Recommended
More Related Content
Similar to METODE SIMPLEX.pptx
Similar to METODE SIMPLEX.pptx (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
METODE SIMPLEX.pptx
- 1. PENYELESAIAN MASALAH PROGRAM LINEAR MENGGUNAKAN PENDEKATAN METODE SIMPLEX Oleh Annafi Awantagusnik (150311603295) Candra Mariatul Kibtiyah (150311604405) Firman Maula Syafiβi (150311604541)
- 3. Metode Simplex Metode simplex merupakan prosedur iteratif, yaitu berupa algoritma perulangan. Dimulai pada beberapa solusi awal yang mungkin (sebuah titik pojok dari himpunan S yang mungkin, biasanya di titik asal), setiap perulangan membawa kita pada titik pojok yang lain dari S dengan suatu peningkatan nilai dari fungsi tujuan. Perulangan dihentikan ketika solusi yang optimal telah dicapai (jika ada).
- 4. Masalah Program Linear Standar Masalah maksimalisasi standar memenuhi kriteria berikut. (1) Fungsi tujuan akan dimaksimalkan. (2) Semua variabel yang terlibat dalam masalah adalah nonnegatif. (3) Setiap kendala linear dapat ditulis ulang sedemikian hingga ekspresi yang mengandung variabel menjadi kurang dari atau sama dengan suatu konstanta nonnegatif.
- 5. Perhatikan masalah program linear yang disajikan pada materi sebelumnya. Maksimalkan P=3x+2y dengan kendala 2π₯ + 3π¦ β€ 12 2π₯ + π¦ β€ 8 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0 Kalian dapat memeriksa dengan mudah bahwa masalah tersebut merupakan masalah maksimalisasi standar. Himpunan S yang mungkin berkaitan dengan masalah ini disajikan pada Gambar 1, dimana kita memberikan label pada 4 titik pojok yang mungkin yaitu A(0,0), B(4,0), C(3,2), dan D(0,4). Perhatikan bahwa solusi optimal dari masalah ini dicapai pada titik pojok C(3,2).
- 6. Sebagai langkah pertama dalam penyelesaian menggunakan metode simplex, kita mengganti sistem pertidaksamaan kendala 2π₯ + 3π¦ β€ 12 2π₯ + π¦ β€ 8 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0 menjadi sistem persamaan kendala. Hal ini bisa dilakukan dengan menambahkan variabel nonnegatif yang disebut variabel slack. Perhatikan pertidaksamaan 2π₯ + 3π¦ β€ 12 Perhatikan bahwa ruas kiri dari persamaan ini selalu kurang dari atau sama dengan ruas kanan. Oleh karena itu, dengan menambahkan variabel nonnegatif π’ pada ruas kiri untuk mengganti selisih tersebut, kita memperoleh persamaan 2π₯ + 3π¦ + π’ = 12 Sebagai contoh, jika π₯ = 1 dan π¦ = 1 (kalian dapat mengamati pada Gambar 1 bahwa titik (1,1) merupakan titik yang berada pada himpunan S), maka π’ = 7. Sehingga, 2 1 + 3 1 + 7 = 12 Variabel u merupakan variabel slack.
- 7. Hal ini juga berlaku untuk pertidaksamaan 2π₯ + π¦ β€ 8 yang dapat diubah ke dalam persamaan 2π₯ + π¦ + π£ = 8 dengan π£ merupakan variabel slack. Sistem pertidaksamaan linear (2) sekarang dapat dipandang sebagai sistem persamaan linear 2π₯ + 3π¦ + π’ = 12 2π₯ + π¦ + π£ = 8 dengan π₯, π¦, π’, dan π£ merupakan bilangan nonnegatif. Terakhir, dengan menuliskan kembali fungsi tujuan (1) ke dalam bentuk β3π₯ β 2π¦ + π = 0, dengan koefisien π adalah +1, kita mendapatkan sistem persamaan linear (3): 2π₯ + 3π¦ + π’ = 12 2π₯ + π¦ + π£ = 8 β3π₯ β 2π¦ + π = 0
- 8. Karena sistem tersebut terdiri dari tiga persamaan linear dalam 5 variabel π₯, π¦, π’, π£, dan π, kita mungkin dapat menyelesaikan tiga variabel dalam bentuk dua variabel yang lain. Oleh karena itu, terdapat tak terhingga banyak solusi untuk sistem yang diekspresikan dalam dua parameter. Masalah program linear kita sekarang ekuivalen dengan masalah berikut: Di antara semua solusi dari Sistem (3) dimana π₯, π¦, π’, dan π£ merupakan bilangan nonnegatif (solusi seperti ini disebut calon solusi), tentukan solusi-solusi yang membuat π maksimum. 2π₯ + 3π¦ + π’ = 12 2π₯ + π¦ + π£ = 8 β3π₯ β 2π¦ + π = 0 Variabel Basis Variabel nonbasis π£ π π₯ π¦ π’ 2 3 1 2 1 0 β3 β2 0 0 1 0 0 0 1 12 8 0 Kolom Konstanta Perhatikan bahwa setiap kolom π’, π£, dan π dari matriks augmentasi adalah kolom satuan. Variabel yang berkaitan dengan kolom satuan disebut variabel basis, dan variabel-variabel yang lain disebut variabel nonbasis.
- 9. π₯ = 0 π¦ = 0 π’ = 12 π£ = 8 π = 0 Sekarang, susunan dari matriks augmentasi menunjukkan bahwa kita harus menyelesaikan variabel basis dalam bentuk variabel nonbasis x,y sehingga diperoleh π’ = 12 β 12π₯ β 3π¦ π£ = 8 β 2π₯ β π¦ π = 3π₯ + 2π¦ Dari sekian banyak solusi yang mungkin didapatkan dengan memasukkan sebarang nilai nonnegatif pada parameter x dan y, solusi parsial diperoleh dengan mengambil x=0 dan y=0. Solusi yang didapatkan adalah Variabel Basis Variabel nonbasis π£ π π₯ π¦ π’ 2 3 1 2 1 0 β3 β2 0 0 1 0 0 0 1 12 8 0 Kolom Konstanta Solusi yang diperoleh dengan mengambil nilai 0 untuk variabel nonbasis disebut solusi basis dari suatu sistem. Solusi parsial tersebut berkorespondensi dengan titik pojok π΄(0,0) dari himpunan yang mungkin berkaitan dengan masalah program linear Perhatikan bahwa π = 0 pada titik ini.
