Modul ini memberikan petunjuk penggunaan modul matematika kelas 11, mencakup 3 kalimat penting: (1) pelajari materi dan kerjakan latihan soal, (2) kumpulkan latihan soal setiap akhir bulan atau saat berangkat sekolah, (3) tidak mengumpulkan tugas akan mendapat nilai 0 untuk KD tersebut. Modul ini juga menjelaskan konsep persamaan lingkaran mencakup pusat, jari-jari, dan

1. Modul Matemaika Kelas 11 | 1

2. Modul Matemaika Kelas 11 | 2
INFORMASI DAN PETUNJUK PENGGUNAAN
1. Pelajari materi terlebih dahulu
2. Kerjakan setiap latihan soal yang ada di setiap KD
3. Kumpulkan setiap latihan soal setelah selesai dikerjakan
4. Pengumpulan hasil latihan soal dapat dilakukan setiap akhir bulan dan atau
pada saat berangkat ke sekolah.
5. Tidak mengumpulkan tugas sama dengan tidak memiliki nilai untuk KD
tersebut.
Pertanyaan dan pengumpulan tugas dapat dikirim via
WA, E_mail dan atau link sekolah
Alamat E_mail: ic_diq@yahoo.com

3. Modul Matemaika Kelas 11 | 3
KOMPETENSI DASAR
3.19 Menentukan nilai variabel pada persamaan dan fungsi kuadrat
3.20 Menganalisis operasi komposisi dan operasi invers pada fungsi
3.21 Menentukan persamaan lingkaran

4. Modul Matemaika Kelas 11 | 4
KD.3.21
PERSAMAAN LINGKARAN
A. Pengertian
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik – titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu.
Jarak setiap titik ke titik tertentu disebut jari – jari lingkaran ( 𝒓 )
Titik tertentu yang menghubungkan setiap titik disebut pusat lingkaran
Deskripsi gambar lingkaran:
rP
Indeks :
r = Jari -jari lingkaran
2 x r = diameter
P = Titik pusat lingkaran
B. Persamaan Lingkaran
1. Pusat di (𝟎, 𝟎) dan berjari – jari 𝒓
Perhatikan gambar berikut:
y
x
-y
-x
O (0,0)
r
Contoh soal :
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari – jari 9
Jawab: 𝑥2
+ 𝑦2
= 92
↔ 𝑥2
+ 𝑦2
= 81
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari – jari 5
Jawab: 𝑥2
+ 𝑦2
= 52
↔ 𝑥2
+ 𝑦2
= 25
2. Pusat di (𝟎, 𝟎) dan melalui titik 𝑨(𝒙 𝟏, 𝒚 𝟏)
Perhatikan gambar berikut:
y
x
-y
-x
O (0,0)
),( 11 yxA
1x
1y
b
a
a
b
r
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
Persamaan lingkaran yang berpusat di Pusat di (0,0) dan
berjari – jari 𝑟 adalah
𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑎 = 𝑥1
𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏 = 𝑦1
𝑟 = √𝑥1
2 + 𝑦1
2
𝑟2
= 𝑥1
2
+ 𝑦1
2
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
↔ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥1
2 + 𝑦1
2
Dengan memperhatikan gambar disamping maka dapat diambil
kesimpulan sebagai berikut:
Maka nilai 𝑟 atau jari – jari dapat menggunakan aturan segitiga
siku – siku:
Maka Persamaan lingkaran yang berpusat di Pusat di (0,0) dan
melalui titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) adalah

