบทที่ 5 เมื่อ a และ b เป็นจำำนวนจริงใดๆ ถ้ำ ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎีบทที่ 6 เมื่อ a , b เป็นจำำนวนจริงใดๆ 1. a(-b) = -ab 2. (-a)b = -ab 3. (-a)(-b) = ab พิสูจน์ 1. a(-b) = a[(-1)b]
- 7. 1.31.3 กำรลบและกำรหำรจำำนวนจริงกำรลบและกำรหำรจำำนวนจริง บทนิยำมบทนิยำม เมื่อเมื่อaa และและ bb เป็นจำำนวนจริงใดๆเป็นจำำนวนจริงใดๆ a – ba – b = a + (-b)= a + (-b) บทนิยำมบทนิยำม เมื่อเมื่อ aa และและ bb เป็นจำำนวนจริงใดๆ ที่เป็นจำำนวนจริงใดๆ ที่ ,, 0≠b )( 1− = ba b a ทฤษฎีบทที่ทฤษฎีบทที่ 11 ถ้ำถ้ำ a , ba , b และและ cc เป็นจำำนวนจริง แล้วเป็นจำำนวนจริง แล้ว 1.1. a(b-c) = ab – aca(b-c) = ab – ac 2. (a-b)c = ac – bc2. (a-b)c = ac – bc 3. (-a)(b-c) = -ab + ac3. (-a)(b-c) = -ab + ac ทฤษฎีบทที่ทฤษฎีบทที่ 22 ถ้ำถ้ำ จะได้จะได้0≠a 01 ≠− a
- 8. ทฤษฎีบทที่ 3 1.เมื่อbc a c b a = )( 2. เมื่อbc ac b a = 0, ≠cb 0, ≠cb 3. เมื่อbd bcad d c b a + =+ 0, ≠db 4. เมื่อbd ac d c b a =))(( 0, ≠db 5. เมื่อ b c c b =−1 )( 0, ≠cb 6. เมื่อ b aca c b = )( 0, ≠cb 7. เมื่อ bc ad d c b a = )( )( 0,, ≠dcb
- 9. 1.4 สมบัติของกำรไม่เท่ำกัน สมบัติไตรวิภำค (trichotomyproperty) ถ้ำ a และ b เป็นจำำนวนจริง แล้ว a = b , a < b และ a > b จะเป็นจริงเพียงอย่ำงใดอย่ำงหนึ่ง บทนิยำม หมำยถึง น้อยกว่ำหรือ เท่ำกับ หมำยถึง มำกกว่ำหรือ เท่ำกับ หมำยถึง และ หมำยถึง และ cba cba cba cba ba ba <≤ ≤< ≤≤ << ≥ ≤ ba ba ba ba ≤ < ≤ < cb cb cb cb < ≤ ≤ < a a b b
- 10. 1.5 ช่วงและกำรแก้อสมกำร บทนิยำม เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของ จำำนวนจริงและ a < b 1. ช่วงเปิด (a,b) หมำยถึง {x / a < x < b} 2. ช่วงปิด [a,b] หมำยถึง }/{ bxax ≤≤ 3. ช่วงครึ่งเปิด (a,b] หมำยถึง}/{ bxax ≤< 4. ช่วงครึ่งเปิด [a,b) หมำยถึง}/{ bxax <≤ 5. ช่วง (a, ) หมำยถึง {x / x > a}α 6. ช่วง [a, ) หมำยถึงα }/{ axx ≥ 7. ช่วง (- ,a) หมำยถึง {x / x < a}α 8. ช่วง (- ,a] หมำยถึงα }/{ axx ≤ 9. ช่วง (- , ) หมำยถึง เซตของ จำำนวนจริง หรือ R α α
- 11. อสมกำร อสมกำรใน x เป็นประโยคเปิดที่มีx เป็น ตัวแปร และกล่ำวถึงกำรไม่เท่ำกัน เช่น≠ เซตคำำตอบของอสมกำรใน x หมำยถึง เซตของ จำำนวนจริง โดยที่จำำนวนจริง เหล่ำนี้ 2 x < 5 , x2 +2 > 0 , 3x-4 0 เมื่อนำำมำแทน x แล้วทำำให้อสมกำรเป็นจริง กำรแก้อสมกำร คือ กำรหำเซตคำำตอบของ อสมกำร โดยใช้สมบัติของกำร ไม่เท่ำกัน ตัวอย่ำง จงแก้อสมกำร 3x+5 < 5x-9 วิธีทำำ จำก 3x+5 < 5x-9 -5 บวก 3x < 5x-1 ดังนั้น เซตคำำ ตอบของอสมกำร คือ {x / x > 7 } หรือ ดังนั้น เซตคำำ ตอบของอสมกำร คือ {x / x > 7 } หรือ -5x บวก -2x < -14คูณ x > 7 1 2 −
