Nilai Trigonometri Untuk Sudut-SUdut Berelasi

1. TRIGONOMETRI
MATEMATIKA WAJIB SMA KELAS X

2. D. Pengertian Kuadran dalam Perbandingan Trigonometri
Dalam sistem koordinat Cartesius ada empat bidang yang sama
besar.
Keempat bidang itu dikenal sebagai kuadran I, kuadran II, kudran III
dan kudran IV.
 Kuadran I : sudut yang besarnya antara 0° sampai 90° atau 0
sampai
𝜋
2
.
 Kuadran II : sudut yang besarnya antara 90° sampai 180° atau
𝜋
2
sampai 𝜋.
 Kuadran III : sudut yang besarnya antara 180° sampai 270° atau 𝜋
sampai
3𝜋
2
.
 Kuadran IV : sudut yang besarnya antara 270° sampai 360° atau
3𝜋

3. O
X
Y
0° < α < 90°90° < α < 180°
180° < α < 270° 270° < α < 360°
O
X
Y
0°
90°
180° 360°
270°
α
r
O
X
Y
Kuadran IKuadran II
Kuadran III Kuadran IV

4. O
X
Y
I
semua
positif
II
sin positif
cosec positif
III
tan positif
cotan positif
IV
cos positif
sec positif
Perbandingan
Tigonometri
Sudut-sudut di Kuadran
I II II IV
sin + + ‒ ‒
cos + ‒ ‒ +
tan + ‒ + ‒
cotan + ‒ + ‒
sec + ‒ ‒ +
cosec + + ‒ ‒
Tanda Perbandingan Trigonometri di Semua
Kuadran

5. Diketahui koordinat titik A(4, ‒3). Jika 𝛼 = ∠𝑋𝑂𝐴, carilah
perbandingan trigonometri untuk sudut α.
Conto
h
𝑚𝑖 = 𝑥2 + 𝑦2 = 42 + (−3)2= 9 + 16 = 5
sin 𝛼 =
𝑑𝑒
𝑚𝑖
=
−3
5
= −
3
5
cos 𝛼 =
𝑠𝑎
𝑚𝑖
=
4
5
tan 𝛼 =
𝑑𝑒
𝑠𝑎
=
−3
4
= −
3
4
Penyelesaia
n
O
X
Y
α
A(4, ‒3)
4
‒
3
de = ‒3
sa = 4
mi = 5
cosec 𝛼 = −
5
3
s𝑒𝑐 𝛼 =
5
4
cotan 𝛼 = −
4
3

6. Diketahui tan 𝛼 = −
5
12
dan 𝛼 sudut di kuadran II, carilah
perbandingan trigonometri lainnya untuk sudut α.
Conto
h
Sudut 𝛼 di kuadran II, artinya yang bertanda positif hanya sin dan
cosec, lainnya bertanda negatif.
tan 𝛼 =
𝑑𝑒
𝑠𝑎
= −
5
12
, sehingga 𝑚𝑖 = 𝑑𝑒2 + 𝑠𝑎2 = 52 + 122 = 25 + 125 = 13
sin 𝛼 = +
𝑑𝑒
𝑚𝑖
=
5
13
cos 𝛼 = −
𝑠𝑎
𝑚𝑖
= −
12
13
Penyelesaia
n
cosec 𝛼 =
13
5
s𝑒𝑐 𝛼 = −
12
13
cotan 𝛼 = −
12
5

7. E. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Berelasi
Misalkan suatu sudut besarnya α.
Sudut lain yang besarnya (90  α) dikatakan berelasi dengan
sudut α dan sebaliknya.
Sudut-sudut lain yang berelasi dengan sudut α adalah sudut-
sudut yang besarnya:
a. (90  α)
b. (180  α)
c. (270  α)
d. (360  α)
e. α

8. 1. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut
(90 ‒ α)
x
Y
Q
P
α
α
x
y


 P(x,y)
Q(x,y)
0

r r
sin 90° − 𝛼° =
𝑥
𝑟
= cos 𝛼°
cos 90° − 𝛼° =
𝑦
𝑟
= sin 𝛼°
tan 90° − 𝛼° =
𝑥
𝑦
= cotan 𝛼°
cotan 90° − 𝛼° =
𝑦
𝑥
= tan 𝛼°
sec 90° − 𝛼° =
𝑟
𝑦
= cosec 𝛼°
cosec 90° − 𝛼° =
𝑟
𝑥
= sec 𝛼°