5. Modul Matemaika Kelas 11 | 5
Contoh soal :
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik 𝐴(3,4)
Jawab:
𝑥1 = 3, 𝑦1 = 4
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑥1
2
+ 𝑦1
2
𝑥2
+ 𝑦2
= 32
+ 42
𝑥2
+ 𝑦2
= 9 + 16
jadi persamaan lingkarannya adalah 𝑥2
+ 𝑦2
= 25
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik 𝐴(−1,6)
Jawab:
𝑥1 = −1, 𝑦1 = 6
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑥1
2
+ 𝑦1
2
𝑥2
+ 𝑦2
= (−1)2
+ 62
𝑥2
+ 𝑦2
= 1 + 36
jadi persamaan lingkarannya adalah 𝑥2
+ 𝑦2
= 37
3. Pusat di (𝒂, 𝒃) dan berjari – jari 𝒓
Perhatikan gambar berikut:
P(a,b)
x
y
b
a
r
Contoh soal:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 𝑃(3,4) dan berjari – jari 7
Jawab:
𝑎 = 3, 𝑏 = 4
(𝑥 − 3)2
+ (𝑦 − 4)2
= 72
(𝑥 − 3)2
+ (𝑦 − 4)2
= 49
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 𝑃(−1, −3) dan berjari – jari - 5
Jawab:
𝑎 = −1, 𝑏 = −3
(𝑥 − (−1))2
+ (𝑦 − (−3))2
= (−5)2
(𝑥 + 1)2
+ (𝑦 + 3)2
= (−5)2
(𝑥 + 1)2
+ (𝑦 + 3)2
= 25
(𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2
Dengan memperhatikan gambar disamping maka dapat
diambil kesimpulan sebagai berikut:
Maka Persamaan lingkaran yang berpusat di Pusat di (𝑎, 𝑏)
dan berjari – jari 𝑟 adalah

6. Modul Matemaika Kelas 11 | 6
P(-2,3)
x
y
3
-2
A(-4,5)
5
r
O(0,0)-4
4. Pusat di (𝒂, 𝒃) dan melalui titik 𝑨(𝒙 𝟏, 𝒚 𝟏)
P(a,b)
A(x1,y1)
x
y
y1
x1
b
a

 x1 - a
y1 - b
r
x1 - a
y1 - b
Contoh soal:
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 𝑃(3,4) dan melalui titik 𝐴(5,5) serta gambarkan
diagram Cartesiusnya
Jawab:
𝑎 = 3, 𝑏 = 4, 𝑥1 = 5, 𝑦1 = 5
(𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= (𝑥1 − 𝑎)2
+ (𝑦1 − 𝑏)2
(𝑥 − 3)2
+ (𝑦 − 4)2
= (5 − 3)2
+ (5 − 4)2
(𝑥 − 3)2
+ (𝑦 − 4)2
= (2)2
+ (1)2
(𝑥 − 3)2
+ (𝑦 − 4)2
= 4 + 1
(𝑥 − 3)2
+ (𝑦 − 4)2
= 5
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 𝑃(−2,3) dan melalui titik 𝐴(−4,5) serta
gambarkan diagram Cartesiusnya
Jawab:
𝑎 = −2, 𝑏 = 3, 𝑥1 = −4, 𝑦1 = 5
(𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= (𝑥1 − 𝑎)2
+ (𝑦1 − 𝑏)2
(𝑥 − (−2))2
+ (𝑦 − 3)2
= ((−4) − (−2))2
+ (5 − 3)2
(𝑥 + 2)2
+ (𝑦 − 3)2
= ((−4) + 2)2
+ (5 − 3)2
(𝑥 + 1)2
+ (𝑦 − 2)2
= (−2)2
+ (2)2
(𝑥 + 1)2
+ (𝑦 − 2)2
= 4 + 4
(𝑥 + 1)2
+ (𝑦 − 2)2
= 8
C. Persamaan Umum Lingkaran
Persamaan umum lingkaran adalah sebagai berikut:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Persamaan umum lingkaran diperoleh dari persamaan berpusat di 𝑃(𝑎, 𝑏) dan berjari – jari 𝑟 yang dinyatakan
dalam:
(𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2
Jika dijabarkan akan diperoleh:
(𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= (𝑥1 − 𝑎)2
+ (𝑦1 − 𝑏)2
Dengan memperhatikan gambar disamping maka
dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
Maka Persamaan lingkaran yang berpusat di Pusat di
(𝑎, 𝑏) dan melalui titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) adalah
P(3,4)
x
y
4
3
A(5,5)
5
5
O(0,0)