- 12. ตัวอย่ำง จงแก้อสมกำร x2 -5x-6> 0 วิธีทำำ จำก x2 -5x-6 > 0 จะได้ (x+1)(x-6) > 0 กรณีที่ 1 x+1 > 0 และ x-6 > 0 นั่นคือ x > -1 และ x > 6 -1 6 คำำตอบ คือ x > 6 กรณีที่ 2 x+1 < 0 และ x-6 < 0 นั่นคือ x < -1 และ x < 6 คำำตอบ คือ x < -1),6()1,( αα ∪−−
- 13. ตัวอย่ำง จงหำคำำตอบของอสมกำร x2 -5x-6> 0 วิธีทำำ จำก x2 -5x-6 > 0 จะได้ (x+1)(x-6) > 0 ถ้ำ (x+1)(x-6) = 0 x = -1 , 6 + -1 - 6 + เนื่องจำก ผลคูณมีค่ำมำกกว่ำศูนย์ ดังนั้น เซตคำำตอบของอสมกำรคือ),6()1,( αα ∪−− ตัวอย่ำง จงแก้อสมกำร1 1 8 − ≤ + xx x
- 14. กำรแก้สมกำรและอสมกำรในรูปค่ำสัมบูรณ์ ทฤษฎีบท เมื่อ aเป็นจำำนวนจริงบวก ถ้ำ = a แล้ว x = a หรือ x = -ax ตัวอย่ำง จงหำเซตคำำตอบของสมกำร932 =−x วิธีทำำ จำก 932 =−x จะได้ 2x-3 = 9 หรือ 2x-3 = -9 2x = 12 หรือ 2x = -6 x = 6 หรือ x = -3 ดังนั้น เซตคำำตอบของอสมกำร คือ {-3 , 6}
- 15. ตัวอย่ำง จงหำเซตคำำตอบของสมกำร713 +=+xx วิธีทำำ 1) จำก 713 +=+ xx จะได้ 3x+1 = x+7 หรือ 3x+1 = -(x+7) 2) จำก 713 +=+ xx ยกกำำลังสอง (3x+1 )2 = (x+7)2 2x = 6 หรือ 4x = -8 x = 3 หรือ x = -2 9x2 +6x+1 = x2 +14x+49 8x2 -8x-48 = 0 x2 -x-6 = 0 (x-3)(x+2) = 0 x = 3 , -2 ตรวจคำำตอบ แทน x ด้วย 3 และ –2 ได้สมกำรเป็น จริง ดังนั้น เซตคำำตอบของสมกำร คือ {-2 , 3}
- 16. ตัวอย่าง จงหาเซตคำาตอบของสมการ2372 +=−xx วิธีทำา จาก จะได้ 2x-7 = 3x+2 หรือ 2x-7 = -(3x+2) -x = 9 หรือ 5x = 5 x = -9 หรือ x = 1 ตรวจคำาตอบ แทน x ด้วย –9 ทำาให้สมการเป็น เท็จ ดังนั้น เซตคำาตอบของสมการ คือ {1} 2372 +=− xx
- 17. การแก้อสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ ทฤษฎีบท ให้ aเป็นจำานวนจริงบวก 1. หมายถึงax < axa <<− 2. หมายถึงax ≤ axa ≤≤− 3. หมายถึง หรือax > ax −< ax > 4. หมายถึง หรือax ≥ ax −≤ ax ≥ ตัวอย่าง จงหาเซตคำาตอบของอสมการ952 <−x วิธีทำา จาก 952 <−x จะได้ -9 < 2x-5 < 9 5 บวก , -4 < 2x < 14 2 หาร , -2 < x < 7 ดังนั้น เซตคำาตอบของอสมการ คือ {x / -2 < x < 7}
- 18. ตัวอย่าง จงหาเซตคำาตอบของอสมการ512 +≥+xx วิธีทำา จาก 512 +≥+ xx จะได้ หรือ)5(12 +−≤+ xx 512 +≥+ xx 63 −≤x 4≥x 2−≤x ดังนั้น เซตคำาตอบของอสมการ คือ),4[]2,( αα ∪−− ตัวอย่าง จงหาเซตคำาตอบของอสมการ2312 +<− xx วิธีทำา จาก 2312 +<− xx ยกกำาลังสอง 4x2 -4x+1 < 9(x2 +4x+4) 4x2 -4x+1 < 9x2 +36x+36 -5x2 -40x-35 < 0 x2 +8x+7 > 0
- 19.