- 10. Sekarang, apabila nilai P tidak dapat ditingkatkan, maka kita telah menemukan solusi optimal untuk masalah tersebut. Untuk menentukan apakah nilai π dapat ditingkatkan atau tidak, perhatikan kembali fungsi tujuan/fungsi objektif. Karena setiap koefisien dari π₯ dan π¦ adalah positif, nilai π dapat ditingkatkan dengan meningkatkan nilai π₯ dan atau π¦, yaitu dengan memindahkan titik dari titik asal. P=3x+2y dengan kendala 2π₯ + 3π¦ β€ 12 2π₯ + π¦ β€ 8 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0 Perhatikan bahwa kita mendapatkan kesimpulan yang sama dengan mengamati baris terakhir dari matriks augmentasi (4) yang memiliki entri negatif. (bandingkan fungsi tujuan awal, π = 3π₯ + 2π¦ , dengan fungsi tujuan yang ditulis ulang menjadi β 3π₯ β 2π¦ + π = 0). π£ π π₯ π¦ π’ 2 3 1 2 1 0 β3 β2 0 0 1 0 0 0 1 12 8 0
- 11. Karena koefisien dari π₯ lebih besar daripada koefisien dari π¦, peningkatan satu satuan dalam arah π₯ akan memberikan peningkatan nilai π yang lebih besar daripada peningkatan satu satuan dalam arah y. Oleh karena itu, kita seharusnya meningkatkan nilai π₯ dengan membiarkan π¦ konstan. Seberapa besar nilai π₯ dapat ditingkatkan dengan mengambil π¦ = 0? Dengan mengambil π¦ = 0 pada dua persamaan P=3x+2y dengan kendala 2π₯ + 3π¦ β€ 12 2π₯ + π¦ β€ 8 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0 2π₯ + 3π¦ + π’ = 12 2π₯ + π¦ + π£ = 8 Kita peroleh π’ = 12 β 2π₯ π£ = 8 β 2π₯
- 12. π₯ = 4 π¦ = 0 π’ = 4 π£ = 0 π = 12 Karena nilai u tidak negatif, persamaan pertama dari sistem mengakibatkan x tidak bisa melebihi 12 2 = 6. Persamaan kedua dari Sistem dan ketidaknegatifan dari v mengakibatkan x tidak akan melebihi 8 2 = 4. Jadi, dapat disimpulkan bahwa x dapat ditingkatkan paling banyak sebesar 4. Dengan mengambil y=0 dan x=4 pada sistem diatas kita memperoleh solusi Solusi tersebut merupakan solusi basis, dengan y dan v sebagai variabel nonbasis (perhatikan bahwa variabel nonbasis adalah variabel yang disamadengankan 0). π’ = 12 β 2π₯ π£ = 8 β 2π₯
- 13. Perhatikan bagaimana solusi basis dapat ditemukan dengan menggunakan matriks augmentasi dari sistem tersebut. Karena π₯ menggantikan π£ sebagai variabel basis, tujuan kita adalah untuk menemukan matriks augmentasi yang ekuivalen dengan matriks (4) dan memiliki susunan dimana kolom π₯ dalam bentuk kolom satuan 0 1 0 Menggantikan bentuk kolom dari kolom π£ pada (4). Hal ini dapat dipenuhi dengan menjadikan bilangan 2 yang dilingkari sebagai pivot (poros). π£ π π₯ π¦ π’ 2 3 1 2 1 0 β3 β2 0 0 1 0 0 0 1 12 8 0 matriks (4)
- 14. π₯ = 4 π¦ = 0 π’ = 4 π£ = 0 π = 12 Dengan menggunakan (8), kita sekarang menyelesaikan variabel basis x, u, dan P dalam variabel nonbasis y dan v, sehingga diperoleh π₯ = 4 β 12π¦ β 12π£ π’ = 4 β 2π¦ + π£ π = 12 + 12π¦ β 32π£ Dengan membuat variabel nonbasis y dan v menjadi nol, kita memperoleh
- 15. Kita telah menyelesaikan satu kali iterasi dari prosedur simplex, dan pencarian kita telah membawa kita dari titik pojok π΄(0,0), dimana π = 0, ke titik pojok yang lain π΅(4,0) dimana π mencapai nilai 12, dimana merupakan suatu peningkatan. (Lihat Gambar 2).
- 16. β’ Elemen 2 yang dilingkari pada matriks augmentasi (7), yang telah diubah menjadi 1, disebut elemen pivot. β’ Kolom yang mengandung elemen pivot disebut kolom pivot. Kolom pivot berkaitan dengan variabel nonbasis yang diubah ke variabel basis. β’ Baris yang mengandung elemen pivot disebut baris pivot. Baris pivot adalah baris dengan rasio terkecil. Perhatikan bahwa entri terakhir dari kolom pivot adalah bilangan negatif dengan nilai mutlak terbesar di kiri garis vertikal pada baris terakhir, yang merupakan suatu syarat untuk memilih arah untuk memaksimalkan peningkatan nilai π. Istilah
- 17. Prosedur untuk memilih elemen pivot Memilih Elemen Pivot Pilih kolom pivot: tempatkan entri yang paling negatif di kiri dari garis vertikal pada baris terakhir. Kolom yang mengandung entri ini disebut kolom pivot. (jika terdapat lebih dari satu kolom seperti itu, pilih salah satu). Pilih baris pivot: bagilah setiap entri positif dalam kolom pivot dengan entri yang berkorespondensi pada kolom konstanta. Baris pivot adalah baris yang berkorespondensi dengan rasio terkecil yang diperoleh (Jika terdapat lebih dari satu entri seperti itu, pilih salah satu). Elemen Pivot adalah elemen irisan dari kolom pivot dan baris pivot.
- 18. Kembali ke permasalahan Kita menemukan solusi π₯ = 3, π¦ = 2, dan π = 13. Solusi tersebut sama dengan yang ditemukan menggunakan metode titik pojok pada bagian sebelumnya.
- 19. Membuat Tabel Simplex Awal β’ Ubah sistem pertidaksamaan linear menjadi sistem persamaan linear dengan menambahkan variabel slack. β’ Tulis ulang fungsi tujuan π· = ππππ + ππππ + β― + ππππ menjadi bentuk βππππ β ππππ β β― β ππππ + π· = π dengan semua variabel berada di ruas kiri dan koefisien π· adalah +π. β’ Tulis persamaan ini di bawah persamaan-persamaan pada langkah pertama. β’ Tulis matriks augmentasi berkaitan dengan sistem persamaan linear tersebut.