7. Modul Matemaika Kelas 11 | 7
(𝑥 − 𝑎). (𝑥 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏). (𝑦 − 𝑏) = 𝑟2
𝑥2
− 2𝑎𝑥 + 𝑎2
+ 𝑦2
− 2𝑏𝑦 + 𝑏2
= 𝑟2
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑟2
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑎𝑥 − 2𝑏𝑦 + 𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑟2
=0
Contoh :
1. Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di 𝑃(2,1) dan berjari – jari 5
(𝑥 − 2)2
+ (𝑦 − 1)2
= 52
(𝑥 − 2)2
+ (𝑦 − 1)2
= 25
(𝑥 − 2). (𝑥 − 2) + (𝑦 − 1). (𝑦 − 1) = 25
𝑥2
− 4𝑥 + 4 + 𝑦2
− 2𝑦 + 1 = 25
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 2𝑦 + 4 + 1 = 25
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 2𝑦 + 5 − 25 =0
2. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran dari persamaan umum berikut:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥 − 10𝑦 + 20 = 0
Jawab:
𝐴 = 2, 𝐵 = −10, 𝐶 = 20
 Pusat lingkaran 𝑃(𝑎, 𝑏) ≈ 𝑃 (−
2
2
, −
(−10)
2
) ≈ 𝑃(−1, −(−5)) ≈ 𝑃(−1,5)
 Jari – jari lingkaran: 𝑟 = √
𝐴2
4
+
𝐵2
4
− 𝐶 ≈ 𝑟 = √
22
4
+
(−10)2
4
− 20 ≈ 𝑟 =
√
4
4
+
100
4
− 20
𝑟 = √1 + 25 − 20 ≈ 𝑟 = √6
 Jadi pusat dan jari – jari lingkaran adalah 𝑃(−1,5) dan 𝑟 = √6
𝐴 = −2𝑎
𝐵 = −2𝑏
𝐶 = 𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑟2
Jika di hubungkan dengan persamaan
umum lingkaran diperoleh:
𝑎 = −
𝐴
2
𝑏 = −
𝐵
2
𝑟2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 𝐶
𝑟2
= (−
𝐴
2
)
2
+ (−
𝐵
2
)
2
− 𝐶
𝑟2
=
𝐴2
4
+
𝐵2
4
− 𝐶
𝑟 = √
𝐴2
4
+
𝐵2
4
− 𝐶
Maka akan diperoleh:
Dengan merubah nilai a dan b maka:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Dari persamaan umum lingkaran dapat
disimpulkan:
Pusat lingkaran 𝑃(𝑎, 𝑏) = 𝑃 (−
𝐴
2
, −
𝐵
2
)
Jari – jari lingkaran: 𝑟 = √
𝐴2
4
+
𝐵2
4
− 𝐶
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 2𝑦 + 5 − 25 =0
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 2𝑦 + 20 =0
Jadi persamaan umum lingkaran yang berpusat di 𝑃(2,1)
dan berjari – jari 5 adalah:
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 2𝑦 + 20 =0