- 21. • ประวัติย่อของวิชาเซตประวัติย่อของวิชาเซต • ความหมายของเซตความหมายของเซต •การเขียนแทนเซตการเขียนแทนเซต • เซตที่เท่ากันเซตที่เท่ากัน • ชนิดของเซตชนิดของเซต • เซตจำากัดเซตจำากัด • เซตอนันต์เซตอนันต์ • เซตว่างเซตว่าง • สับเซต และ เพาเวอร์เซตสับเซต และ เพาเวอร์เซต • เอกภพสัมพัทธ์เอกภพสัมพัทธ์ • แผนภาพเวนน์แผนภาพเวนน์ -- ออยเลอร์ออยเลอร์ • การดำาเนินการของเซตการดำาเนินการของเซต • ยูเนียนยูเนียน • อินเตอร์เซกชันอินเตอร์เซกชัน • ผลต่างผลต่าง • คอมพลีเมนต์คอมพลีเมนต์ • การหาจำานวนสมาชิกของเซตการหาจำานวนสมาชิกของเซต • การแก้ปัญหาเกี่ยวกับเซตการแก้ปัญหาเกี่ยวกับเซต
- 22. ประวัติย่อของวิชาเซตประวัติย่อของวิชาเซต “ ” “”นทางคณิตศาสตร์ จะถือว่า เซต เป็น มูลฐาน (fundam าะว่าทฤษฎีบทต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ ล้วนมีเซตเข้ามาเก ฐานแทบทั้งสิ้น ตเริ่มมีที่มามาจากนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ เกอร์ก Cantor) ค.ศ. 1845 - 1918 เป็นผู้ริเริ่มใช้คำาว่าเซต ต่อจา สตร์จึงใช้คำานี้อย่างแพร่หลาย
- 23. ความหมายของเซตความหมายของเซต ” “ ”ซตเป็นคำา อนิยาม (undefined term) หมายถึง คำาที่ต บื้องต้นว่าไม่สามารถให้ความหมายที่รัดกุมได้ ntor “เคยอธิบายอย่างง่าย ๆ เพื่อความเข้าใจเบื้องต้นว่า งสิ่งของหรือจินตนาการ ซึ่งมีสมบัติบางประการคล้ายกัน แ วนั้นเรียกว่า สมาชิกของเซต
- 24. ในภาษาไทย มีคำาที่ใช้เรียกกลุ่มของสิ่งต่าง ๆหลายคำา เร ”าม (คำานามรวมหมู่) เช่น กลุ่ม ชุด ฝูง พวก ดังนั้น คำาว่าเซตในทางคณิตศาสตร์ จึงหมายถึง กลุ่มของส อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้วจะสามารถทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอย ใดอยู่นอกกลุ่ม ทางคณิตศาสตร์ เราจะใช้คำาว่า เซต (SET) เพียงคำาเดียวเท ราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก (Elements / Members) สิ่งต่าง ๆ ที่อยู่ในเซต ต้องเป็นสิ่งที่สามารถระบุได้อย่างแ Defined) เพื่อที่เราสามารถระบุได้ว่า สิ่งนั้นเป็นสมาชิกใน
- 25. ตัวอย่างของเซตตัวอย่างของเซต เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ หมายถึงกลุ่มของ วันจันทร์ วันอังคาร วันพุธ วันพฤหัสบดี วันศุกร์ วันเสาร์ และวันอาทิตย์ ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก หมายถึง กลุ่มของรูปสี่เหลี่ยมซึ่งปร วย สี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมผืนผ้า เซตของพยัญชนะไทย ตของนักเรียนหญิงที่เรียนในโรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์ เซตของจำานวนนับทั้งหมด
