1. Dokumen tersebut membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear, yang mencakup: 2. Gradien garis, persamaan garis, dan penyelesaian persamaan garis 3. Penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel dan dua variabel, serta sistem pertidaksamaan linear dua variabel 4. Penyelesaian pertidaksamaan dan sistem pertidaksamaan yang melibatkan nilai mutlak

1. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
1.1 Gradien Garis

2. 4
2
LATIHAN :
1) TentukanbesarnyagradienyangmelaluititikA (-2,3) danB (3,-5)

3. 4
3
Soal no. 3
1.2 PERSAMAAN GARIS
1. Persamaan Garis Lurus bentuk umum ( y = mx )
Persamaan garis yang melalui titik pangkal O ( 0,0 ) dengan gradien m :
Contoh :
Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pusat ( 0 , 0 ) dan bergradien 2 !
Jawab : y = mx
y = 2x
2. Persamaan Garis yang memotong sumbu Y di (0,n) dengan gradien m adalah y
= mx + n
Contoh :
Diketahui : titik garis ( 0 , -2 )
m = 3 / 4
Ditanya :
Persamaan garis = . . .?

4. 4
4
Jawab :
3.Persamaan garis yang memotong sumbu X di dan sumbu Y maka
persamaannya
Contoh : persamaan garis yang memotong di sumbu x dan sumbu Y berturut-
turut adalah (0,1) dan (2,0) yaitu
4. Garis yang sejajar sumbu Y dan berjarak a satuan dari sumbu Y adalah garis
x=a
5. Garis yang sejajar sumbu X dan berjarak a satuan dari sumbu X adalah garis
y = b

5. 4
5
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,2) dan :
a. Sejajarpadagaris
b. Tegakluruspadagaris
LATIHAN :
1. Tentukangradiengaris yangmelalui titikA (3,4) danB (2,8)
2. Tentukanpersamaangarisyang:
a. melalui titikA (3,4) danB (2,8)

6. 4
6
b. memilikigradien3
c. memotongsumbuYdi (0,5) danmemliki gradient6
d. memotongdi sumbuX(3,0) dan sumbuY (0,-5)
e. melalui titikA (2,3) danmemilikigradient5
3. Tentukanpersamaangarisyangmelalui titik(3,1) dan tegaklurusdengan
garis
4. Tentukanpersamaangarisyangmelalui titik(3,1) dan sejajardengan
garis
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (1,2) dan :
a. Sejajarpadagaris
b. Tegakluruspadagaris
PERSAMAAN LINEAR YANG MELIBATKAN NILAI MUTLAK
1.3 Nilai Mutlak
Definisi : nilai mutlak dari bilangan real dapat ditulis sebagai :
Nilai mutlak : jarak suatu bilangan yang sama terhadap titik O
Sifat dari nilai mutlak :
a.
Contoh:
b. |ab| = |a|.|b|

7. 4
7
c. |-a| = |a|
d. |x2
| = x2
e.
f. atau
Persamaan Nilai Mutlak :
Contoh : Tentukan penyelesaian persamaan nilai mutlak dari
Jawab :
Jika
Jika
Jadi HP :
Atau

8. 4
8

9. 4
9
Selesaikanlah persamaan
Cara Menyelesaikannya:
Pertama-tama kita harus mengisolasi nilai mutlak caranya adalah dengan
memisahkan nilai mutlak agar berada pada satu ruas, sementara suku yang lain
kita pindahkan menuju ruas yang lain.
Pada persamaan nilai mutlak adalah sehingga kita bisa menyimpulkan
bahwa:
sehingga

10. 4
10
maka himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah {7,1}
Contoh Soal 2
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan
Cara Menyelesaikannya:
maka
sehingga
Maka himpunan penyelesaiannya adalah {-40,60}
LATIHAN
Carilah nilai x dari :
1.Bentuk A
a.
b.
c.
d.

11. 4
11
e.
f.
2. BentukB
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3. BentukC
a.
b.
c.
d.
e.
f.
PERTIDAKSAMAAN LINEAR
1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Jika x dan y merupakan variabel,a,b,dan c merupakan bilangan/konstanta,
pertidiksamaan linerardapay dituliskan sebagai berikut: ax + by < c, ax + by > c,
ax + by ≤ c, dan ax + by ≥ c.
Contoh bentuk pertidaksamaan linear dua variabel.
1. 2x + 3y < 6
2. 3x + 4y > 12
3. x + y ≤ 10
4. 5x - 2y ≥ 20

12. 4
12
Pertidaksamaan-Pertidaksamaan linear dua variabel mempunyai penyelesaian
yang berupa daerah penyelesaian. Daerah penyelessaian ini merupakan titik-titik
(x, y) yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.
Daerah penyelesaian ini dapat digambarkan seperti berikut.
Contoh 1
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan x + y ≤ 10.
Jawaban:
Langkah pertama kita membuat persamaan x + y = 10 (persamaan garis lurus)
Membuat dua titik bantu.
Untuk x = 0, maka y = 10. Diperoleh titik (0, 10)
Untuk y = 0, maka x = 10. Diperoleh titik (10, 0)
Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan x + y ≤ 10.
Gambar yang diarsir adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 10.
Untuk mengecek/menyelidiki kebenarannya sebgai berikut.
Daerah yang diarsir memuat (0,0). Jika (0,0) kita substitusikan ke x + y ≤ 10
akan diperoleh
0 + 0 ≤ 10. Hal ini sebuah pernyataan yang benar.
Contoh 2
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18.
Jawaban:
Langkah pertama kita membuat persamaan 2x + 3y = 18 (persamaan garis lurus)
Membuat dua titik bantu.
Untuk x = 0, maka y = 6. Diperoleh titik (0, 6)
Untuk y = 0, maka x = 9. Diperoleh titik (9, 0)
Selanjutnya digambar garis sesuai pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18.
Perlu diketahui,titik (0,0) tidak memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y ≥ 18, karena
2(0) + 3(0) ≥ 18 sebuah pernyataan yang salah. Jadi, daerah yang memuat (0, 0)

