1. ใบความร้ ูที 9.1
เรือง สมการพหนาม ุ
สมการพนาม ( Polynomail Equations )
ุ
่
สมการพหุ นามทีจะกลาวเป็ นสมการพหุ นามตัวแปรเดียวทีมีสัมประสิ ทธิ เป็ นจํานวนเต็ม
่ ิ
และมีดีกรี ไมเกนสาม
ํ ่
สมการพหุ นามกาลัง n จะอยูในรู ป a n x n + a n −1 x n −1 + a n −2 x n − 2 + K + a 0 = 0
เมือ n เป็ นจํานวนเต็มบวก และ a n , a n −1 , a n −2 ,K, a 1 , a 0 เป็ นสัมประสิ ทธิ ของพหุ นามทีเป็ น
ํ
จํานวนจริ ง โดยที a n ≠ 0 สมการพหุ นามกาลัง n จะหาคําตอบหรื อรากของสมการได้เสมอ
่
อยางน้อยหนึงราก
ทฤษฎีบทหลักมลของพัชคณิต ( Fundamental Theorem of Algebra )
ู
่
ถ้า p(x ) เป็ นพหุ นามทีมีดีกรี มากกวาศูนย์แล้ว สมการ p(x ) = 0
่
จะมีคาตอบทีเป็ นจํานวนเชิงซ้อนอยางน้อยหนึงคําตอบ
ํ
ทฤษฎีบท ถ้า p(x ) เป็ นพหุ นามดีกรี n ≥ 1 แล้ว สมการ p(x ) = 0
ั
จะมีคาตอบทั3งหมด n คําตอบ (นับคําตอบทีซํ3 ากนด้วย)
ํ
ํ
สมการพหุ นามกาลังสองจะเขียนในรู ป ax 2 + bx + c = 0 เมือ a , b และ c เป็ น
จํานวนจริ งใดๆ และ a ≠ 0 การหาคําตอบหรื อการหารากของสมการต้องจัดรู ปสมการให้เป็ น
ax 2 + bx + c = 0 เสมอ การหาคําตอบหรื อหารากของสมการทําเพียง 2 วิธี
1. โดยการแยกตัวประกอบ
b 2 − 4ac
2. โดยการใช้สูตร x = − b ±
2a
ทฤษฎีบท ถ้าจํานวนเชิงซ้อน z เป็ นคําตอบของสมการพหุ นาม
p( x ) = x n + a 1 x n −1 + a 2 x n − 2 + K + a n −1 x + a n = 0
โดยทีสัมประสิ ทธิ a 1 , a 2 , a 3 ,K, a n เป็ นจํานวนจริ ง แล้วสังยุค z
จะเป็ นคําตอบของสมการพหุ นามนี3 ดวย ้

2. ทฤษฎีบทตัวประกอบ ( Factor Theorem )
ํ ่ ่ ั ่
กาหนด p(x ) เป็ นพุหนามทีมีดีกรี มากกวาหรื อเทากบ 1 จะได้วา
็่
พหุ นาม p(x ) มี x − c เป็ นตัวประกอบกตอเมือ p(c) = 0
ทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะ
ํ
กาหนด p(x ) เป็ นพหุ นามในรู ป a n x n + a n −1 x n −1 + a n −2 x n −2 + K + a 0
โดยที n เป็ นจํานวนเต็มบวก a n , a n −1 , a n −3 ,K, a 1 , a 0 เป็ นจํานวนเต็ม ซึ ง a n ≠ 0
k
ถ้า x − เป็ นตัวประกอบของพหุ นาม p(x ) โดยที m และ k
m
เป็ นจํานวนเต็มซึ ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k คือ 1 แล้ว m หาร a n ลงตัว
และ k หาร a n ลงตัว
ํ ่ ้
สมการพหุ นามทีมีกาลังสู งกวา 2 จะแกสมการได้โดยการแยกตัวประกอบ และการแยกตัว
่ ั
ประกอบจะใช้วธีการแยกตัวประกอบแบบใดขึ3 นอยูกบโจทย์ เชน
ิ ่
ตัวอย่ างที 1 จงหาคําตอบทั3 งหมดของสมการ 2x 4 + x 3 − 2x − 1 = 0
วิธีทา
ํ 2x 4 + x 3 − 2x − 1 = 0
(2 x 4 + x 3 ) + (−2 x − 1) = 0
x 3 (2 x + 1) − (2 x + 1) = 0
(2 x + 1)( x 3 − 1) = 0
(2 x + 1)( x − 1)( x 2 + x + 1) = 0
−1± 1− 4 i − 1 ± 3i
จาก x2 + x +1 = 0 จะได้ x= =
2 2
1 − 1 ± 3i
ฉะนั3 น x=− หรื อ x =1 หรื อ x=
2 2
1 − 1 + 3i − 1 − 3i
ดังนั3 น คําตอบทั3 งหมดของสมการคือ − ,1, ,
2 2 2

