PPT ini berisi tentang Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel beserta denga cara penyelesaiannya

1. Persamaan Linear Tiga
Variabel
Oleh :
Fransisca Putri Wulandari ( 121414003 )
Yoanna Nungki Rianda (121414004)
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2. Persamaan Linear Tiga Variabel
• Persamaan linear dengan tiga variabel mempunyai bentuk
umum:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑
Dengan a, b, c dan d adalah bilangan real dan a > 0; b > 0; c > 0.
• Penyelesaian dari persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 diperoleh
dengan memberi nilai sembarang terhadap dua variabelnya
dan kemudian menentukan nilai variabel ketiga.

3. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
• Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel
𝑥, 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑧 adalah:
𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 = 𝑑1
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑑2
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 𝑑3

4. Himpunan penyelesaian dari suatu sistem
persamaan dua variabel dapat ditentukan
dengan beberapa cara, yaitu :
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi substitusi
3. Metode Cramer

5. Metode substitusi
Tentukan HP dari sistem persamaan :
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 3
−2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9..................................(3)
..................................(2)
..................................(1)

6. • Persamaan (1) dapat diubah menjadi z = -x – y – 6
• Susbtitusi persamaan (4) ke persamaan (2), diperoleh :
x – 2y + (-x – y – 6) = 3
x – 2y - x – y – 6 = 3
-3y = 3 + 6 = 9
y =
9
−3
= -3
..................................(4)

7. • Susbtitusi persamaan (4) ke persamaan (3), diperoleh :
−2𝑥 + 𝑦 + (−x – y – 6) = 9
−2𝑥 + 𝑦 − x – y – 6 = 9
-3x = 9 + 6
-3x = 15
x =
15
−3
=-5

8. • Susbtitusi nilai x = -5 dan y = -3 ke persamaan (4), diperoleh :
z = -(-5) – (-3) – 6
z = 5 + 3 – 6
z = 2
Jadi, HP = {(-5, -3, 2)}

9. Metode eliminasi-substitusi
Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dapat
ditempuh dengan urutan- urutan berikut ini :
1. Eliminasi sebuah variabel dari dua persamaan
2. Selesaikan hasil yang diperoleh, yaitu sstem persamaan
dengan dua variabel dengan metode substitusi atau
eliminasi atau eliminasi substitusi.
3. Substitusikan variabel- variabel yang diperoleh pada
langkah(2) ke persamaan awal untuk memperoleh nilai
variabel lainnya
4. Melakukan checking dari hasil yang diperoleh.

10. Metode Cramer
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel
𝑥, 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑧 yang berbentuk :
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑘
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓𝑧 = 𝑙
𝑔𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑖𝑧 = 𝑚

11. • Tentukan determinan- determinan matriks koefisien sebagai
berikut:
D =
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
, merupakan determinan matriks koefisien 𝑥, 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑧
𝐷 𝑥=
𝑘 𝑏 𝑐
𝑙 𝑒 𝑓
𝑚 ℎ 𝑖
,
merupakan determinan D dengan koefisien pada kolom
variabel x diganti dengan kolom konstanta.
Langkah- langkah penyelesaian
dengan Metode Cramer

12. Langkah- langkah penyelesaian dengan
Metode Cramer
𝐷 𝑦 =
𝑎 𝑘 𝑐
𝑑 𝑙 𝑓
𝑔 𝑚 𝑖
,
𝐷𝑧 =
𝑎 𝑏 𝑘
𝑑 𝑒 𝑙
𝑔 ℎ 𝑚
,
merupakan determinan D dengan koefisien pada kolom
variabel y diganti dengan kolom konstanta.
merupakan determinan D dengan koefisien pada kolom
variabel z diganti dengan kolom konstanta.

13. Langkah- langkah penyelesaian dengan
Metode Cramer
• Nilai 𝑥, 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑧diperoleh dengan aturan Cramer dimana D ≠ 0
x =
𝑘 𝑏 𝑐
𝑙 𝑒 𝑓
𝑚 ℎ 𝑖
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
=
𝐷 𝑥
𝐷
y =
𝑎 𝑘 𝑐
𝑑 𝑙 𝑓
𝑔 𝑚 𝑖
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
=
𝐷 𝑦
𝐷
z=
𝑎 𝑏 𝑘
𝑑 𝑒 𝑙
𝑔 ℎ 𝑚
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
=
𝐷 𝑧
𝐷