- 20. Contoh 1 Maksimalkan π = π₯ + 6 5 π¦ dengan kendala 2π₯ + π¦ β€ 180 π₯ + 3π¦ β€ 300 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0 Langkah pertama, kita akan mengubah pertidaksamaan pada sistem di atas (kecuali π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0) menjadi suatu persamaan dengan variabel slack π’ dan π£, yaitu 2π₯ + π¦ + π’ = 180 π₯ + 3π¦ + π£ = 300 Selanjutnya, tulis ulang fungsi tujuan menjadi bentuk βπ₯ β 6 5 π¦ + π = 0 koefisien π adalah +1, dan tempatkan di bawah sistem persamaan, Sehingga diperoleh sistem persamaan 2π₯ + π¦ + π’ = 180 π₯ + 3π¦ + π£ = 300 βπ₯ β 6 5 π¦ + π = 0 Tabel Simplex awal berkaitan dengan sistem tersebut adalah
- 21. 1. Buatlah tabel simplex awal 2. Tentukan apakah solusi optimal telah tercapai dengan memperhatikan semua entri pada baris terakhir di kiri garis vertikal a. Jika semua entri tidak negatif, maka solusi optimal telah dicapai. Lanjutkan ke langkah 4. b. Jika ada setidaknya satu entri yang negatif, maka solusi optimal belum tercapai. Lanjutkan ke langkah 3. 3. Lakukan operasi pivot. Carilah elemen pivot dan ubah menjadi 1 dengan membagi semua elemen pada baris pivot dengan elemen pivot. Dengan menggunakan operasi baris, ubah kolom pivot menjadi kolom satuan dengan menambahkan kelipatan dari baris pivot pada setiap dari baris yang lain seperti yang diminta. Ulangi langkah 2. 4. Tentukan solusi optimal. Nilai dari variabel pada setiap kolom satuan diberikan oleh entri yang berada pada kolom konstanta dalam baris yang mengandung 1. Variabel yang berkorespondensi dengan kolom yang bukan dalam bentuk kolom satuan disamadengankan 0. Metode Simplex
- 22. Contoh 2 (Contoh 1) Maksimalkan π = π₯ + 6 5 π¦ dengan kendala 2π₯ + π¦ β€ 180 π₯ + 3π¦ β€ 300 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0 π π π π π· Konstanta 2 1 1 0 0 180 1 3 0 1 0 300 -1 β 6 5 0 0 1 0 Kolom Pivot β Rasio 180 1 = 180 300 3 = 100 Baris Pivotβ π π π π π· Konstanta π π 1 0 0 180 π π 1 0 π π 0 100 - 1 β π π 0 0 1 0 1 3 π 2 β π π π π π· Konstanta π π π 1 β π π 0 80 π π 1 0 π π 0 100 β π π π 0 π π 1 120 π 1 β π 2 β π 3 + 6 5 π 2
- 23. π π π π π· Konstanta π π π 1 β π π 0 80 π π 1 0 π π 0 100 β π π π 0 π π 1 120 Kolom Pivot β Rasio 80 3/5 = 48 100 1/3 = 300 Baris Pivotβ π π π π π· Konstanta π π π π β π π 0 48 π π 1 0 π π 0 100 β π π π 0 π π 1 120 3 5 π 1 β π 2 β 1 3 π 1 β π 3 + 3 5 π 1 π π π π π· Konstanta π π π π β π π 0 48 π 1 β π π π π 0 84 π π π ππ π ππ 1 πππ π π
- 24. Langkah 4. Tentukan solusi optimal. Tentukan letak variabel basis pada tabel akhir. Pada kasus ini, variabel basis adalah π₯, π¦, dan π. Perhatikan tabel di bawah ini. Kita menyimpulkan bahwa π₯ = 48, π¦ = 84, dan π = 148,8. Hasil ini sesuai dengan metode titik pojok yang diterapkan pada soal yang sama pada bagian sebelumnya.
- 25. Contoh 3 Maksimalkan π = 2π₯ + 2π¦ + π§ dengan kendala 2π₯ + π¦ + 2π§ β€ 14 2π₯ + 4π¦ + π§ β€ 26 π₯ + 2π¦ + 3π§ β€ 28 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0, π§ β₯ 0 Penyelesaian: Menambahkan variabel slack π’, π£, πππ π€ dan menuliskannya kembali di fungsi objektif dalam bentuk standar menghasilkan sistem dari persamaan linear 2π₯ + π¦ + 2π§ + π’ β€ 14 2π₯ + 4π¦ + π§ + π£ β€ 26 π₯ + 2π¦ + 3π§ + π€ β€ 28 β2π₯ β 2π¦ β π§ + π = 0 π π π π π π π· Konstanta 2 1 2 1 0 0 0 14 2 4 1 0 1 0 0 26 1 2 3 0 0 1 0 28 -2 -2 -1 0 0 0 1 0
- 26. π π π π π π π· Konstanta 2 1 2 1 0 0 0 14 2 4 1 0 1 0 0 26 1 2 3 0 0 1 0 28 -2 -2 -1 0 0 0 1 0 Kolom Pivot β Rasio 14 2 = 7 25 2 = 13 28 1 = 28 Baris Pivotβ π π π π π π π· Konstanta 1 1 2 1 1 2 0 0 0 7 2 4 1 0 1 0 0 26 1 2 3 0 0 1 0 28 -2 -2 -1 0 0 0 1 0 1 2 π 1 β
- 27. π π π π π π π· Konstanta 1 π π 1 π π 0 0 0 7 0 3 -1 -1 1 0 0 12 0 3 2 2 β 1 2 0 1 0 21 0 -1 1 0 0 0 1 14 π 2 β 2π 1 β π 3 β π 1 π 4 + 2π 1 Kolom Pivot β Rasio 7 1/2 = 14 12 3 = 4 21 3/2 = 14 Baris Pivotβ π π π π π π π· Konstanta 1 π π 1 π π 0 0 0 7 0 1 β 1 3 β 1 3 1 3 0 0 4 0 3 2 2 β 1 2 0 1 0 21 0 -1 1 0 0 0 1 14 1 3 π 2 β
- 28. π π π π π π π· Konstanta 1 0 π π π π β π π 0 0 5 0 1 β 1 3 β 1 3 1 3 0 0 4 0 0 5 2 0 β 1 2 1 0 15 0 0 2 3 2 3 1 3 0 1 18 π 1 β 1 2 π 2 β π 3 β 3 2 π 2 π 4 + π 2 Kita menyimpulkan bahwa π₯ = 5, π¦ = 4, π§ = 0, π’ = 0, π£ = 0 πππ π = 18.