8. Modul Matemaika Kelas 11 | 8
D. Posisi sembarang titik 𝑷(𝒎, 𝒏) terhadap lingkaran.
a. Terhadap linkaran dengan pusat (0,0) dan berjari-jari r.
Posisi sembarang titik 𝑃(𝑚, 𝑛) terhadap lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
adalah sebagai berikut:
1. Titik 𝑃(𝑚, 𝑛) terletak pada lingkaran jika 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
= 𝒓 𝟐
2. Titik 𝑃(𝑚, 𝑛 terletak di dalam lingkaran jika 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
< 𝒓 𝟐
3. Titik 𝑃(𝑚, 𝑛) terletak di luar lingkaran jika 𝑎2
+ 𝑏2
> 𝑟2
b. Terhadap linkaran dengan pusat (a,b) dan berjari-jari r.
Posisi sembarang titik 𝑃(𝑚, 𝑛) terhadap lingkaran (𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2
adalah sebagai berikut:
1. Titik 𝑃(𝑚, 𝑛) terletak pada lingkaran jika (𝑚 − 𝑎)2
+ (𝑛 − 𝑏)2
= 𝑟2
2. Titik 𝑃(𝑚, 𝑛) terletak di dalam lingkaran jika (𝑚 − 𝑎)2
+ (𝑛 − 𝑏)2
< 𝑟2
3. Titik 𝑃(𝑚, 𝑛) terletak di luar lingkaran jika (𝑚 − 𝑎)2
+ (𝑛 − 𝑏)2
> 𝑟2
E. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Berikut adalah bentuk ilustrasi kedudukan garis terhadap lingkaran
Garis memotong lingkaran Garis menyinggung lingkaran Garis diluar lingkaran
𝐷 > 0 𝐷 = 0 𝐷 < 0
Untuk menentukan kedudukan sebuah garis terhadap longkaran dapat menggunakan cara pengujian diskriminan
garis terhadap lingkaran.
Jika terdapat persamaan kuadrat bentuk 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 maka 𝑫 = 𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂𝒄
Contoh soal.
Periksalah kedudukan garis berikut tanpa menggambar
a. 𝑥2
+ 𝑦2
= 2, 𝑦 = 𝑥 + 2
b. 𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0, 𝑦 − 𝑥 = 1
jawab
a. Substitusikan garis 𝑦 = 𝑥 + 2 kedalam lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 2, sehingga diperoleh persamaan baru
sebagai berikut:
𝑥2
+ 𝑦2
= 2
𝑥2
+ (𝑥 + 2)2
= 2
𝑥2
+ 𝑥2
+ 4𝑥 + 4
= 2
2𝑥2
+ 4𝑥 + 2 = 0
Diperoleh nilai 𝑎 = 2, 𝑏 = 4 dan 𝑐 = 2 , maka:
𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 42
− 4 ∙ 2 ∙ 2 = 16 − 16 = 0
Jadi karena nilai 𝑫 = 𝟎, maka garis 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 menyinggung lingkaran.
b. Substitusikan garis 𝑦 − 𝑥 = 1 ke persamaan lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0, sehingga diperoleh:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0

9. Modul Matemaika Kelas 11 | 9
𝑥2
+ (𝑥 + 1)2
+ 2𝑥 + 2(𝑥 + 1) + 1 = 0
𝑥2
+ 𝑥2
+ 2𝑥 + 1 + 2𝑥 + 2𝑥 + 2 + 1 = 0
2𝑥2
+ 6𝑥 + 4 = 0
Diperoleh nilai 𝑎 = 2, 𝑏 = 6 dan 𝑐 = 4,
maka diperoleh
𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 62
− 4 ∙ 2 ∙ 4 = 36 − 32 = 4
Jadi karena nilai 𝑫 > 𝟎, maka garis 𝒚 − 𝒙 = 𝟏 memotong lingkaran.
F. GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN
Melalui satu titik
pada lingkaran
(𝒙 𝟏, 𝒚 𝟏)
Pusat (0,0 ) dan jari-jari r Pusat (a,b) dan jari-jari r
𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2 (𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎) + (𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟2
Umum
𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 +
1
2
𝐴(𝑥 + 𝑥1) +
1
2
𝐵(𝑦 + 𝑦1) + 𝐶 = 0
Melalui satu titik di
luar lingkaran
(𝒙 𝟏, 𝒚 𝟏)
Langkah:
1. Gradien garis singgung m. Garis melalui ( 𝑥1, 𝑦1), maka persamaan garis:
y = m (x – 𝑥1) + 𝑦1
2. Subsitusikan y ke persamaan lingkaran hingga didapat persamaan kuadrat gabungan.
Lalu hitung nilai D.
3. Garis menyinggung, maka D = 0, nilai m diperoleh. Masukkan nilai m ke
y = m (x – 𝑥1) + 𝑦1.
Gradien garis
diketahui
Pusat (0,0) dan jari-jari r Pusat (a,b) dan jari-jari r
y = mx ± r√𝑚2 + 1 (𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√ 𝑚2 + 1
Contoh Soal No. 1
Diberikan persamaan lingkaran:
𝐿 ≡ 𝑥2
+ 𝑦2
= 25.
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang memiliki titik singgung di (−4, 3).
Pembahasan
Menentukan garis singgung pada suatu lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dan diketahui titik
singgungnya.
Lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
.
Titik singgung (𝑥1, 𝑦1)
Persamaan garis singgungnya adalah:
Dengan 𝑥1 = − 4 dan 𝑦1 = 3, persamaan garisnya:
−4𝑥 + 3𝑦 = 25
3𝑦 − 4𝑥 − 25 = 0