13. 4
13
tidak diarsir.
Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian pertidaksamaan linear 2x + 3y
≥ 18.
2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Kita tahu bahwa pada materi yang lalu dibahas sistem persamaan linear dua
variabel. Dalam kesempatan ini akan dibahas tentang sistem pertidaksamaan
linear dua variabel. Sistem persamaan linear dua variabel adalah gabungan
beberapa pertidaksamaan linear dua variabel yang variabel-variabelnya saling
berkaitan (variabelnya sama). Dengan demikian dari sistem pertidaksamaan
tersebut diperoleh penyelesaian dari kedua atau lebih pertidaksamaan itu.
Bentuk umum sistem pertidaksamaan linear dua veriabel.
ax + by ≤ c
px + qy ≤ r
Tanda ketidaksamaan dapat meliputi ≤, ≥, <, >.
Perhatikan contoh sistem pertidaksamaan dan penyelesaiannya berikut.
Contoh 1
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≤10

14. 4
14
2x + 3y ≤ 24
x ≥ 0,
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 10 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (10, 0)
dan (0,10).
Persamaan 2x + 3y = 24 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (12,
0) dan (0,8).
Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan di atas. sehingga daerah yang
memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan tersebut.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti
di bawah ini.
Contoh 2
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≥ 8
5x + 3y ≥ 30
x ≥ 0,
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 8 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (8, 0) dan
(0,8).
Persamaan 5x + 3y = 30 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (6, 0)
dan (0,10).
Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan di atas sehingga daerah yang
memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian sistem persamaan

15. 4
15
tersebut.
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti
di bawah ini.
Contoh 3
Diketahui sistem pertidaksamaan berikut.
x + y ≤ 12
2x + 5y ≥ 40
x ≥ 0,
y ≥ 0
Jawaban:
Persamaan x + y = 12 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (12, 0)
dan (0,12).
Persamaan 2x + 5y = 40 berpotongan terhadap sumbu X dan sumbu Y di (20,
0) dan (0, 8).
Titik (0, 0) memenuhi sistem petidaksamaan x + y ≤ 12 sehingga daerah yang
memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 12.
Titik (0, 0) tidak memenuhi sistem petidaksamaan 2x + 5y ≥ 40 sehingga daerah
yang memuat (0, 0) bukan merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x +
5y ≥ 40.

16. 4
16
Sehingga daerah penyelesaian dari SPLDV tersebut dapat digambarkan seperti
di bawah ini.
Demikian penjelasan tentang Pertidaksamaan dan Sistem prtidaksamaan linear
dua variabel. Berikutnya akan dibahas tentang progam linear di segmen
berikutnya.
Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjadi pernyataan
yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.
Suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan ke dalam pertidaksamaan yang
ekuivalen dengan cara sebagai berikut.
a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama tanpa
mengubah tanda ketidaksamaan.
b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif yang sama
tanpa mengubah tanda ketidaksamaan.
c. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama,
tetapi tanda ketidaksamaan berubah, dimana > menjadi < , < menjadi >, ≤
menjadi ≥, ≥ menjadi ≤
.
LATIHAN

17. 4
17
Tentukan nilai x dari :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
LATIHAN
Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut (gambarkan!) contoh
di buku halaman 20
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

18. 4
18
Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan
persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda
ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan
pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel .
Pertidaksamaan mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.
Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan
nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.
Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.

19. 4
19
Jawaban
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.
-9 < x+7 < 9
-9 - 7 < x < 9 - 7
-16 < x < 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2}
2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.
(*) 2x - 1 >= 7
2x >= 7 + 1
2x >= 8
x >= 4
(**) 2x - 1 <= -7
2x <= -7 + 1
2x <= -6
x <= -3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}
3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya
dengan mengkuadratkan kedua ruas.
perhatikan proses berikut ini.
(x + 3)2 <= (2x – 3)2
(x + 3)2 - (2x – 3)2 <= 0
(x + 3 + 2x – 3) - (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a2 – b2 = (a+b)(a-b))
x (6 - x) <=0
Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6

20. 4
20
Mari selidiki menggunakan garis bilangan
Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
Mari selidiki menggunakan garis bilangan
Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.
4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah
menggunakan cara menjabarkan definisi.
Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya.
Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.
Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai
penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.

21. 4
21
Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian
daerah penyelesaian.
1. Untuk batasan x >= -1/3 ......(1)
(3x + 1) - (2x + 4) < 10
3x + 1 - 2x- 4 < 10
x- 3 < 10
x < 13 .......(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13
2. Untuk batasan -2<= x < -1/3 ......(1)
-(3x + 1) - (2x + 4) < 10
-3x - 1 - 2x - 4 < 10
-5x - 5 < 10
-5x < 15
-x < 3
x > 3 .......(2)
Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada
penyelesaian.
3. Untuk batasan x < -2 ......(1)
-(3x + 1) + (2x + 4) < 10
-3x - 1 + 2x + 4 < 10
-x + 3 < 10
-x < 7
x > -7 .......(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.

22. 4
22
Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.

23. 4
23

24. 4
24

25. 4
25

26. 4
26

27. 4
27

28. 4
28

29. 4
29

30. 4
30