- 29. Contoh 4 Maksimalkan π = 20π₯ + 12π¦ + 18π§ dengan kendala 3π₯ + π¦ + 2π§ β€ 9 2π₯ + 3π¦ + π§ β€ 8 π₯ + 2π¦ + 3π§ β€ 7 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0, π§ β₯ 0 Penyelesaian Menambahkan variabel slack π’, π£, πππ π€ dan menuliskannya kembali di fungsi objektif dalam bentuk standar menghasilkan sistem dari persamaan linear 3π₯ + π¦ + 2π§ + π’ = 9 2π₯ + 3π¦ + π§ + π£ = 8 π₯ + 2π¦ + 3π§ + π€ = 7 β20π₯ β 12π¦ β 18π§ + π = 0 π π π π π π π· Konstanta 3 1 2 1 0 0 0 9 2 3 1 0 1 0 0 8 1 2 3 0 0 1 0 7 -20 -12 -18 0 0 0 1 0
- 30. π π π π π π π· Konstanta 3 1 2 1 0 0 0 9 2 3 1 0 1 0 0 8 1 2 3 0 0 1 0 7 -20 -12 -18 0 0 0 1 0 Kolom Pivot β Baris Pivotβ Rasio 9 3 = 3 8 2 = 4 7 1 = 7 π π π π π π π· Konstanta 1 π π π π π π 0 0 0 3 2 3 1 0 1 0 0 8 1 2 3 0 0 1 0 7 -20 -12 -18 0 0 0 1 0 1 3 π 1 β
- 31. π 2 β 2π 1 π 3 β π 1 β π 4 + 20π 1 π π π π π π π· Konstanta 1 π π π π π π 0 0 0 3 0 π π β π π β π π 1 0 0 2 0 5 3 7 3 β 1 3 0 1 0 4 0 β ππ π β ππ π ππ π 0 0 1 60 Kolom Pivot β Baris Pivotβ Rasio 3 1/3 = 9 2 7/3 = 6 7 4 5/3 = 12 5 Setelah satu iterasi kita ada di titik (3,0,0) dengan π = 60.
- 32. π π π π π π π· Konstanta 1 π π π π π π 0 0 0 3 0 1 β 1 7 β 2 7 3 7 0 0 6 7 0 5 3 7 3 β 1 3 0 1 0 4 0 β 16 3 β 14 3 20 3 0 0 1 60 3 7 π 2 β π π π π π π π· Konstanta 1 π π π π π -1/7 0 0 ππ π 0 1 β 1 7 β 2 7 3 7 0 0 6 7 0 0 18 7 1 7 β 5 7 1 0 18 7 0 0 β 38 7 β 36 7 16 7 0 1 64 4 7 π 1 β 1 3 π 2 π 3 β 5 3 π 2 β π 4 + 16 3 π 2 Rasio 19 5 β 1 titik ( 19 7 , 6 7 , 0)
- 33. Iterasi kedua membawa kita ke titik ( 19 7 , 6 7 , 0) dengan π = 64 4 7 .
- 34. π π π π π π π· Konstanta 1 π π π π π -1/7 0 0 ππ π 0 1 β 1 7 β 2 7 3 7 0 0 6 7 0 0 1 1 18 β 5 18 7 18 0 1 0 0 β 38 7 β 36 7 16 7 0 1 64 4 7 7 18 π 3 β π 1 β 5 7 π 3 π 2 + 1 7 π 3 β π 4 + 38 7 π 3 π π π π π π π· Konstanta 1 π π π ππ π ππ β π ππ 0 π 0 1 0 β 5 18 7 18 1/18 0 1 0 0 1 1 18 β 5 18 7 18 0 1 0 0 0 49 9 7 9 19 9 1 70 Semua entri di baris terakhir adalah nonnegatif, sehingga kita sudah mendapatkan solusi optimal. Kita menyimpulkan π₯ = 2, π¦ = 1, π§ = 1, π’ = 0, π£ = 0, π€ = 0 πππ π = 70.
- 35. Kemungkinan himpunan S untuk masalah tersebut adalah hexahedron yang ditunjukkan seperti pada gambar berikut Perpotongan separuh ruangnya ditentukan oleh bidang π1, π2πππ π3 dengan persamaan 3π + π + 2π = 9,2π + 3π + π = 8, π + 2π + 3π = 7 secara berurutan dan koordinat bidang π₯ = 0, π¦ = 0 πππ π§ = 0. Amati bahwa iterasi pertama dari metode simplex membawa kita dari π΄(0,0,0) dengan π = 0 ke π΅(3,0,0) dengan π = 60. Iterasi kedua membawa kita dari π΅ 3,0,0 ke πΆ( 19 7 , 6 7 , 0) dengan π = 64 4 7 dan iterasi ketiga membawa kita dari πΆ 19 7 , 6 7 , 0 ke titik π»(2,1,1) dengan suatu nilai optimal yaitu π = 70.
- 36. Contoh Penerapan 5 (Perencanaan Produksi) Ace Novelty Company telah menentukan bahwa keuntungan dari setiap souvenir tipe A, tipe B dan tipe C yang diproduksi secara berturut-turut adalah 6 dollar, 5 dollar dan 4 dollar. Untuk menghasilkan souvenir tipe A membutuhkan 2 menit pada mesin I, 1 menit pada mesin II dan 2 menit pada mesin III. Souvenir tipe B membutuhkan 1 menit pada mesin I, 3 menit pada mesin II, dan 1 menit pada mesin III. Suatu souvenir tipe C membutuhkan 1 menit pada mesin I dan 2 menit pada setiap mesin II dan mesin III. Setiap hari terdapat 3 jam yang tersedia untuk mesin I, 5 jam yang tersediah untuk mesin II, dan 4 jam tersedia untuk mesin III untuk mengahasilkan souvenir- souvenir ini. Berapa banyak souvenir dari setiap tipe yang harus dibuat oleh Ace Novelty Company untuk memaksimumkan keuntungannya?
