Dokumen tersebut membahas tentang program linear dan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel secara grafik. Ia menjelaskan cara menggambar garis batasan, menentukan daerah penyelesaian, dan menemukan titik ekstrim untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif.

1. PROGRAM LINEAR
Matematika Wajib Kelas XI SMA

5. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel (PtLDV) adalah kalimat terbuka
yang dihubungkan oleh ketaksamaan (<, >, ≤, ≥) dan memiliki dua
variabel dengan masing-masing berpangkat satu. Bentuk umum
pertidaksamaan linear dua variabel adalah
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 > 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 < 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐

6. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel secara Grafik
Langkah-langkah :
 Gambar garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 pada bidang kartesius
𝑥 = 0 → 𝑦 =
𝑐
𝑏
, 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 0,
𝑐
𝑏
𝑦 = 0 → 𝑥 =
𝑐
𝑎
, 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘
𝑐
𝑎
, 0
Jika tanda ketaksamaan ≥ atau ≤ maka garis tegas, sedangkan tanda
ketaksamaan > atau < maka garis putus-putus.
 Garis membagi bidang kartesius menjadi 2 daerah. Ambil salah satu titik
uji kemudian ujikan ke bentuk pertidaksamaan. Jika pernyataan benar
maka daerah himpunan penyelesaian merupakan daerah yang memuat
titik uji tersebut. Jika pernyataan salah maka daerah himpunan
penyelesaian merupakan daerah yang tidak memuat titik uji tersebut.

7. Gambarkan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan-
pertidaksamaan berikut ini:
a. 4𝑥 + 3𝑦 ≥ 12
b. 2𝑥 − 3𝑦 < 12
a. 4𝑥 + 3𝑦 ≥ 12
Langkah 1: membuat garis 4𝑥 + 3𝑦 = 12
𝑥 = 0 → 𝑦 =
12
3
= 4, 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 0, 4
𝑦 = 0 → 𝑥 =
12
4
= 3, 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 3, 0
Karena tanda “≥” maka garis tegas.
Langkah 2 : menentukan daerah himpunan penyelesaian
Ambil titik uji (0, 0) → 4 0 + 3(0) ≥ 12 Salah
Jadi daerah himpunan penyelesaian di atas garis 4𝑥 + 3𝑦 = 12.
CONTOH
JAWAB
X
Y
3
4
(0,0)

8. b. 2𝑥 − 3𝑦 < 12
Langkah 1: membuat garis 2𝑥 − 3𝑦 = 12
𝑥 = 0 → 𝑦 =
12
−3
= −4, 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 0, −4
𝑦 = 0 → 𝑥 =
12
2
= 6, 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 6, 0
Karena tanda “<” maka garis putus-putus.
Langkah 2 : menentukan daerah himpunan penyelesaian
Ambil titik uji (0, 0) → 2 0 − 3 0 < 12 Benar
Jadi daerah himpunan penyelesaian di atas garis 4𝑥 + 3𝑦 = 12.
JAWAB
X
Y
3
⎯4
(0,0)

9. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV)
adalah sekumpulan pertidaksamaan linear dua variabel.
Daerah himpunan penyelesaian SPtDV merupakan irisan
dari daerah penyelesaian pertidaksamaan-
pertidaksamaan.
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 ≤ 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 ≤ 𝑐2
⋮
𝑎 𝑛 𝑥 + 𝑏 𝑛 𝑦 ≤ 𝑐 𝑛

10. Gambarkan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
berikut ini:
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 24
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
CONTOH
• 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 24
Titik uji (0,0) → 2 0 + 3(0) ≤ 24 (di bawah garis)
• 𝑥 ≥ 0 (di kanan sumbu Y)
• 𝑦 ≥ 0 (di atas sumbu X)
JAWAB
𝑥 0 12
𝑦 8 0
X
Y
12
8

11. Model matematika adalah suatu hasil interpretasi manusia dalam
menerjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-hari ke dalam
bentuk matematika, sehingga persoalan itu dapat diselesaikan secara
matematis.
Model
Matematika