- 26. ตัวอย่างของเซตตัวอย่างของเซต เซตของคน เก่ง ?เซตของคนสวย ? เซตของจำานวนที่เป็นตัวประกอบของ 3 เซตของจำานวนคู่ เซตของจำานวนคี่ เซตของเดือนที่มี 30 วัน ของอักษรภาษาอังกฤษ ที่ปรากฏในคำา “ MATHEMATI องจำานวนเฉพาะที่น้อยกว่า 100 และลงท้ายด้วย 3 เซตของจำานวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ 2 4 0x + =
- 27. การเขียนแทนเซตการเขียนแทนเซต นการเขียนเซต เราสามารถเขียนเซตได้ถึง 3รูปแบบ คือ การเขียนเป็นข้อความการเขียนเป็นข้อความ (Statement Form)(Statement Form) ตัวอย่างตัวอย่าง เซตของนักเรียนห้อง ม.4/2 เซตของจำานวนเฉพาะที่ไม่เกิน 50 เซตของจำานวนเต็มบวกที่คูณกับ 5 แลัวได้ไม่เกิน
- 28. การเขียนแจกแจงสมาชิการเขียนแจกแจงสมาชิก (Tabular Form/ Roaster Me(Tabular Form / Roaster Me เป็นการเขียนแจกแจงสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล ษณะ { } และใช้เครื่องหมายจุลภาค ( , ) คั่นสมาชิกแต่ละต ตัวอย่างตัวอย่าง เซตของจำานวนนับที่น้อยกว่า 5 เขียนแทนด้วย {1, 2, กำาหนดให้ A แทนเซตของพยัญชนะ 3 ตัวแรกในภาษา A = {a, b, c} อ่านว่า A เป็นเซตที่มี a, b และ c เป็นสม กำาหนดให้ B แทนเซตของจำานวนเต็มบวกที่เป็นคู่ B = {2, 4, 6, 8, …}
- 29. “...” บอกว่า มีจำานวนอื่นๆ อยู่ในเซตด้วย เช่น {มกราคม, กุมภาพันธ์, ..., ธันวาคม} “...” บอกว่า มีเดือนอื่น ๆ อยู่ในเซตนี้ด้วย ึงระวัง : “จะใช้ ...” ในกรณีที่ทราบแน่ชัดว่าสมาชิกที่ตาม รเท่านั้น เช่นไม่เขียน 1 0, , 3,7,... 2 1 2 3 4 5 1 2 4 , , , , ,..., , , ,... 2 2 2 2 2 3 3 3
- 30. จงเขียนเซตต่อไปนี้ ในรูปของการแจกแจงสมาชิกจงเขียนเซตต่อไปนี้ ในรูปของการแจกแจงสมาชิก 1.เซตของวันใน 1 สัปดาห์ 2. “ ”เซตของเดือนที่ลงท้ายด้วย ยน 3. เซตของสระในภาษาอังกฤษ 4. –เซตของจำานวนเต็มลบที่มากกว่า 20 . เซตของจำานวนเต็มบวกที่มีค่ามากกว่า 100 6. เซตของจำานวนเต็มบวก 7. เซตของจำานวนเต็มลบ 8. เซตของจำานวนเต็ม . เซตของจำานวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ 2 5 0x x- = . เซตของจำานวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ 2 3 0x x- =
- 31. ารแจกแจงเงื่อนไขารแจกแจงเงื่อนไข (Set BuilderForm/ Rule Method)(Set Builder Form/ Rule Method) เป็นการใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกแล้วทำาการบรรยาย สมาชิกที่อยู่ในรูปตัวแปร เช่น A = { x | x เป็นพยัญชนะสามตัวแรกในภาษาอังกฤ ว่า A เป็นเซตซึ่งประกอบไปด้วยสมาชิก x โดยที่ x เป็นพย “ตัวแรกในภาษาอังกฤษ เครื่องหมาย |” แทนคำาว่า โดยท มารถเขียนรูปแบบการแจกแจงเงื่อนไขให้อยู่ในรูปแจกแจง แต่ในบางเซตเราไม่สามารถเขียนรูปแบบการแจกแจงสม งื่อนไข
- 32. จงเขียนเซตต่อไปนี้ ในรูปของการแจกแจงสมาชิกจงเขียนเซตต่อไปนี้ ในรูปของการแจกแจงสมาชิก 1.{ | and 3 8}A x x I x= Σ£ 2. { | and 100}B x x I x+ = Σ 3. { | is positive prime numbers and 100}C x x x= £ 4. { | and 3 | }D x x N x= Î 5. { | such that 100 and }E x x N x x N= ΣΠ6. 2 and 0 1 x F x x R x ì üï ï-ï ï= =Îí ý ï ï-ï ïî þ