- 37. Tipe A Tipe B Tipe C Waktu yang tersedia (menit) Mesin I 2 1 1 180 Mesin II 1 3 2 300 Mesin III 2 1 2 240 Keuntungan/ unit 6 dollar 5 dollar 4 dollar Dengan cara yang sama pada penggunaan mesin II dan III kita mendapatkan pertidaksamaan π₯ + 3π¦ + 2π§ β€ 300 2π₯ + π¦ + 2π§ β€ 240 Keuntungan yang dihasilkan dari souvenir yang diproduksi dituliskan menjadi π = 6π + 5π + 4π Misalkan π₯, π¦ πππ π§ mendenotasikan secara berurutan souvenir tipe A, tipe B dan tipe C yang akan dibuat. Total waktu mesin I digunakan diketahui sebagai 2π₯ + π¦ + π§ menit dan tidak melebihi 180 menit. Maka, kita mempunyai pertidaksamaan 2π₯ + π¦ + π§ β€ 180
- 38. Formula matematika dari masalah ini mengarahkan kita kepada permasalahan program linear standar. Memaksimalkan fungsi objektif ( keuntungan) π = 6π₯ + 5π¦ + 4π§ dengan 2π₯ + π¦ + π§ β€ 180 π₯ + 3π¦ + 2π§ β€ 300 2π₯ + π¦ + 2π§ β€ 240 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0, π§ β₯ 0 Penambahan variabel slack π’, π£, πππ π€ akan menghasilakn sistem persamaan linear 2π₯ + π¦ + π§ + π’ = 180 π₯ + 3π¦ + 2π§ + π£ = 300 2π₯ + π¦ + 2π§ + π€ = 240 β6π₯ β 5π¦ β 4π§ + π = 0 π π π π π π π· Konstanta 2 1 1 1 0 0 0 180 1 3 2 0 1 0 0 300 2 1 2 0 0 1 0 240 -6 -5 -4 0 0 0 1 0
- 39. π π π π π π π· Konstanta 2 1 1 1 0 0 0 180 1 3 2 0 1 0 0 300 2 1 2 0 0 1 0 240 -6 -5 -4 0 0 0 1 0 Kolom Pivot β Baris Pivotβ Rasio 180 2 = 90 300 1 = 300 240 2 = 120 π π π π π π π· Konstanta 1 π π π π π π 0 0 0 90 1 3 2 0 1 0 0 300 2 1 2 0 0 1 0 240 -6 -5 -4 0 0 0 1 0 1 2 π 1 β
- 40. π π π π π π π· Konstanta 1 π π π π π π 0 0 0 90 0 5 2 3 2 β 1 2 1 0 0 210 0 0 1 -1 0 1 0 60 0 -2 -1 3 0 0 1 540 π 2 β π 1 β π 3 β 2π 1 π 4 + 6π 1 Rasio 90 1/2 = 180 210 5/2 = 84 π π π π π π π· Konstanta 1 π π π π π π 0 0 0 90 0 1 3 5 β 1 5 2 5 0 0 84 0 0 1 -1 0 1 0 60 0 -2 -1 3 0 0 1 540 2 5 π 2 β
- 41. π π π π π π π· Konstanta 1 π π π π π β π π 0 0 48 0 1 3 5 β 1 5 2 5 0 0 84 0 0 1 -1 0 1 0 60 0 0 1 5 13 5 4 5 0 1 708 π 1 β 1 2 π 2 β π 4 + 2π 2 Jadi, untuk memaksimalkan keuntungannya, Ace Novelty harus memproduksi 48 souvenir tipe A, 84 souvenir tipe B, dan tidak memproduksi souvenir tipe C (0 souveniur tipe C). Hasil keuntungannya adalah 708 dollar per hari. Nilai dari variabel slack π€ = 60 memberi tahu kita bahwa 1 jam dari waktu yang tersedia pada mesin III tersisa (tidak digunakan). Dari tabel simplex terakhir, kita menemukan solusinya π₯ = 48, π¦ = 84, π§ = 0, π’ = 0 , π£ = 0, π€ = 60, π = 708
- 42. Suatu program linear mempunyai tak hingga banyak solusi jika dan hanya jika baris terakhir sebelah kiri garis vertikal dari tabel simplex terakhir mempunyai nol pada suatu kolom dan itu bukan suatu kolom unit. Permasalahan dengan Banyak solusi dan Permasalahan tanpa solusi Suatu program linear akan tidak punya solusi jika metode simplex gagal pada suatu tahap. Misal, pada suatu tahap, tidak terdapat rasio nonnegatif dalam penghitungan kita, maka program linear tersebut tidak punya solusi.
- 44. Sebelumnya kita mengembangkan suatu prosedur, dinamakan metode simplex untuk menyelesaikan permasalahan program linear standar. Ingat bahwa masalah maksimalisasi standar memenuhi tiga kondisi: 1. Fungsi objektif akan dimaksimalkan 2. Semua variabel yang terlibat adalah nonnegatif 3. Setiap hambatan linear dapat dituliskan sehingga ekspresi yang melibatkan variabel adalah kurang dari atau sama dengan konstan nonnegatif. Secara khusus, kita akan melihat bahwa prosedur tersebut akan dimodifikasi untuk menyelesaikan permasalah yang melibatkan minimalisasi suatu fungsi objektif.
- 45. Contoh 1 Minimalkan πΆ = β2π₯ β 3π¦ Dengan hambatan 5π₯ + 4π¦ β€ 32 π₯ + 2π¦ β€ 10 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0 Penyelesaian: Untuk menyelesaikan suatu permasalahan tipe ini, kita amati bahwa meminimalkan funsi πΆ akan ekuivalen dengan memaksimalkan fungsi π = βπΆ . Karena itu, solusi dari permasalahan ini dapat ditemukan dengan cara menyelesaikan permasalahn yang terkait dengan: memaksimalkan π = βπΆ = β 12π₯ β 3π¦ = 2π₯ + 3π¦ dengan fungsi kendala yang diberikan. 5π₯ + 4π¦ + π’ = 32 π₯ + 2π¦ + π£ = 10 β2π₯ β 3π¦ + π = 0 π π π π π· Konstanta 5 4 1 0 0 32 1 2 0 1 0 10 -2 -3 0 0 1 0
- 46. π π π π π· Konstanta 5 4 1 0 0 32 1 2 0 1 0 10 -2 -3 0 0 1 0 π π π π π· Konstanta 5 4 1 0 0 32 π π 1 0 1/2 0 5 -2 -3 0 0 1 0 1 2 π 2 β π π π π π· Konstanta π 0 1 -2 0 12 π π 1 0 1 2 0 5 β π π 0 0 3 2 1 15 π 1 β 4π 2 β π 3 + 3π 2
- 47. π π π π π· Konstanta π 0 π π β π π 0 4 π π 1 0 1 2 0 5 β π π 0 0 3 2 1 15 1 3 π 3 β π π π π π· Konstanta π 0 π π β π π 0 4 π 1 β 1 6 5 6 0 3 π 0 1 6 7 6 1 17 π 2 β 1 2 π 1 β π 3 + 1 2 π 1 Tabel terakhir adalah bentuk terakhir. Solusi dari permasalahan maksimalisasi standar dengan program linear yang diberikan adalah π₯ = 4, π¦ = 3 dan π = 17(πΆ =
- 48. Permasalahan Rangkap Permasalahan program linear yang kita jumpai dalam aplikasi digolongkan berdasarkan ketentuan berikut: 1. Fungsi objektif yang akan di minimalkan. 2. Semua variabelnya tidak negatif. 3. Setiap batasan linear dapat dituliskan sedemikian sehingga ekspresi yang mengandung variabel adalah lebih besar dari atau sama dengan suatu konstanta. Setiap permasalahan maksimalisasi program linear dihubungkan dengan suatu permasalahan minimalisasi dan sebaliknya. Untuk tujuan identifikasi, permasalahan yang diketahui disebut permasalahan utama, permasalahan yang terkait dengan permasalahan utama disebut permasalahan rangkap. Permasalahan seperti ini disebut permasalahan minimalisasi standar.