12. MASALAH 1

17. MASALAH 2

20. 1.
2.
LATIHAN

21. 3.
LATIHAN

22. Permasalahan Program Linear adalah suatu permasalahan untuk
menentukan besarnya masing-masing nilai variabel yang
mengoptimumkan (maksimum atau minimum) nilai fungsi objektif
dengan memperhatikan batasan-batasan yang ada, yaitu yang
dinyatakan dalam bentuk persamaan-persamaan atau
pertidaksamaan-pertidaksamaan linear.Suatu permasalahan dikatakan permasalahan program linear, jika
memenuhi ketentuan-ketentuan berikut:
1. Tujuan (objektif) permasalahan yang akan dicapai harus dapat
dinyatakan dalam bentuk fungsi linear 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦. Fungsi linear
ini dikenal sebagai fungsi tujua (fungsi objektif).
2. Harus memiliki alternatif pemecahan yang membuat nilai fungsi
tujuan menjadi optimum, misalnya keuntungan yang maksimum,
pengeluaran yang minimum, dan sebagainya.
3. Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang terbatas seperti
modal terbatas, bahan mentah terbatas, dan sebagainya. Batasan-
batasan dari sumber yang tersedia harus dinyatakan dalam bentuk
pertidaksamaan linear.

23.  Permasalahan program linear maksimisasi
Fungsi objektif maksimum : 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
Batasan (syarat-syarat) : 𝑐𝑖 𝑥 + 𝑑𝑖 𝑦 ≤ 𝑒, i = 1,2,3, … , n
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
 Permasalahan program linear minimisasi
Fungsi objektif maksimum : 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
Batasan (syarat-syarat) : 𝑐𝑖 𝑥 + 𝑑𝑖 𝑦 ≥ 𝑒, i = 1,2,3, … , n
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

24. Titik Pojok atau Titik Ekstrem
Titik pojok dari daerah himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan adalah sebuah titik pada atau di dalam daerah
penyelesaian yang merupakan perpotongan dua garis pembatas.

25. Selesaikanlah sistem pertidaksamaan linear berikut secara grafik dan carilah
titik-titik ekstrimnya.
2𝑥 + 𝑦 ≤ 22
𝑥 + 𝑦 ≤ 13
2𝑥 + 5𝑦 ≤ 50
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
CONTOH

26. SPtLDV :
 2𝑥 + 𝑦 ≤ 22
𝑥 = 0 → 𝑦 = 22 (0, 22)
𝑦 = 0 → 𝑥 = 11 (11, 0)
Ambil (0,0) → 2(0) + 0 ≤ 50 (𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 2𝑥 + 𝑦 = 22)
 𝑥 + 𝑦 ≤ 13
𝑥 = 0 → 𝑦 = 13 (0, 13)
𝑦 = 0 → 𝑥 = 13 (13, 0)
Ambil (0,0) → 0 + 0 ≤ 13 (𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑥 + 𝑦 = 13)
 2𝑥 + 5𝑦 ≤ 50
𝑥 = 0 → 𝑦 = 10 (0, 10)
𝑦 = 0 → 𝑥 = 25 25, 0
Ambil (0,0) → 2(0) + 5(0) ≤ 50 (𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 2𝑥 + 5𝑦 = 50)
 𝑥 ≥ 0 (di kanan sumbu Y)
 y ≥ 0 (di atas sumbu X)
JAWAB

27. X
Y
𝑥 + 𝑦 = 13
2𝑥 + 𝑦 = 22
2𝑥 + 5𝑦 = 50
E(0,0) 13
13
25
0
10
22
11
𝐴(0, 10)
B(5, 8)
C(9, 4)
D 11, 0
Titik C
2𝑥 + 𝑦 = 22
𝑥 + 𝑦 = 13
𝑥 = 9
𝑦 = 4
∴ 𝐶(9,4)
Titik B
2𝑥 + 5𝑦 = 50 × 1 2𝑥 + 5𝑦 = 50
𝑥 + 𝑦 = 13 × 2 2𝑥 + 2𝑦 = 26
3𝑦 = 24
𝑦 = 8
𝑥 = 5
∴ 𝐵(5,8)

28. Nilai Optimum Fungsi Objektif
Menentukan nilai optimum fungsi objektif secara grafik dapat
dilakukan dalam dua cara, yaitu
1. Metode uji titik pojok
2. Metode garis selidik

29. Metode Uji Titik Pojok
Langkah-langkah:
 Buatlah model matematika dari masalah program linear.
 Gambarlah grafik himpunan penyelesaian kemudian tentukan
titik-titik pojok.
 Nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi tujuan dapat
ditentukan.
 Tafsirkan nilai optimum fungsi tujuan yang diperoleh.