10. Modul Matemaika Kelas 11 | 10
Soal No. 2
Tentukan Persamaan garis singgung pada lingkaran x2
+ y2
= 13 yang melalui titik (3, −2) !
Pembahasan
Titik yang diberikan adalah (3, −2), dan belum diketahui posisinya pada lingkaran, apakah di dalam, di
luar atau pada lingkaran. Cek terlebih dahulu,
(3, −2) → x2
+ y2
= 32
+ (−2)2
= 9 + 4
= 13
Hasilnya ternyata sama dengan 13 juga, jadi titik (3, −2) merupakan titik singgung. Seperti nomor 1:
Soal No. 3
Diberikan persamaan lingkaran L ≡ x2
+ y2
= 25. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
tersebut yang memiliki gradien sebesar 3.
Pembahasan
Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dengan diketahui
gradien garis singgungnya.
Soal No. 4
Tentukan Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
= 25 yang tegak lurus garis 2y − x + 3
= 0 !
Pembahasan
Garis 2y − x + 3 = 0 memiliki gradien sebesar 1
/2. Garis lain yang tegak lurus dengan garis ini harus
memiliki gradien − 2. Ingat pelajaran SMP 8, jika dua garis saling tegak lurus maka berlaku
m1 ⋅ m2 = − 1
Sehingga persamaan garis singgung di lingkaran x2
+ y2
= 25 yang memiliki gradien −2 adalah:
Jadi persamaan garis singgungnya bisa y = −2x + 5√5 bisa juga y = −2x − 5√5, pilih yang ada.
Soal No. 5
Diberikan persamaan lingkaran:
L ≡ (x − 2)2
+ (y + 3)2
= 25
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan titik singgung pada (5, 1).
Pembahasan
Persamaan garis singgung pada lingkaran:
L ≡ (x − a)2
+ (y − b)2
= r2
pada titik singgung (x1, y1)

11. Modul Matemaika Kelas 11 | 11
dengan
a = 2 dan b = −3 dan r2
= 25
maka persamaan garisnya
Soal No. 6
Diberikan persamaan lingkaran:
L ≡ (x − 2)2
+ (y + 3)2
= 25
Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang sejajar dengan garis y = 2x + 3.
Pembahasan
Garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a, b) diketahui gradien m
Garis singgung yang diminta sejajar dengan garis y = 2x + 3 sehingga gradiennya sama yaitu 2.
Soal No. 7
Tentukan Persamaan garis singgung pada lingkaran x2
+ y2
− 2x + 4y − 220 = 0 yang sejajar dengan
garis
5 y + 12x + 8 = 0!
Pembahasan
Lingkaran x2
+ y2
− 2x + 4y − 220 = 0 memiliki pusat:
dan jari-jari
Gradien garis singgungnya sejajar dengan 5 y + 12x + 8 = 0, jadi gradiennya adalah −12/5.
Persamaannya:

12. Modul Matemaika Kelas 11 | 12
Sehingga dua buah garis singgungnya masing-masing adalah
Soal No. 8
Tentukan Persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
− 4x + 2y − 20 = 0 di titik (5, 3) !
Pembahasan
Titik singgung : (x1, y1)
pada lingkaran : L ≡ x2
+ y2
+ Ax + By + C = 0
Rumus garis singgungnya:
Data:
x2
+ y2
− 4x + 2y − 20 = 0
Titik (5, 3)
A = −4
B = 2
C = − 20
x1 = 5
y1 = 3
Garis singgungnya:

13. Modul Matemaika Kelas 11 | 13
…..Selamat BELAJAR dan Semoga SUKSES…..