- 49. π’ π£ π€ Konstanta 40 10 5 6 10 15 15 8 2400 2100 1500 Kemudian, kita tukar tempat kolom dan baris dari tabel sebelumnya dan beri kode tiga kolom dari susunan yang dihasilkan dengan tiga variabel u, v, dan w sehingga didapatkan tabel berikut. π₯ π¦ Konstanta 40 10 2400 10 15 2100 5 15 1500 6 8 Dengan menginterpretasikan tabel terakhir seolah-olah itu adalah bagian dari tabel simpleks awal untuk suatu standar permasalahan maksimalisasi, dengan perkecualian bahwa tanda koefisien yang menyinggung fungsi objektif tidak dibalikkan
- 50. Contoh 2 Minimalkan fungsi objektif πΆ = 6π₯ + 8π¦ dengan kendala 40π₯ + 10π¦ β₯ 2400 10π₯ + 15π¦ β₯ 2100 5π₯ + 15π¦ β₯ 1500 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0 Tuliskan permasalahan rangkap yang berhubungan dengan permasalahan berikut: π₯ π¦ Konstanta 40 10 2400 10 15 2100 5 15 1500 6 8 Penyelesaian. Pertama, kita tulis tabel berikut untuk permasalahan utama:
- 51. kita mengonstruksi permasalahan rangkap yang diperlukan sebagai berikut: Permasalahan rangkap Maksimalkan fungsi objektif P=2400u+2100v+1500w dengan kendala 40u+10v+5wβ€6 10u+15v+15wβ€8 dimana uβ₯0,vβ₯0, dan wβ₯0 π’ π£ π€ Konstanta 40 10 5 6 10 15 15 8 2400 2100 1500 Hubungan antara penyelesaian permasalahan utama dan permasalahan rangkap tersebut diberikan oleh teorema berikut
- 52. Teorema 1. Teorema Dasar Rangkap Suatu permasalahan utama memiliki suatu solusi jika dan hanya jika permasalahan rangkap yang bersesuaian memiliki solusi. Kemudian, jika suatu solusi ada, maka: a. Fungsi objektif dari permasalahan utama dan permasalahan rangkap mencapai nilai optimal yang sama. b. Solusi optimal untuk permasalahan utama muncul pada variabel dalam baris terakhir dari tabel simpleks akhir yang dihubungkan dengan permasalahan rangkap.
- 53. Minimalkan fungsi objektif πΆ = 6π₯ + 8π¦ dengan kendala 40π₯ + 10π¦ β₯ 2400 10π₯ + 15π¦ β₯ 2100 5π₯ + 15π¦ β₯ 1500 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0 π₯ π¦ Konstanta 40 10 2400 10 15 2100 5 15 1500 6 8 Contoh 3 π’ π£ π€ Konstanta 40 10 5 6 10 15 15 8 2400 2100 1500 Maksimalkan fungsi objektif P=2400u+2100v+1500w dengan kendala 40u+10v+5wβ€6 10u+15v+15wβ€8 dimana uβ₯0,vβ₯0, dan wβ₯0
- 54. 40π’ + 10π£ + 5π€ +π₯ = 6 10π’ + 15π£ + 15π€ +π¦ = 8 β2400π’β2100π£β1500π€ +π = 0 Penyelesaian. Amati bahwa permasalahan rangkap dihubungkan dengan permasalahan utama adalah permasalahan maksimalisasi standar . Penyelesaiannya dapat ditemukan dengan menggunakan algoritma simpleks. Dengan memasukkan variabel slack x dan y, kita dapatkan system persamaan linear berikut. π’ π£ π€ π₯ π¦ π Konstanta 40 10 5 1 0 0 6 10 15 15 0 1 0 8 β2400 β2100 β1500 0 0 1 0
- 55. π’ π£ π€ π₯ π¦ π Konstanta 40 10 5 1 0 0 6 10 15 15 0 1 0 8 β2400 β2100 β1500 0 0 1 0 π’ π£ π€ π₯ π¦ π Konstanta 1 1 4 1 8 1 40 0 0 3 20 10 15 15 0 1 0 8 1 1 4 1 8 1 40 0 0 3 20 1 40 π 1 β
- 56. π’ π£ π€ π₯ π¦ π Konstanta 1 1 4 1 8 1 40 0 0 3 20 0 25 2 55 4 β 1 4 1 0 13 2 0 β1500 β1200 60 0 1 360 π 2 β 10π 1 ο¨ π 3 β 2400π 1 π’ π£ π€ π₯ π¦ π Konstanta 1 1 4 1 8 1 40 0 0 3 20 0 1 11 10 β 1 50 2 25 0 13 25 0 β1500 β1200 60 0 1 360 2 52 π 2 β
- 57. π 1 β 1 4 π 2 β π 3 β 1500π 2 π’ π£ π€ π₯ π¦ π Konstanta 1 0 β 3 20 3 100 β 1 50 0 1 50 0 1 11 10 β 1 50 2 25 0 13 25 0 0 450 30 120 1 1140 Solusi untuk masalah utama Teorema dasar rangkap memberi tahu kita bahwa solusi dari permasalahan utama adalah π₯ = 30 dan π¦ = 120 dengan nilai minimum untuk πΆ adalah 1400. Perhatikan bahwa solusi dari permasalahan (maksimalisasi) rangkap dapat dibaca dari tabel simpleks dengan cara π’ = 1 50 , π£ = 13 25 , π€ = 0, dan π = 1140. Perhatikan bahwa nilai maksimum π sama dengan nilai minimum πΆ, seperti yang dijamin oleh teorema dasar rangkap.
