Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang konsep dasar vektor, termasuk definisi vektor skalar dan vektor, notasi vektor, vektor yang sama dan berlawanan, operasi vektor seperti penjumlahan dan pengurangan vektor, serta contoh-contoh penerapannya.

1. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 1
VEKTOR
Oleh Ana Sugiyarti, S.Si, S.Pd
1. Pengertian Vektor
Besaran skalar atau disebut skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai besar
saja, tetapi tidak mempunyai arah, seperti : panjang, waktu, massa, suhu.
Besaran vektor atau disebut vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan
arah, seperti: kecepatan, percepatan, gaya, momentum, dan medan magnet.
2. Penulisan dan Notasi Vektor
Secara geometris, vektor adalah ruas garis berarah.
Notasi sebuah vektor dapat dinyatakan dengan dua huruf misal . Huruf pertama𝐴𝐵
menyatakan titik awal dan huruf kedua merupakan titik akhir.
Vektor juga dapat dinotasikan dengan satu huruf misal atau 𝑎.𝑎
Titik O : titik pangkal
Titik A : titik ujung
Panjang dari ruas garis merupakan panjang vektor.
Panjang vektor ditulis sebagai sedangkan panjang vektor ditulis sebagai𝑎 | 𝑎| 𝐴𝐵 | 𝐴𝐵|
3. Vektor Yang Sama Dan Berlawanan
Kesamaan Dua Vektor
Misalkan diketahui vektor dan vektor . Vektor dikatakan sama dengan vektor𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
(ditulis ), jika dan hanya jika :𝑎 = 𝑏
a. Panjang vektor sama dengan panjang vektor , dan𝑎 𝑏
b. Arah vektor sama dengan arah vektor .𝑎 𝑏
dan AB // CD𝐴𝐵 = 𝐶𝐷⟺𝐴𝐵 = 𝐶𝐷

2. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 2
Lawan Suatu Vektor
Vektor mempunyai panjang sama dengan vektor tetapi arah vektor berlawanan𝑎 𝑏 𝑎
arah vektor , maka dikatakan bahwa vektor lawan dari vektor dan sebaliknya.𝑏 𝑎 𝑏
karena panjang sama tetapi arah𝐴𝐵 ≠ 𝐸𝐹
berbeda.
lawan dari , sehingga𝐴𝐵 𝐸𝐹 𝐴𝐵 =‒ 𝐸𝐹
Jika titik ujung dan pangkalnya berlawanan berarti .𝐴𝐵 =‒ 𝐵𝐴
4. Vektor Nol dan Vektor Satuan
Vektor Nol
Sebuah vektor yang titik pangkal dan titik ujungnya sama (berhimpit) disebut vektor
nol, seperti : , .𝐴𝐴 = 𝑂 𝐵𝐵 = 𝑂
Vektor nol mempunyai panjang nol dan arah tak tentu.
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah sebuah vektor yang panjangnya satu dan dinotasikan sebagai 𝑒.
Hal ini berarti .|𝑒| = 1
Vektor satuan dari vektor dinyatakan oleh𝑎
𝒆 𝒂 =
𝟏
| 𝒂|
∙ 𝒂
5. Jumlah, Selisih dan Hasil Kali Vektor dengan Skalar
5.1 Penjumlahan Dua Vektor
Penjumlahan dua buah vektor dan , dapat kita gunakan dua metode sebagai berikut :𝑎 𝑏
 Metode Segitiga
Vektor resultan yaitu , diperoleh dengan𝑎 + 𝑏
menempatkan titik pangkal salah satu vektor
(misalkan ) pada ujung vektor lainnya. Resultan𝑏
dari dengan metode segitiga merupakan𝑎 + 𝑏
vektor yang bertitik pangkal di titik pangkal dan𝑎
bertitik ujung di titik ujung .𝑏
Apabila dan , maka diperoleh :𝐴𝐵 = 𝑎 𝐵𝐶 = 𝑏
𝐴𝑩 + 𝑩𝐶 = 𝐴𝐶

3. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 3
 Metode Jajargenjang
Resultan diperoleh dari diagonal jajargenjang𝑎 + 𝑏
yang dibentuk oleh dan setelah titik pangkal𝑎 𝑏 𝑎
dan ditempatkan berhimpit.𝑏
5.2 Pengurangan Dua Vektor
Misalkan diketahui vektor dan vektor .𝑎 𝑏
Pengurangan atau selisih vektor dengan𝑎
vektor ditentukan sebagai penjumlahan𝑏
vektor dengan lawan dari vektor .𝑎 𝑏
𝒂 ‒ 𝒃 = 𝒂 + ( ‒ 𝒃)
5.3 Hasil Kali Vektor Dengan Skalar
Misalkan 𝑚 adalah suatu skalar (bilangan real) dan adalah suatu vektor. Hasil kali𝑎
skalar 𝑚 dengan vektor , ditulis sebagai , ditentukan sebagai berikut :𝑎 𝑐 = 𝑚𝑎
 Jika nilai , maka vektor searah dengan vektor𝑚 > 0 𝑐 𝑎
 Jika nilai , maka vektor berlawanan arah dengan vektor𝑚 < 0 𝑐 𝑎
Contoh
Contoh 1
Diberikan jajargenjang ABCD berpusat di O dengan dan . Tuliskan dalam𝐴𝐵 = 𝑎 𝐴𝐷 = 𝑏
bentuk dan untuk setiap vektor:𝑎 𝑏
a. d.𝐵𝐶 𝐵𝐷
b. e.𝐶𝐷 𝐴𝑂

4. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 4
c. 𝐴𝐶
Penyelesaian
Berdasarkan gambar diperoleh:
a. Karena // dan , maka𝐴𝐷 𝐵𝐶 | 𝐴𝐷| = | 𝐵𝐶| 𝐵𝐶 = 𝑏
b. Karena // dan , tetapi arahnya berlawanan maka𝐴𝐵 𝐶𝐷 | 𝐴𝐵| = | 𝐶𝐷| 𝐶𝐷 =‒ 𝑎
c. Perhatikan ∆ABC
𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶
∴ 𝐴𝐶 = 𝑎 + 𝑏
d. Perhatikan ∆ABD
𝐵𝐷 = 𝐵𝐴 + 𝐴𝐷
∴ 𝐵𝐷 = ( ‒ 𝑎) + 𝑏 = 𝑏 ‒ 𝑎
e. 𝐴𝑂 =
1
2
𝐴𝐶 =
1
2
( 𝑎 + 𝑏)
6. Vektor Posisi
Vektor posisi dari titik A terhadap pusat O ditulis 𝑂𝐴
atau .𝑎
Sembarang vektor dapat dituliskan dalam𝐴𝐵
vektor posisi dan sebagai berikut :𝑎 𝑏
𝐴𝐵 = 𝑏 ‒ 𝑎
Contoh 2
Diberikan dan . Nyatakan dalam vektor dan setiap operasi𝑝 = 2𝑎 ‒ 3𝑏 𝑞 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 𝑏
vektor berikut:
a. 𝑝 + 3𝑞
b. 𝑝 ‒ 3𝑞 ‒ 2(2𝑝 ‒ 𝑞)
Penyelesaian

5. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 5
a. 𝑝 + 3𝑞 = 2𝑎 ‒ 3𝑏 + 3( 𝑎 + 𝑏)
= 2𝑎 ‒ 3𝑏 + 3𝑎 + 3𝑏
= 5𝑎
b. 𝑝 ‒ 3𝑞 ‒ 2(2𝑝 ‒ 𝑞) = 𝑝 ‒ 3𝑞 ‒ 4𝑝 + 2𝑞
=‒ 3𝑝 ‒ 𝑞
=‒ 3(2𝑎 ‒ 3𝑏) ‒ ( 𝑎 + 𝑏)
=‒ 6𝑎 + 9𝑏 ‒ 𝑎 ‒ 𝑏
=‒ 7𝑎 + 8𝑏
Contoh 3
Diberikan vektor posisi dari titik P, Q, dan R terhadap titik O:
, , dan .𝑝 = 9𝑎 ‒ 4𝑏 𝑞 =‒ 3𝑎 ‒ 𝑏 𝑟 = 5𝑎 ‒ 3𝑏
Nyatakan setiap vektor di bawah ini dalam dan .𝑎 𝑏
(i) 𝑃𝑄
(ii) 𝑄𝑅
Penyelesaian
(i) 𝑃𝑄 = 𝑞 ‒ 𝑝
=‒ 3𝑎 ‒ 𝑏 ‒ (9𝑎 ‒ 4𝑏)
=‒ 3𝑎 ‒ 𝑏 ‒ 9𝑎 + 4𝑏
=‒ 12𝑎 + 3𝑏
(ii) 𝑄𝑅 = 𝑟 ‒ 𝑞
= 5𝑎 ‒ 3𝑏 ‒ ( ‒ 3𝑎 ‒ 𝑏)
= 5𝑎 ‒ 3𝑏 + 3𝑎 + 𝑏
= 8𝑎 ‒ 2𝑏
7. Aljabar Vektor
7.1 Vektor di bidang (R2) dan Ruang (R3)
Vektor di artinya vektor yang berada di bidang datar atau hanya mempunyai dua𝑅2
komponen, yakni komponen 𝑥 dan komponen 𝑦.
Penulisan vektor
 Vektor baris
𝑎 = (𝑥,𝑦)
 Vektor kolom
𝑎 = (𝑥
𝑦)
 Vektor basis
𝑎 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗
Vektor di artinya vektor yang berada di ruang atau vektor yang mempunyai tiga𝑅3
komponen, yakni komponen 𝑥, 𝑦 dan 𝑧.

6. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 6
Penulisan vektor
 Vektor baris
𝑎 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
 Vektor kolom
𝑎 = (
𝑥
𝑦
𝑧)
 Vektor basis
𝑎 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘
7.2 Panjang Sebuah Vektor
Misalkan adalah vektor di bidang yang dinyatakan𝑎
dalam bentuk vektor kolom .𝑎 = (𝑥
𝑦)
Panjang vektor ditentukan oleh :| 𝑎|
| 𝑎| = 𝑥2
+ 𝑦2
Vektor dengan titik pangkal di A dan titik ujung di B .( 𝑥 𝐴,𝑦 𝐴) ( 𝑥 𝐵,𝑦 𝐵)
𝐴𝐵 = 𝑏 ‒ 𝑎
= (𝑥 𝐵
𝑦 𝐵)‒ (𝑥 𝐴
𝑦 𝐴)
= (𝑥 𝐵 ‒ 𝑥 𝐴
𝑦 𝐵 ‒ 𝑦 𝐴)
Jadi, 𝐴𝐵 = (𝑥 𝐵 ‒ 𝑥 𝐴
𝑦 𝐵 ‒ 𝑦 𝐴)
Panjang vektor ditentukan oleh :| 𝐴𝐵|
| 𝐴𝐵| = ( 𝑥 𝐵 ‒ 𝑥 𝐴)2
+ ( 𝑦 𝐵 ‒ 𝑦 𝐴)2
Misalkan adalah vektor di ruang yang dinyatakan dalam bentuk vektor kolom .𝑎 𝑎 = (
𝑥
𝑦
𝑧)

7. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 7
Panjang vektor ditentukan oleh :| 𝑎|
| 𝑎| = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
Vektor dengan titik pangkal di A dan titik ujung di B .( 𝑥 𝐴,𝑦 𝐴,𝑧 𝐴) ( 𝑥 𝐵,𝑦 𝐵,𝑧 𝐵)
𝐴𝐵 = 𝑏 ‒ 𝑎 =
(
𝑥 𝐵
𝑦 𝐵
𝑧 𝐵
)‒
(
𝑥 𝐵
𝑦 𝐵
𝑧 𝐵
)=
(
𝑥 𝐵 ‒ 𝑥 𝐴
𝑦 𝐵 ‒ 𝑦 𝐴
𝑧 𝐵 ‒ 𝑧 𝐴
)
Jadi, 𝐴𝐵 =
(
𝑥 𝐵 ‒ 𝑥 𝐴
𝑦 𝐵 ‒ 𝑦 𝐴
𝑧 𝐵 ‒ 𝑧 𝐴
)
Panjang vektor ditentukan oleh :| 𝐴𝐵|
| 𝐴𝐵| = ( 𝑥 𝐵 ‒ 𝑥 𝐴)2
+ ( 𝑦 𝐵 ‒ 𝑦 𝐴)2
+ ( 𝑧 𝐵 ‒ 𝑧 𝐴)2
Contoh 4
Tentukan panjang vektor berikut :
a. 𝑎 = (3
4)
b. 𝑏 = (
1
‒ 2
3 )
Penyelesaian
a. | 𝑎| = 32
+ 42
= 25 = 5
b. | 𝑏| = 12
+ ( ‒ 2)2
+ 32
= 1 + 4 + 9 = 14
7.3 Kesamaan Dua Vektor
Misalkan diketahui vektor dan . Vektor sama dengan vektor , jika𝑎 = (𝑎1
𝑎2) 𝑏 = (𝑏1
𝑏2) 𝑎 𝑏
dan hanya jika dan .𝑎1 = 𝑏1 𝑎2 = 𝑏2
Misalkan diketahui vektor dan . Vektor sama dengan vektor , jika𝑎 =
(
𝑎1
𝑎2
𝑎3
) 𝑏 =
(
𝑏1
𝑏2
𝑏3
) 𝑎 𝑏
dan hanya jika , dan .𝑎1 = 𝑏1 𝑎2 = 𝑏2 𝑎3 = 𝑏3
Contoh 5

8. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 8
Koordinat-koordinat P(1, 2), Q(7, 3) dan R(4, 7). Carilah koordinat titik S apabila PQRS
sebuah jajar genjang.
Penyelesaian
Misalkan koordinat titik S(𝑥, 𝑦).
Karena PQRS sebuah jajar genjang, maka .𝑃𝑄 = 𝑆𝑅
𝑃𝑄 = 𝑆𝑅
𝑂𝑄 ‒ 𝑂𝑃 = 𝑂𝑅 ‒ 𝑂𝑆
(7
3)‒ (1
2)= (4
7)‒ (𝑥
𝑦)
(6
1)= (4 ‒ 𝑥
7 ‒ 𝑦)
dan6 = 4 ‒ 𝑥 1 = 7 ‒ 𝑦
dan𝑥 =‒ 2 𝑦 = 6
Jadi, koordinat titik S(⎯2, 6)
7.4 Kesejajaran Dua Vektor
Dua buah vektor yang tidak nol dikatakan sejajar jika dan hanya jika vektor yang satu
merupakan perkalian skalar dari vektor lainnya. Atau jika dan sejajar, maka𝑎 𝑏
terdapat skalar 𝑘 sehingga .𝑎 = 𝑘𝑏
Jika dan sejajar tetapi berlawanan arah, maka .𝑎 𝑏 𝑎 =‒ 𝑘𝑏
Contoh 6
Tentukan nilai 𝑚 dan 𝑛 sehingga sejajar dengan𝑎 = (
2
‒ 1
𝑚 ) 𝑏 = (
𝑛
2
‒ 3)
Penyelesaian
Agar dan sejajar, maka .𝑎 𝑏 𝑎 = 𝑘𝑏
(
2
‒ 1
𝑚 )= 𝑘(
𝑛
2
‒ 3)
(
2
‒ 1
𝑚 )= (
𝑘𝑛
2𝑘
‒ 3𝑘)
Sehingga 2𝑘 =‒ 1 ⟹𝑘 =‒
1
2
𝑘𝑛 = 2⟹ ‒
1
2
𝑛 = 2⟹𝑛 =‒ 4
𝑚 =‒ 3𝑘 =‒ 3(‒
1
2)=
3
2
Contoh 7
Diketahui . Tentukan vektor yang panjangnya 4 satuan dan sejajar dengan .𝑎 = 3𝑖 ‒ 4𝑗 𝑎
Penyelesaian

9. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 9
Panjang adalah𝑎 | 𝑎| = 32
+ ( ‒ 4)2
= 5
Vektor satuan dari adalah .𝑎 𝑎 =
1
| 𝑎|
∙ 𝑎 =
1
5
(3𝑖 ‒ 4𝑗)
Vektor yang panjangnya 4 satuan dan sejajar dengan adalah𝑎
4
5
(3𝑖 ‒ 4𝑗)
7.5 Titik-titik Segaris (Kolinear)
Tiga buah titik atau lebih dikatakan segaris (kolinear) jika titik-titik tersebut berada
pada satu garis lurus.
Titik A, B, dan C segaris (kolinear) jika , untuk suatu skalar 𝑘.𝐴𝐵 = 𝑘𝐵𝐶
Contoh 8
Tentukan 𝑥 dan 𝑦 agar vektor dan terletak pada satu garis lurus.(
2
1
4) (
4
𝑥
𝑦)
Penyelesaian
Segaris ⟺ (
4
𝑥
𝑦)= 𝑘(
2
1
4)
(
4
𝑥
𝑦)= (
2𝑘
𝑘
4𝑘)
 2𝑘 = 4 →𝑘 = 2
 𝑥 = 𝑘 →𝑥 = 2
 𝑦 = 4𝑘 →𝑦 = 8
Jadi, nilai 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 8.
7.6 Vektor Satuan
Vektor satuan dari vektor dinyatakan oleha
𝒆 𝒂 =
𝟏
| 𝒂|
∙ 𝒂
Contoh 9
Tentukan vektor satuan dari .𝑢 = (
12
3
4 )
Penyelesaian
| 𝑢| = 122
+ 32
+ 42
= 144 + 9 + 16 = 169 = 13

10. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 10
𝑢 =
1
| 𝑢|
∙ 𝑢 =
1
13(
12
3
4 )=
(
12
13
3
13
4
13
)
8. Operasi Vektor
8.1 Penjumlahan Dua Vektor
 Di Bidang
Misalkan diketahui vektor dan𝑎 = (𝑎1
𝑎2) 𝑏 = (𝑏1
𝑏2)
𝑎 + 𝑏 = (𝑎1
𝑎2)+ (𝑏1
𝑏2)= (𝑎1 + 𝑏1
𝑎2 + 𝑏2)
 Di Ruang
Misalkan diketahui vektor dan .𝑎 =
(
𝑎1
𝑎2
𝑎3
) 𝑏 =
(
𝑏1
𝑏2
𝑏3
)
𝑎 + 𝑏 =
(
𝑎1
𝑎2
𝑎3
)+
(
𝑏1
𝑏2
𝑏3
)=
(
𝑎1 + 𝑏1
𝑎2 + 𝑏2
𝑎3 + 𝑏3
)
8.2 Pengurangan Dua Vektor
 Di Bidang
Misalkan diketahui vektor dan𝑎 = (𝑎1
𝑎2) 𝑏 = (𝑏1
𝑏2)
𝑎 ‒ 𝑏 = (𝑎1
𝑎2)‒ (𝑏1
𝑏2)= (𝑎1 ‒ 𝑏1
𝑎2 ‒ 𝑏2)
 Di Ruang
Misalkan diketahui vektor dan .𝑎 =
(
𝑎1
𝑎2
𝑎3
) 𝑏 =
(
𝑏1
𝑏2
𝑏3
)
𝑎 ‒ 𝑏 =
(
𝑎1
𝑎2
𝑎3
)‒
(
𝑏1
𝑏2
𝑏3
)=
(
𝑎1 ‒ 𝑏1
𝑎2 ‒ 𝑏2
𝑎3 ‒ 𝑏3
)
8.3 Hasil Kali Skalar dengan Vektor
 Di Bidang
Jika 𝑘 suatu bilangan real tak nol (skalar) dan vektor , maka𝑎 = (𝑎1
𝑎2)

11. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 11
𝑘𝑎 = 𝑘(𝑎1
𝑎2)= (𝑘𝑎1
𝑘𝑎2)
 Di Ruang
Jika 𝑘 suatu bilangan real tak nol (skalar) dan vektor , maka𝑎 =
(
𝑎1
𝑎2
𝑎3
)
𝑘𝑎 = 𝑘
(
𝑎1
𝑎2
𝑎3
)=
(
𝑘𝑎1
𝑘𝑎2
𝑘𝑎3
)
Contoh 10
Jika , , dan . Tentukan :𝑎 = 5𝑖 + 4𝑗 𝑏 = 2𝑖 ‒ 𝑗 𝑐 = 4𝑖 + 7𝑗
a. 𝑎 + 𝑏
b. 3𝑏 + 2𝑐
c. 2𝑎 ‒ 𝑐
Penyelesaian
a. 𝑎 + 𝑏 = (5
4)+ ( 2
‒ 1)= (7
3)= 7𝑖 + 3𝑗
b. 3𝑏 + 2𝑐 = 3( 2
‒ 1)+ 2(4
7)= ( 6
‒ 3)+ (8
14)= (14
11)= 14𝑖 + 11𝑗
c. 2𝑎 ‒ 𝑐 = 2(5
4)‒ (4
7)= (10
8 )‒ (4
7)= (6
1)= 6𝑖 + 1𝑗
9. Perbandingan
9.1 Pembagian Ruas Garis
Suatu titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan 𝑚 : 𝑛, sehingga AP : PB = 𝑚 :
𝑛. Bila P di dalam AB, maka dan mempunyai arah yang sama sehingga 𝑚 dan 𝑛AP PB
mempunyai tanda yang sama. Bila P di luar AB, maka dan mempunyai arah yangAP PB
berlawanan sehingga 𝑚 dan 𝑛 mempunyai tanda yang berlawanan.
9.2 Pembagian dan Bentuk Vektor
Misalkan vektor-vektor posisi titik A dan titik B
berturut-turut adalah dan . Titik C terletak pada𝑎 𝑏
ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = 𝑚 : 𝑛,
maka vektor posisi C adalah
ditentukan dengan rumus:𝑐
𝒄 =
𝒎𝒃 + 𝒏𝒂
𝒎 + 𝒏

12. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 12
Contoh 11
Diketahui dan adalah vektor posisi dari titik A dan B. Jika P membagi ruas garis AB𝑎 𝑏
dengan , nyatakan vektor posisi titik P dalam dan .𝐴𝑃:𝑃𝐵 = 2:1 𝑎 𝑏
Penyelesaian
𝑝 =
2𝑏 + 𝑎
2 + 1
=
2
3
𝑏 +
1
3
𝑎
Contoh 12
Diketahui koordinat A(4, 3) dan B(⎯6, 8). Jika titik P membagi ruas garis dengan𝐴𝐵 𝐴𝑃 :
, maka tentukan koordinat titik P.𝑃𝐵 = 9 : ‒ 4
Penyelesaian
, maka𝐴𝑃 :𝑃𝐵 = 9 : ‒ 4
𝑝 =
9𝑏 ‒ 4𝑎
9 ‒ 4
=
9(‒ 6
8 )‒ 4(4
3)
5
=
(‒ 70
60 )
5
= (‒ 14
12 )
Jadi, koordinat titik P adalah (⎯14, 12).
9.3 Pembagian Koordinat Titik-Titik
Misalkan titik A dan titik B . Titik( 𝑥1,𝑦1) ( 𝑥1,𝑦1)
C membagi ruas garis AB dengan(𝑥, 𝑦)
perbandingan 𝑚 : 𝑛, maka koordinat titik C
ditentukan dengan rumus:(𝑥, 𝑦)
𝒙 =
𝒎𝒙 𝟐 + 𝒏𝒙 𝟏
𝒎 + 𝒏
𝐝𝐚𝐧 𝒚 =
𝒎𝒚 𝟐 + 𝒏𝒚 𝟏
𝒎 + 𝒏
Contoh 13
adalah suatu titik pada AB. Tentukanlah koordinat P bila A(3, 2), B(9, 5) dan𝑃( 𝑥 𝑃,𝑦 𝑃)
.𝐴𝑃:𝑃𝐵 = 2:1
Penyelesaian
Diketahui koordinat A(3, 2) dan koordinat B(9, 5) serta 𝐴𝑃:𝑃𝐵 = 2:1

13. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 13
𝑥 𝑃 =
2𝑥 𝐵 + 𝑥 𝐴
2 + 1
=
2(9) + 3
3
= 7
𝑦 𝑃 =
2𝑦 𝐵 + 𝑦 𝐴
2 + 1
=
2(5) + 2
3
= 4
Jadi, koordinat P adalah (7, 4).
10. Perkalian Skalar Vektor (Dot Product)
Hasil kali skalar dari vektor dan vektor𝑎 𝑏
adalah bilangan real yang ditentukan dengan
rumus:
𝑎 ∙ 𝑏 = | 𝑎|| 𝑏|cos 𝜃
dengan θ adalah sudut yang dibentuk kedua
vektor.
Contoh 14
Panjang vektor adalah 6 satuan, panjang vektor adalah 8 satuan, dan susut yang𝑎 𝑏
dibentuk kedua vektor sebesar 30°. Hitunglah .𝑎 ∙ 𝑏
Penyelesaian
𝑎 ∙ 𝑏 = | 𝑎|| 𝑏|cos 𝜃
= 6 ∙ 8 ∙ cos 30°
= 6 ∙ 8 ∙
1
2
3
= 24 3
Misal diketahui vektor dan .𝑎 = (𝑥1
𝑦2) 𝑏 = (𝑥1
𝑦2)
Hasil kali skalar vektor dan vektor𝑎 𝑏
ditentukan dengan rumus :
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2
Contoh 15
Diketahui dan . Hitunglah .𝑎 = (
3
‒ 2
1 ) 𝑏 = (
2
3
4) 𝑏 ∙ 𝑎
Penyelesaian
𝑏 ∙ 𝑎 = (
2
3
4)∙ (
3
‒ 2
1 )= 6 + ( ‒ 6) + 4 = 4

14. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 14
Sudut antara vektor dan vektor , misalkan θ ditentukan oleh ;𝑎 𝑏
cos 𝜃 =
𝑎 ∙ 𝑏
| 𝑎|| 𝑏|
Contoh 16
Diketahui dan . Hitunglah besar sudut antara dan .𝑎 = 2𝑖 ‒ 2𝑗 + 𝑘 𝑏 = 2𝑖 + 3𝑗 + 6𝑘 𝑎 𝑏
Penyelesaian
| 𝑎| = 22
+ ( ‒ 2)2
+ 12
= 3
| 𝑏| = 22
+ 32
+ 62
= 7
𝑎 ∙ 𝑏 = 2 ∙ 2 + ( ‒ 2) ∙ 3 + 1 ∙ 6 = 4
cos 𝜃 =
𝑎 ∙ 𝑏
| 𝑎|| 𝑏|
=
4
3 ∙ 7
=
4
21
𝜃 = cos ‒ 1
(4
21)= 79°
11. Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain
Proyeksi ortogonal vektor pada vektor𝑎 𝑏
berarti proyeksi vektor searah dengan𝑎 𝑏
sebagai landasan proyeksinya. Hasil
proyeksinya terletak pada vektor ,𝑏
misalkan .𝑐
 Proyeksi skalar ortogonal pada𝑎 𝑏
| 𝑐| =
𝑎 ∙ 𝑏
| 𝑏|
 Proyeksi vektor ortogonal pada𝑎 𝑏
𝑐 =
{𝑎 ∙ 𝑏
| 𝑏|2}∙ 𝑏
Contoh 17
Diketahui dan . Tentukan :𝑎 = 2𝑖 ‒ 6𝑗 ‒ 3𝑘 𝑏 = 4𝑖 + 2𝑗 ‒ 4𝑘
a. Proyeksi skalar ortogonal pada𝑎 𝑏
b. Proyeksi skalar ortogonal pada𝑏 𝑎
c. Proyeksi vektor pada𝑎 𝑏
Penyelesaian
| 𝑎| = 22
+ ( ‒ 6)2
+ ( ‒ 3)2
= 7

15. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 15
| 𝑏| = 42
+ 22
+ ( ‒ 4)2
= 6
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 = 2 ∙ 4 + ( ‒ 6) ∙ 2 + ( ‒ 3) ∙ ( ‒ 4) = 8
a. Proyeksi skalar ortogonal pada𝑎 𝑏
𝑎 ∙ 𝑏
| 𝑏|
=
8
6
=
4
3
b. Proyeksi skalar ortogonal pada𝑏 𝑎
𝑎 ∙ 𝑏
| 𝑎|
=
8
7
c. Proyeksi vektor pada𝑎 𝑏
{𝑎 ∙ 𝑏
| 𝑏|2}∙ 𝑏 =
8
62
(4𝑖 + 2𝑗 ‒ 4𝑘) =
2
9
(4𝑖 + 2𝑗 ‒ 4𝑘) =
8
9
𝑖 +
4
9
𝑗 ‒
8
9
𝑘

16. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 16
Soal-Soal Vektor
1. UN 2015
Diketahui vektor-vektor , , dan .𝑎 = 3𝑖 ‒ 2𝑗 + 4𝑘 𝑏 = 4𝑖 + 3𝑗 + 5𝑘 𝑐 = 2𝑖 + 𝑥𝑗 ‒ 4𝑘
Jika vektor tegak lurus terhadap vektor , hasil𝑎 𝑐 2𝑎 + 𝑏 ‒ 𝑐 = …
A. 8𝑖 ‒ 9𝑗 + 9𝑘
B. 8𝑖 ‒ 6𝑗 + 9𝑘
C. 8𝑖 ‒ 7𝑗 + 17𝑘
D. 12𝑖 + 4𝑗 + 17𝑘
E. 8𝑖 + 4𝑗 + 17𝑘
Penyelesaian
𝑎 ⊥ 𝑐⟹𝑎 ∙ 𝑐 = 0
3 ∙ 2 + ( ‒ 2) ∙ 𝑥 + 4 ∙ ( ‒ 4) = 0
6 ‒ 2𝑥 ‒ 16 = 0
𝑥 =‒ 5
2𝑎 + 𝑏 ‒ 𝑐 = 2(3, ‒ 2, 4) + (4, 3, 5) ‒ (2, ‒ 5, ‒ 4) = (8, 4, 17)
2. UN 2015
Diketahui vektor dan dengan , , dan . Jika θ adalah sudut𝑎 𝑏 | 𝑎| = 3 | 𝑏| = 4 | 𝑎 + 𝑏| = 5
antara vektor dan , nilai adalah ...𝑎 𝑏 sin 2𝜃
A. 1
B.
4
5
C.
3
5
D.
1
2
E. 0
Penyelesaian
| 𝑎 + 𝑏|2
= | 𝑎|2
+ | 𝑏|2
+ 2| 𝑎|| 𝑏|cos 𝜃
⟺ 52
= 32
+ 42
+ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ cos 𝜃
⟺cos 𝜃 = 0
⟺ 𝜃 = 90°
∴ sin 2𝜃 = sin 180° = 0
3. UN 2015
Diketahui vektor dan . Jika panjang proyeksi vektor𝑎 = 3𝑖 ‒ 𝑝𝑗 ‒ 3𝑘 𝑏 = 2𝑖 + 2𝑗 ‒ 4𝑘
pada adalah , nilai 𝑝 adalah ...𝑎 𝑏 2 6
A. –18
B. –3
C. 3
D. 6
E. 18

17. Matematika Peminatan SMA : Vektor Page 17
Penyelesaian
| 𝑎| = 32
+ 𝑝2
+ ( ‒ 3)2
= 18 + 𝑝2
| 𝑏| = 22
+ 22
+ ( ‒ 4)2
= 24 = 2 6
𝑎 ∙ 𝑏 = 3 ∙ 2 + 𝑝 ∙ 2 + ( ‒ 3) ∙ ( ‒ 4) = 18 + 2𝑝
Panjang proyeksi vektor pada adalah𝑎 𝑏
𝑎 ∙ 𝑏
| 𝑏|
= 2 6
⟺
18 + 2𝑝
2 6
= 2 6
⟺18 + 2𝑝 = 24
⟺ 𝑝 = 3
4. Matematika IPA SBMPTN 2017 Kode 119
Diketahui vektor , , dan . Jika , maka kosinus𝑎 = (4, 6) 𝑏 = (3, 4) 𝑐 = (𝑝,0) | 𝑐 ‒ 𝑎| = 10
sudut antara dan adalah ...𝑏 𝑐
A.
2
5
B.
1
2
C.
3
5
D.
2
3
E.
3
4
Penyelesaian
𝑐 ‒ 𝑎 = (𝑝,0) ‒ (4, 6) = (𝑝 ‒ 4, ‒ 6)
| 𝑐 ‒ 𝑎| = (𝑝 ‒ 4)2
+ ( ‒ 6)2
= 10
(𝑝 ‒ 4)2
+ 36 = 100
(𝑝 ‒ 4)2
‒ 64 = 0
(𝑝 ‒ 4 + 8)(𝑝 ‒ 4 ‒ 8) = 0
(𝑝 + 4)(𝑝 ‒ 12) = 0
𝑝 =‒ 4 ∨ 𝑝 = 12
Misal 𝑝 = 12
cos ∠( 𝑏,𝑐) =
𝑏 ∙ 𝑐
| 𝑏|| 𝑐|
=
3 ∙ (12) + 4 ∙ 0
32
+ 42
(12)2
+ 02
=
36
5 ∙ 12
=
3
5