30. Tentukan nilai maksimum dengan metode uji titik pojok dalam masalah
program linear berikut.
Fungsi objektif : 𝑧 = 8.000𝑥 + 6.000𝑦
Syarat-syarat : 𝑥 + 𝑦 ≤ 50
𝑥 + 2𝑦 ≤ 80
3𝑥 + 2𝑦 ≤ 140
𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0
CONTOH

31. SPtLDV :
 𝑥 + 𝑦 ≤ 50
𝑥 = 0 → 𝑦 = 50 (0, 50)
𝑦 = 0 → 𝑥 = 50 (50, 0)
Ambil (0,0) → 0 + 0 ≤ 50 (𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑥 + 𝑦 = 50)
 𝑥 + 2𝑦 ≤ 80
𝑥 = 0 → 𝑦 = 40 (0, 40)
𝑦 = 0 → 𝑥 = 80 (80, 0)
Ambil (0,0) → 0 + 2(0) ≤ 80 (𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑥 + 2𝑦 = 80)
 3𝑥 + 2𝑦 ≤ 140
𝑥 = 0 → 𝑦 = 70 (0, 70)
𝑦 = 0 → 𝑥 =
140
3
140
3
, 0
Ambil (0,0) → 3(0) + 2(0) ≤ 10 (𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 3𝑥 + 2𝑦 = 140)
 𝑥 ≥ 0 (di kanan sumbu Y)
 y ≥ 0 (di atas sumbu X)
JAWAB

32. X
Y
𝑥 + 𝑦 = 50
3𝑥 + 2𝑦 = 140
𝑥 + 2𝑦 = 80
O 50
50
80
40
70
140
3
𝐴(0, 40)
B(20, 30)
C(40, 10)
D
140
3
, 0
Titik C
3𝑥 + 2𝑦 = 140 × 1 3𝑥 + 2𝑦 = 140
𝑥 + 𝑦 = 50 × 2 2𝑥 + 2𝑦 = 100 ⎯
𝑥 = 40
𝑦 = 10
∴ 𝐶(40,10)
Titik B
𝑥 + 2𝑦 = 80
𝑥 + 𝑦 = 50 ⎯
𝑦 = 30
𝑥 = 20
∴ 𝐵(20,30)

33. Titik Pojok Nilai 𝑧 = 8.000𝑥 + 6.000𝑦
A(0, 40) 𝑧 = 8.000 0 + 6.000 40 = 240.000
B(20,30) 𝑧 = 8.000 20 + 6.000 30 = 340.000
C(40,10) 𝑧 = 8.000(40) + 6.000(10) = 380.000
D
140
3
, 0 𝑧 = 8.000
140
3
+ 6.000(40) = 373.333,33
Jadi, nilai maksimum 𝑧 = 380.000 pada titik pojok C(40, 10).

34. CONTOH

35. JAWAB

38. Metode Garis Selidik
Cara lain dalam menentukan nilai optimum fungsi objektif z = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
yaitu dengan garis selidik 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘, 𝑘 bilangan Real.
Garis selidik 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘 merupakan suatu garis yang berfungsi untuk
menyelidiki dan menentukan sampai sejauh mana fungsi objektif 𝑧
maksimum atau minimum.

39. Langkah-langkah :
 Buatlah model matematika dari masalah program
linear.
 Gambarlah grafik penyelesaiannya serta tentukan titk-
titik pojoknya.
 Gambar garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑏.
 Tarik garis-garis sejajar dengan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑏 sehingga
 Jika garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘1 sejajar dengan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑏
dan berada paling atas atau di paling kanan pada
daerah himpunan penyelesaian, maka 𝑧 = 𝑘1 ,
merupakan nilai maksimumnya.
 Jika garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘2 sejajar dengan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑏
dan berada paling bawah atau di paling kiri pada
daerah himpunan penyelesaian, maka 𝑧 = 𝑘2 ,
merupakan nilai minimumnya.

40. Tentukan nilai maksimum dari 3𝑥 + 2𝑦 yang memenuhi 𝑥 + 𝑦 ≤ 5, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥
0
dengan metode garis selidik.
CONTOH
X
Y
O 5
5
3𝑥 + 2𝑦 = 6
3𝑥 + 2𝑦 = 15
Jadi, nilai maksimum dicapai
pada titik (5,0) yaitu 3 ∙ 5 + 2 ∙
0 = 15