3. แบบฝึ กทักษะที 9.1
่
จงหาเซตคําตอบของสมการตอไปนี3
1. x 4 + 5x 2 + 4 = 0
2. x 6 + 7 x 3 − 8 = 0
3. 2x 3 − x 2 + 2x − 1 = 0
4. 4x 3 + 8x 2 − x − 2 = 0
5. x 3 − 3x 2 − 15x + 125 = 0
6. x 3 + x 2 + 9x + 9 = 0
7. x 3 + 4x 2 + 14x + 20 = 0
8. 2x 3 + 3x 2 + 50x + 75 = 0
9. 4x 3 + 23x 2 + 34x − 10 = 0
10. 8x 3 − 14x 2 + 18x − 9 = 0
11. x 4 − 6x 2 − 40 = 0
ใบความร้ ูที 9.2

4. เรือง สมการพหนาม ุ
ํ ่
จากสมการพหุ นามกาลัง n สามารถหาคําตอบของสมการได้ n คา และในทางกลับกน ั
เมือกาหนดคําตอบของสมการมาให้ก็สามารถหาสมการจากคําตอบนั3 นได้ดวย ให้นกเรี ยนพิจารณา
ํ ้ ั
่ ่
จากตัวอยางตอไปนี3
ตัวอย่ างที 1 จงหาสมการพหุ นามดีกรี 4 ทีมีสัมประสิ ทธิ เป็ นจํานวนเต็มและมี 3 , 4 และ 3 + i
เป็ นคําตอบ
วิธีทา ตามทฤษฎีบท มี 3 + i และ 3 − i เป็ นคําตอบของสมการด้วย
ํ
จะได้ ( x − 3)( x − 4)( x − (3 + i))( x − (3 − i)) = 0
( x 2 − 7 x + 12)(( x − 3) − i)(( x − 3) + i) = 0
( x 2 − 7 x + 12)(( x − 3) 2 + 1) = 0
( x 2 − 7 x + 12)( x 2 − 6 x + 9 + 1) = 0
( x 2 − 7 x + 12)( x 2 − 6 x + 10) = 0
x 4 − 6 x 3 + 10 x 2 − 7 x 3 + 42 x 2 − 70 x + 12 x 2 − 72 x + 120 = 0
x 4 − 13x 3 + 64 x 2 − 142 x + 120 = 0
ดังนั3 น สมการพหุ นามดีกรี 4 ทีมีสัมประสิ ทธิ เป็ นจํานวนเต็มคือ
k ( x 4 − 13x 3 + 64 x 2 − 142 x + 120) = 0 เมือ k เป็ นจํานวนเต็มใดๆ

5. แบบฝึ กทักษะที 9.2
1. จงหาสมการพหุ นามดีกรี 3 ทีมีสัมประสิ ทธิ เป็ นจํานวนเต็มและมีรากเป็ น
1.1 1 , 5i
1.2 6 , − 5 + 2i
1.3 2 , 4 + i
1.4 4 , − 3i
1.5 − 2 , 1 + i
่
2. จงหาสมการพหุ นามดีกรี สาม p(x ) = 0 ทีสอดคล้องเงือนไขแตละข้อตอไปนี3่
2.1 -3 , -1 , 4 เป็ นคําตอบ และ p(2) = 5
2.2 2 , 5 , -3 เป็ นคําตอบ และ p(1) = 4