- 58. Contoh 4 Minimalkan πΆ = 3π₯ + 2π¦ dengan kendala 8π₯ + π¦ β₯ 80 8π₯ + 5π¦ β₯ 240 π₯ + 5π¦ β₯ 100 π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0 π₯ π¦ Konstanta 8 1 80 8 5 240 1 5 100 3 2 Penyelesaian. Pertama, kita tulis tabel berikut untuk permasalahan utama: π’ π£ π€ Konstanta 8 8 1 3 1 5 5 2 80 240 100 Maksimalkan fungsi objektif π = 80π’ + 240π£ + 100π€ dengan kendala 8π’ + 8π£ + π€ β€ 3 π’ + 5π£ + 5π€ β€ 2 dimana π’ β₯ 0, π£ β₯ 0, dan π€ β₯ 0
- 59. 8π’ + 8π£ + π€ +π₯ =3 π’ + 5π£ + 5π€ + +π¦ =2 -80π’ -240π£ -100π€ +π =0 π’ π£ π€ π₯ π¦ π Konstanta 8 8 1 1 0 0 3 1 5 5 0 1 0 2 -80 -240 -100 0 0 1 0 1 8 π 1 β π’ π£ π€ π₯ π¦ π Konstanta 1 1 1 8 1 8 0 0 3 8 1 5 5 0 1 0 2 -80 -240 -100 0 0 1 0
- 60. π’ π£ π€ π₯ π¦ π Konstanta 1 1 1 8 1 8 0 0 3 8 -4 0 35 8 β 5 8 1 0 1 8 160 0 -70 30 0 1 90 π 2 β 5π 1 β π 3 + 240π 1 π’ π£ π€ π₯ π¦ π Konstanta 1 1 1 8 1 8 0 0 3 8 β 32 35 0 1 β 1 7 8 35 0 1 35 160 0 -70 30 0 1 90 8 35 π 2 β π 1 β 1 8 π 2 β π 3 + 70π 2 π’ π£ π€ π₯ π¦ π Konstanta 39 35 1 0 1 7 β 1 35 0 13 35 β 32 35 0 1 β 1 7 8 35 0 1 35 96 0 0 20 16 1 92 Solusi untuk masalah utama Teorema dasar rangkap memberi tahu kita bahwa solusi dari permasalahan utama adalah π₯ = 20 dan π¦ = 16 dengan nilai minimum untuk πΆ adalah 92.
- 61. π₯1 +π₯2 +π₯3 β€ 400 π₯4 +π₯5 +π₯6 β€ 600 π₯1 +π₯4 β₯ 200 π₯2 +π₯5 β₯ 300 π₯3 +π₯6 β₯ 400 Acrosonic memproduksi sistem pengeras suara model F di dua tempat yang terpisah, pabrik I dan pabrik II. Hasil produksi pada pabrik I paling banyak 400 per bulan, sedangkan hasil produksi pabrik II paling banyak 600 per bulan. Sistem pengeras suara ini dikirim ke tiga gudang yang menyediakan pusat pendistribusian untuk perusahaan. Agar gudang dapat memenuhi permintaan mereka, persyaratan minimum bulanan dari gudang A, B, dan C adalah 200, 300, dan 400 sistem secara berurutan. Biaya pengiriman dari pabrik I ke gudang A, B, dan C adalah $20, $8, dan $10 per sistem pengeras suara secara berurutan dan biaya pengiriman dari pabrik II ke setiap gudang adalah $12, $22, dan $18 secara berurutan. Bagaimanakah jadwal pengiriman jika Acrosonic ingin memenuhi persyaratan pusat pendistribusian dan pada waktu yang sama meminimalkan biaya pengirimannya? Lengkapi penyelesaian untuk permasalahan tersebut. Contoh Terapan 5. Permasalahan Suatu Gudang Minimalkan πΆ = 20π₯1 + 8π₯2 + 10π₯3 + 12π₯4 + 22π₯5 + 18π₯6 ππππππ πππππππ π₯1 β₯ 0, π₯2 β₯ 0, β¦ , π₯6 β₯ 0
- 62. Penyelesaian. Dengan mengalikan masing-masing dari dua pertidaksamaan pertama dengan -1, kita dapatkan sistem batas yang ekivalen berikut yang mana setiap ekspresi yang melibatkan variabel lebih dari atau sama dengan suatu konstanta: βπ₯1 βπ₯2 βπ₯3 β₯ 400 βπ₯4 βπ₯5 βπ₯6 β₯ 600 π₯1 +π₯4 β₯ 200 π₯2 +π₯5 β₯ 300 π₯3 +π₯6 β₯ 400 π₯1 β₯ 0, π₯2 β₯ 0, β¦ , π₯6 β₯ 0 π₯1 π₯2 π₯3 π₯4 π₯5 π₯6 Konstanta -1 -1 -1 0 0 0 β400 0 0 0 -1 -1 -1 β600 1 0 0 1 0 0 200 0 1 0 0 1 0 300 0 0 1 0 0 1 400 20 8 10 12 22 18 Permasalahan tersebut sekarang dapat diselesaikan dengan rangkap. Pertama, kita tulis kembali susunan angka tersebut: πΆ = 20π₯1 + 8π₯2 + 10π₯3 + 12π₯4 + 22π₯5 + 18π₯6
- 63. π’1 π’2 π’3 π’4 π’5 Konstanta -1 0 1 0 0 20 -1 0 0 1 0 8 -1 0 0 0 1 10 0 -1 1 0 0 12 0 -1 0 1 0 22 0 -1 0 0 1 18 -400 -600 200 300 400 Dengan menukar posisi baris dan kolom dari susunan bilangan ini dan memberi kode lima kolom susunan bilangan yang dihasilkan dengan variabel u1, u2, u3, u4, dan u5, kita dapatkan βπ’1 +π’3 β€ 20 βπ’1 +π’4 β€ 8 βπ’1 +π’5 β€ 10 βπ’2 +π’3 β€ 12 βπ’2 +π’4 β€ 22 βπ’2 +π’5 β€ 18 Yang mana kita mengonstruksi hubunga permasalahan rangkap: Maksimalkan π = β400π’1 β 600π’2 + 200π’3 + 300π’4 + 400π’5 dengan kendala π’1 β₯ 0, π’2 β₯ 0, β¦ , π’5 β₯ 0
- 64. Dengan menyelesaikan standar permasalahan maksimalisasi dengan algoritma simpleks, kita dapatkan baris tabel berikut 9 (π₯1, π₯2, β¦ , π₯6 merupakan variabel slack):
- 66. Tabel terakhir adalah akhir dan kita temukan bahwa π₯1 = 0, π₯2 = 300, π₯3 = 100, π₯4 = 200, π₯5 = 0 , π₯6 = 300, π = 11,200 Jadi, untuk meminimalkan biaya ekspedisi, Acrosonic harus mengirimkan 300 sistem pengeras suara dari pabrik I ke gudang B, 100 sistem dari pabrik I ke gudang C, 200 sistem dari pabrik II ke gudang A, dan 300 sistem dari pabrik II ke gudang C. Total biaya ekspedisi perusahaan adalah $11,200.