9. 2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90
+ α)
sin 90° + 𝛼° =
𝑥
1
= cos 𝛼°
cos 90° + 𝛼° =
−𝑦
1
= − sin 𝛼°
tan 90° + 𝛼° =
𝑥
−𝑦
= − cotan 𝛼°
cotan 90° + 𝛼° =
−𝑦
𝑥
= − tan 𝛼°
sec 90° + 𝛼° =
1
−𝑦
= − cosec 𝛼°
cosec 90° + 𝛼° =
1
𝑥
= sec 𝛼°

10. 3. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180
‒ α)
sin 180° − 𝛼° =
𝑦
1
= sin 𝛼°
cos 180° − 𝛼° =
−𝑥
1
= − cos 𝛼°
tan 180° − 𝛼° =
𝑦
−𝑥
= − tan 𝛼°
cotan 180° − 𝛼° =
−𝑥
𝑦
= − cotan 𝛼°
sec 180° − 𝛼° =
1
−𝑥
= − sec 𝛼°
cosec 180° − 𝛼° =
1
𝑦
= cosec 𝛼°

11. 4. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180
+ α)
sin 180° + 𝛼° =
−𝑦
1
= − sin 𝛼°
cos 180° + 𝛼° =
−𝑥
1
= − cos 𝛼°
tan 180° + 𝛼° =
−𝑦
−𝑥
= tan 𝛼°
cotan 180° + 𝛼° =
−𝑥
−𝑦
= cotan 𝛼°
sec 180° + 𝛼° =
1
−𝑥
= − sec 𝛼°
cosec 180° + 𝛼° =
1
−𝑦
= − cosec 𝛼°

12. 5. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270
‒ α)
sin 270° − 𝛼° =
−𝑥
1
= − cos 𝛼°
cos 270° − 𝛼° =
−𝑦
1
= − sin 𝛼°
tan 270° − 𝛼° =
−𝑥
−𝑦
= cotan 𝛼°
cotan 270° − 𝛼° =
−𝑦
−𝑥
= tan 𝛼°
sec 270° − 𝛼° =
1
−𝑦
= − cosec 𝛼°
cosec 270° − 𝛼° =
1
−𝑥
= − sec 𝛼°

13. 6. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270
+ α)
sin 270° + 𝛼° =
−𝑥
1
= − cos 𝛼°
cos 270° + 𝛼° =
𝑦
1
= sin 𝛼°
tan 270° + 𝛼° =
−𝑥
𝑦
= − cotan 𝛼°
cotan 270° + 𝛼° =
𝑦
−𝑥
= − tan 𝛼°
sec 270° + 𝛼° =
1
𝑦
= cosec 𝛼°
cosec 270° + 𝛼° =
1
−𝑥
= − sec 𝛼°

14. 7. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (‒α)
sin −𝛼° =
−𝑦
1
= − sin 𝛼°
cos −𝛼° =
𝑥
1
= cos 𝛼°
tan −𝛼° =
−𝑦
𝑥
= − tan 𝛼°
cotan −𝛼° =
𝑥
−𝑦
= − cotan 𝛼°
sec −𝛼° =
1
𝑥
= sec 𝛼°
cosec −𝛼° =
1
−𝑦
= − cosec 𝛼°

15. 8. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut
(n.360 ‒ α)
sin 𝑛 ∙ 360° − 𝛼° = sin −𝛼° = − sin 𝛼°
cos 𝑛 ∙ 360° − 𝛼° = cos −𝛼° = cos 𝛼°
tan 𝑛 ∙ 360° − 𝛼° = tan −𝛼° = − tan 𝛼°
cotan 𝑛 ∙ 360° − 𝛼° = cotan −𝛼° = − cotan 𝛼°
sec 𝑛 ∙ 360° − 𝛼° = sec −𝛼° = sec 𝛼°
cosec 𝑛 ∙ 360° − 𝛼° = cosec −𝛼° = − cosec 𝛼°

16. 9. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut
(n.360 + α)
sin 𝑛 ∙ 360° + 𝛼° = sin 𝛼°
cos 𝑛 ∙ 360° + 𝛼° = cos 𝛼°
tan 𝑛 ∙ 360° + 𝛼° = tan 𝛼°
cotan 𝑛 ∙ 360° + 𝛼° = cotan 𝛼°
sec 𝑛 ∙ 360° + 𝛼° = sec 𝛼°
cosec 𝑛 ∙ 360° + 𝛼° = cosec 𝛼°