- 33. จงเขียนเซตในรูปแบบบอกเงื่อนไขจงเขียนเซตในรูปแบบบอกเงื่อนไข 1. A ={ ดาวอังคาร, ดาวพุธ, ดาวพฤหัสบดี, ดาวศุกร์, ดาวเสาร์, ดาวยูเรนัส, ดาวเนปจูน, ดาว พลูโต,} 2. B = {1, 2, 3, 4, ..., 10} 3. C = {-10, -9, -8, -7, ..., -1} 4. D = {b, c, d, f, ..., z} 5. E = {1, 3, 5, 7, ..., 99} 6. F = {5, 10, 15} 7. G = {4, 9, 25, 49, 121, 169} 8. H = {-2, -5} 9. I = {...,-2, -1, 0, 1, 2 , ... } 10. J = {1, 4, 9, 16, ..., 100}
- 34. เซตต่าง ๆ ที่ควรทราบเซตต่างๆ ที่ควรทราบ
- 35. การเป็นสมาชิกของเซตการเป็นสมาชิกของเซต หนดให้ A ={1, 2, 3} ป็นสมาชิกของ A ยนแทนได้ว่า 1 A (อ่านว่า 1 เป็นสมาชิกของ A) ม่เป็นสมาชิกของ A ยนแทนได้ว่า 4 A (อ่านว่า 4 ไม่เป็นสมาชิกของ A) Î Ï
- 36. เซตที่เท่ากันเซตที่เท่ากัน ต A จะเท่ากับเซตB ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวขอ นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต าชิกของเซต A เช่น ถ้า A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { x เป็นจำานวนนับที่น้อยกว่า 4 } จะได้ A = B
- 37. สับเซต (Subsets)สับเซต (Subsets) บท นิยาม เซตA เป็นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวข เป็นสมาชิกของเซต B A เป็นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A B⊂ เช่นA = { 1 , 2 , 3 },B = { 1 ,2 , 3, 4 } A B⊂ แต่ B A⊄( B ไม่เป็นสับเซต A ) จากนิยามจะได้ 1. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเองเช่น A A⊂ 2. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต A⊂φเช่น
- 38. เพาเวอร์เซตเพาเวอร์เซต เพาเวอร์เซตของเซต Aคือ เซตของสับเซตทั้งหมดของA เม เป็นเซตจำากัด เขียนแทนด้วย P(A เช่น ถ้า A = {a ,b, c}สับเซตทั้งหมดของ A คือ φ , {a},{b} ,{c} , {a, b} {a,c } {b,c } {a,b, c} , , , ดังนั้น P(A) = φ{ , {a},{b}, {a, b} ,{a,c } {b,c } ,{c}, , {a,b ,c} } ข้อสังเกต ถ้า A เป็นเซตจำากัดที่มีจำานวนสมาชิก n ตัว แ P(A) มีสมาชิก 2n ตัว
- 39. » Universal Set(เอกภพสัมพัทธ์) นิยาม : เซตที่รวมสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในขอบข่ายในการ พิจารณาของเรา สัญลักษณ์: » Empty Set /Null Set (เซตว่าง) นิยาม : เซตที่ไม่มีสมาชิกใดๆอยู่เลย สัญลักษณ์: Ω ,A A∀ ⊆Ω ,{}∅ ,A A∀ ∅⊆
- 40. ผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagrผนภาพเวนน์-ออยเลอร์(Venn-Euler Diagr U A B C A B U รูป 1 รูป 2 รูป 1 แสดงเซต A , B และ C ไม่มีสมาชิกร่วมกัน และต่างเป็นสับเซตของ U รูป 2 แสดงว่า B A⊂