- 67. Soal Latihan 1. Maksimalkan π· = ππ + ππ + ππ dengan kendala π + π + π β€ π ππ + ππ + ππ β€ ππ π β₯ π, π β₯ π, π β₯ π
- 68. Solusi: Karena terdapat dua pertidaksamaan linear, maka kita menambahkan dua slack variabel yaitu π, π untuk mengubah pertidaksamaan tersebut menjadi persamaan linear. π + π + π + π = π ππ + ππ + ππ + π = ππ βππ β ππ β ππ + π· = π Matriks augmentasi yang berkorespondensi dengan sistem persamaan linear di atas adalah
- 70. Entri baris terakhir pada tabel simplex akhir tidak mengandung bilangan negatif, sehingga solusi optimal telah tercapai yaitu π₯ = 0, π¦ = 4, π§ = 4, dan π = 36.
- 71. 1. PabrikβJadwal Produksi. Perusahaan Bisnis Mesin Nasional memproduksi dua jenis mesin fax: A dan B. Setiap model A membutuhkan biaya produksi $100 dan setiap model B membutuhkan biaya produksi $150. Keuntungan yang diperoleh dari mesin fax adalah $30 untuk setiap model A dan $40 untuk setiap model B. Apabila banyaknya mesin fax yang diperlukan setiap bulan tidak melebihi 2500 dan perusahaan telah menganggarkan tidak lebih dari $600.000/bulan untuk biaya produksi, temukan berapa banyak unit dari setiap model Nasional yang harus diproduksi setiap bulan sedemikian sehingga memaksimalkan keuntungan perbulannya. Berapakah keuntungan maksimum perbulan yang dapat diperoleh perusahaan? Soal Latihan
- 72. Solusi Misalkan π: banyaknya mesin fax model A π: banyaknya mesin fax model B Permasalahan di atas merupakan masalah maksimalisasi fungsi tujuan π· = πππ + πππ dengan kendala π + π β€ ππππ ππππ + ππππ β€ ππππππ atau ππ + ππ β€ πππππ π β₯ π, π β₯ π Dengan menambahkan variabel slack π, π dan menulis ulang fungsi tujuan, kita peroleh sistem persamaan π + π + π = ππππ ππ + ππ + π = πππππ βπππ β πππ + π· = π Matriks augmentasi yang diperoleh adalah Karena baris terakhir dari tabel simplex akhir tidak mengandung bilangan negatif, maka solusi optimal telah tercapai. Jadi, keuntugan maksimum yang bisa dicapai adalah 100000
- 73. Soal Latihan Produk A Produk B Produk C Dept. I 2 1 2 Dept. II 3 1 2 Dept. III 2 2 1 Keuntungan $18 $12 $15 3. PabrikβJadwal Produksi. Suatu perusahaan memproduksi produk A, B, dan C. Setiap produk diproses pada tiga departemen: I, II, dan III. Total jam pekerja per minggu untuk departemen I, II, dan III adalah 900, 1080, dan 840, secara berurutan. Waktu yang dibutuhkan (dalam jam per unit) dan keuntungan per unit untuk setiap produk adalah sebagai berikut: Berapa banyak unit dari setiap produk yang harus diproduksi oleh perusahaan sedemikian sehingga memaksimalkan keuntungannya ? berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh oleh perusahaan tersebut? Adakah sumber penghasilan yang tersisa?
- 74. Solusi Misalkan π, π, π secara berturut-turut merupakan banyaknya produk π¨, π©, πππ§ πͺ. Permasalahan di atas merupakan masalah maksimalisasi standar untuk fungsi tujuan π· = πππ + πππ + πππ dengan kendala ππ + π + ππ β€ πππ ππ + π + ππ β€ ππππ ππ + ππ + π β€ πππ π β₯ π, π β₯ π Dengan menambahkan variabel slack π, π, π pada kendala dan menulis ulang fungsi tujuan, kita memperoleh sistem persamaan di bawah ini ππ + π + ππ + π = πππ ππ + π + ππ + π = ππππ ππ + ππ + π + π = πππ βπππ β πππ β πππ + π· = π Matriks augmentasi yang berkaitan dengan sistem persamaan di atas adalah
- 78. Entri pada baris terakhir pada tabel simplex akhir merupakan bilangan nonnegatif, maka solusi optimal telah tercapai. Jadi, banyaknya produk A, B, dan C secara berturut-turut adalah 200, 180, dan 140. Perusahaan akan mendapatkan keuntungan maksimum sebesar 7920. Karena nilai variabel slack adalah 0, maka tidak ada sumber penghasilan yang tersisa.
- 79. Soal Latihan 4. Minimalkan πͺ = βππ β ππ dengan kendala ππ + ππ β€ ππ ππ β ππ β€ ππ π β₯ π, π β₯ π
- 80. SOLUSI Kita akan meminimalkan πͺ = βππ β ππ dengan kendala ππ + ππ β€ ππ ππ β ππ β€ ππ π β₯ π, π β₯ π Perhatikan bahwa meminimalkan C sama halnya dengan memaksimalkan π· = βπͺ, sehingga fungsi tujuan bisa diubah menjadi π· = ππ + ππ Dengan menambahkan dua variabel slack π, π pada kendala dan menulis ulang fungsi tujuan, kita mendapatkan sistem persamaan: ππ + ππ + π = ππ ππ β ππ + π = ππ βππ β ππ + π· = π Matriks augmentasi yang berkaitan dengan sistem persamaan di atas adalah
- 81. Entri pada baris terakhir merupakan bilangan nonnegatif sehingga didapatkan π = 18 , sehingga diperoleh nilai minimum πΆ = β18
- 82. Soal Latihan 5. Transportasi. Deluxe River Cruises mengoperasikan suatu armada dari kapal sungai. Armada tersebut memiliki dua jenis kapal: suatu kapal tipe A memiliki 60 kamar mewah dan 160 kamar standar, sedangkan kapal tipe B mamiliki 80 kamar mewah dan 120 kamar standar. Dibawah kesepakatan penyewaan dengan Odyssey Travel Agency, Deluxe River Cruises harus menyediakan untuk Odyssey dengan minimum 360 kamar mewah dan 680 kamar standar untuk pelayaran 15 hari mereka pada bulan Mei. Biaya operasi kapal tipe A adalah $44.000 dan biaya operasi kapal tipe B adalah $54.000 untuk satu periode. Berapa banyak dari setiap jenis kapal yang harus digunakan sedemikian sehingga dapat maminimalkan biaya operasi? Berapakah biaya minimumnya?
- 83. πͺ = πππ + πππ π ππππ ππππππ πππ + πππ β₯ πππ β ππ + ππ β₯ ππ ππππ + ππππ β₯ πππ β ππ + ππ β₯ ππ π₯ β₯ 0, π¦ β₯ 0
- 86. TERIMA KASIH DAN SAMPAI JUMPA ο