17. sin 90° − 𝛼° = cos 𝛼°
cos 90° − 𝛼° = sin 𝛼°
tan 90° − 𝛼° = cotan 𝛼°
cotan 90° − 𝛼° = tan 𝛼°
sec 90° − 𝛼° = cosec 𝛼°
cosec 90° − 𝛼° = sec 𝛼°
sin 180° − 𝛼° = sin 𝛼°
cos 180° − 𝛼° = − cos 𝛼°
tan 180° − 𝛼° = − tan 𝛼°
cotan 180° − 𝛼° = − cotan 𝛼°
sec 180° − 𝛼° = − sec 𝛼°
cosec 180° − 𝛼° = cosec 𝛼°
sin 270° − 𝛼° = − cos 𝛼°
cos 270° − 𝛼° = − sin 𝛼°
tan 270° − 𝛼° = cotan 𝛼°
cotan 270° − 𝛼° = tan 𝛼°
sec 270° − 𝛼° = − cosec 𝛼°
cosec 270° − 𝛼° = − sec 𝛼°
sin 90° + 𝛼° = cos 𝛼°
cos 90° + 𝛼° = − sin 𝛼°
tan 90° + 𝛼° = − cotan 𝛼°
cotan 90° + 𝛼° = − tan 𝛼°
sec 90° + 𝛼° = − cosec 𝛼°
cosec 90° + 𝛼° = sec 𝛼°
sin 180° + 𝛼° = − sin 𝛼°
cos 180° + 𝛼° = − cos 𝛼°
tan 180° + 𝛼° = tan 𝛼°
cotan 180° + 𝛼° = cotan 𝛼°
sec 180° + 𝛼° = − sec 𝛼°
cosec 180° + 𝛼° = − cosec 𝛼°
sin 270° + 𝛼° = − cos 𝛼°
cos 270° + 𝛼° = sin 𝛼°
tan 270° + 𝛼° = − cotan 𝛼°
cotan 270° + 𝛼° = − tan 𝛼°
sec 270° + 𝛼° = cosec 𝛼°
cosec 270° + 𝛼° = − sec 𝛼°
Tabel Perbandingan Trigonometri untuk (90 ± α) , (180 ± α),
(270 ± α)
Bentuk trigonometri berubah Bentuk trigonometri berubahBentuk trigonometri tetap

18. Hitunglah nilai dari tiap perbandingan trigonometri
berikut:
a. cos 120°
b. sec 225°
c. tan −30°
d. sin 840°
Conto
h

19. a. cos 120° = cos 90° + 30° = − sin 30° = −
1
2
atau cos 120° = cos 180° − 60° = − cos 60° = −
1
2
b. sec 225° = sec 180° + 45° = sec 45° = 2
atau sec 225° = sec 270° − 45° = cosec 45° = 2
c. tan −30° = − tan 30° = −
1
3
3
d. sin 840° = sin 2 × 360° + 120°
= sin 120°
= sin 180° − 60°
= sin 60° =
1
2
3
Penyelesaia
n
Relasi (90° ± α) dan
(270° ± α) bentuk
trigonometri berubah
• sin ↔ cos
• tan ↔ cotan
• sec ↔ cosec
Sedangkan relasi
(180° ± α) bentuk
trigonometri tetap
Ingat yooo!!!

20. Jika cos 𝜃 = −
3
5
untuk 0 < 𝜃 < 𝜋, hitunglah :
a. sin 𝜃
b. tan 𝜃
Conto
h

21. 0° < 𝜃 < 𝜋 ⟹ 𝜃 kuadran II karena nilai cos negatif (‒).
cos 𝜃 = −
3
5
=
𝑠𝑎
𝑚𝑖
𝑑𝑒 = 𝑚𝑖2 − 𝑠𝑎2 = 52 − 32 = 4
a. sin 𝜃 =
𝑑𝑒
𝑚𝑖
=
4
5
b. tan 𝜃 = −
𝑑𝑒
𝑠𝑎
= −
4
3
(karena di K.II tangen negatif)
Penyelesaia
n
mi = 5
𝜃
Q
sa = 3
de

22. Jika tan 34° = 1 − 𝑛, tentukan sin 214°.
Conto
h
tan 34° =
1 − 𝑛
1
=
𝑑𝑒
𝑠𝑎
sin 214° = sin 180° + 34°
= − sin 34°
= −
𝑑𝑒
𝑚𝑖
= −
1 − 𝑛
1 + 1 − 𝑛 2
=
𝑛 − 1
1 + 1 − 𝑛 2
Penyelesaia
n
de=1–n
34°
sa = 1
𝑚𝑖 = 1 + 1 − 𝑛 2