- 41. าง กำาหนดให้ A= { a,b,c,d } และ B = { c,d,e จงเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แทนเซตทั้งสองน วิธีทำา U A B c d a b e f
- 42. าง กำาหนดให้ A= { a,b,c } และ B = { a,b,c,d จงเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์แทนเซตทั้งสองน วิธีทำา U A B c da b e
- 43. ยูเนียน (union)ยูเนียน (union) บทนิยามยูเนียนของเซตA และเซต B คือเซตที่ประกอบด ป็นสมาชิกของเซต A หรือของเซต B หรือของทั้ง ยูเนียนของเซต A และ B เขียนแทนด้วย BA ∪ ตัวอย่างถ้า A = { 1, 3 ,5 }, B = { 1, 2, 3, 4 } จะได้ BA ∪ = { 1, 2, 3 ,4 ,5 } ขียน แบบบอกเงื่อนได้BA ∪ U | x A หรือ x B หรือ x เป็นสมาชิกของ∈ ∈ ∈
- 44. บริเวณที่แรเงาในแผนภาพต่อไปนี้คือBA ∪ A B U AB AB BA A และ B มีสมาชิกบางตัวเหมือนกันA และ B ไม่มีสมาชิกที่เหมือนกัน A เป็นสับเซตของ B B เป็นสับเซตของ A U U U
- 45. อินเตอร์เซกชัน (intersection)อินเตอร์เซกชัน (intersection) ามอินเตอร์เซกชันของเซต A และ B คือเซตที่ป สมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของทั้งเซต A และ เซต B เตอร์เซกชันของเซต A และ เซต B เขียนแทนด้วยBA ∩ เขียน BA ∩แบบบอกเงื่อนไขได้ { x U | x A และ x B }∈ ∈ ∈ ย่าง ถ้า A = { 1 ,2 ,3 ,4 } และ B = { จะได้ BA ∩ = { 2 ,4 }
- 46. บริเวณที่แรเงาในแผนภาพต่อไปนี้คือ A B U A B ABBA A และ B มีสมาชิกบางตัวเหมือนกันA และ B ไม่มีสมาชิกที่เหมือนกัน A เป็นสับเซตของ B B เป็นสับเซตของ A U U U BA ∩
- 47. คอมพลีเมนต์ (complement)คอมพลีเมนต์ (complement) บทนิยามคอมพลีเมนต์ของเซต A ซึ่งเป็น สับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U คอมพลีเมนต์ของ A เขียนแทนด้วยA′ เขียน แบบบอกเงื่อนไขได้A′ { x U | x A }∈ ∉ ตัวอย่างถ้า U = { 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 } และ A = { 0 ,2 , จะได้ A′= { 1 ,3 ,5 } คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งเป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
- 48. บริเวณที่แรเงาใน แผนภาพ คือคอมพลีเมนต์ U A AB U )( ′∪ BAA′ U A )( ′′A
- 49. ผลต่างผลต่าง ยาม ผลต่างระหว่างเซต Aและเซต B คือเซตที่ปร มาชิกของเซต A ซึ่งไม่เป็นสมาชิกของเซต B ลต่างระหว่างเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A เขียน A - B แบบเงื่อนไขได้{ x U | x A และ x B∈ ∈ ∉ ตัวอย่างถ้า A = { 0 ,1 ,2 ,3 ,4 } และ B = { 3 ,4 ,5 ,6 ,7 } จะได้ A - B ={ 0 ,1 ,2 } B - A ={ 5 ,6 ,7 }
- 50. บริเวณที่แรเงาในแผนภาพคือ A - B AB U A U B U A B U A B
- 51. ชื่อเซตแต่ละส่วนของแผนภาพ U A B C CBA −∩)()( CBA ∪− BCA −∩ )( CBA ∩∩ )( BAC ∪− ACB −∩ )( )( CAB ∪−
- 52. สมบัติการเท่ากันของเซตสมบัติการเท่ากันของเซต AA ∪.1 =A AA ∩.2 = A )(.3 CBA ∩∪ = )()( CABA ∪∩∪ φ∪A.4 = A UA ∪.5 = U φ′.6 = U U ′.7 = φ
- 53. สมบัติการเท่ากันของเซตสมบัติการเท่ากันของเซต φ∩A.8 = UA ∩.9= U )(.10 ′′A = BA −.11 = A )(.12 ′∪ BA = )(.13 ′∩ BA = φ BA ′∩ BA ′∩′ BA ′∪′ )(.14 CBA ∪− = )()( CABA −∩− CBA −∪ )(.15 = )()( CBCA −∪− ควรจำา... เป็นพิเศษ
- 54. โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซตจำากัดโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซตจำากัด สามารถแก้โจทย์ปัญหาได้ 2 วิธี 1.โดยการใช้แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ 2. โดยการใช้สูตร 2.1 )( BAn ∪ = )()()( BAnBnAn ∩−+ 2.2 )( CBAn ∪∪ = )()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAn ∩∩+∩−∩−∩−++
- 55. ตัวอย่างจากการสำารวจผู้ฟังเพลงไทยทางวิทยุจำานวน 180 คนพบว่า งเพลงไทยสากลมี 100 คน ผู้ชอบฟังเพลงไทยเดิมมี 92 คนผู้ที่ชอ 15 คน ผู้ที่ชอบฟังทั้งเพลงไทยสากลและเพลงไทยเดิมมี 52 คน ผ ทยเดิมและเพลงลูกทุ่งมี 57 คน ผู้ที่ชอบฟังเพลงไทยสากลและเพล นที่ชอบฟังเพลงทั้งสามประเภท ข. มีกี่คนที่ชอบฟังเพลงไทยเดิม วิธีทำา ไทยสากล ไทยเดิม ลูกทุ่ง 52- x x43 -x 57 -x ผู้ที่ชอบฟังเพลงไทยสากลอย่างเดียวมี 100 - (52-x) - (43-x) - x =x + 5 ผู้ที่ชอบฟังเพลงไทยเดิมอย่างเดียวมี 92 -(52- x) -(57 - x) - x =x - 17 ผู้ที่ชอบฟังเพลงลูกทุ่งอย่างเดียวมี 115 - (43 - x) - (57 - x)= x + 15ดังนั้นมีผู้ฟังเพลงไทยทางวิทยุ = (x+5) + (x-17) + (x+15) + (52 -x ) + (43 - x) + (57 -180
- 56. x + 155=180 นั่นคือ ผู้ที่ชอบฟังเพลงทั้งสามประเภทมี x =25 25 คน ผู้ที่ชอบฟังเพลงไทยเดิมเพียงอย่างเดียวมี25 - 17 =8 คน ข้อนี้อาจใช้สูตร )()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAn ∩∩+∩−∩−∩−++ )( CBAn ∪∪ =
- 57. ในการสอบถามนักเรียน 100 คนปรากฏผลดังนี้ 41 คน ชอบวิชาคณิตศาสตร์ 26 คน ชอบวิชาภาษาอังกฤษ 8 คน ชอบทั้งวิชาวิทยาศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษ 19 คน ชอบทั้งวิชาคณิตศาสตร์และวิชาภาษาอังกฤษ 5 คน ชอบทั้งสามวิชา 29 คน ชอบวิชาวิทยาศาสตร์ 15 คน ชอบทั้งวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ยากทราบว่า มีกี่คนที่ไม่ชอบวิชาใดเลยใน 3 วิชานี้ มีกี่คนที่ชอบเพียงวิชาเดียวและมีกี่คนที่ชอบเพียงสองวิชา การบ้าน
- 58. 2. จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก การบ้าน A ={x:X < 10, x เป็นจำานวนธรรมชาติ B ={x: = 16, x จำานวนจริง C = {x: 4 < x <11, x เป็นจำานวนเต็ม D = {x: 0 < x < 28, x เป็นจำานวนเต็มที่ 4 หารลงตัว ∈2 x 3. จงหาเซตย่อยของเซตต่อไปนี้ 3.1 C = {แดง, ดำา, เขียว 3.2 A = {1, 3, 5, 7} 3.3 B = {r, s, t, u, v}