Downloaded 1,199 times
Ppt persamaan kuadrat
- 1. Nama: FAJAR MFTAKHURROHMAN 3J /13310287
- 4. 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat Persamaankuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan: a) memfaktorkan, b) melengkapkan kuadrat sempurna, c) menggunakan rumus.
- 6. ax2 + bx+ c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x1) (x – x2) = 0. Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat. Contoh 1 : Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0 Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0 (x – 3) (x – 1) = 0 x – 3 = 0 atau x – 1 = 0 x = 3 atau x = 1 Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
- 8. c) Menggunakan rumusabc Selain menggunakan cara pemfaktoran, untuk menentukanakar-akarpersamaan kuadrat 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. Rumus kuadrat dapat diturunkan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 • Kedua ruas ditambah –c, maka menjadi: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐
- 9. Kedua ruas dibagidengan a dimana a 𝑎𝑥2 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑎 = −𝑐 𝑎 ↔ 𝑥2 + 𝑏𝑥 𝑎 = −𝑐 𝑎 Lengkapkan kuadrat pada ruas kiri, dengan cara menambah 𝑏 2𝑎 2 pada kedua ruas, maka di peroleh : 𝑥2 + 𝑏𝑥 𝑎 + 𝑏 2𝑎 2 = −𝑐 𝑎 + 𝑏 2𝑎 2 Nyatakan ruas kiri dalam bentuk kuadrat sempurna yaitu : 𝑥 + 𝑏 2𝑎 2 = − 𝑐 𝑎 + 𝑏2 4𝑎2 𝑥 + 𝑏 2𝑎 2 = − 4𝑎𝑐 4𝑎2 + 𝑏2 4𝑎2 𝑥 + 𝑏 2𝑎 2 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 𝑥 + 𝑏 2𝑎 = ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = − 𝑏 2𝑎 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Jadi rumus akar-akar persamaan kuadrat ax2+ bx+ c =0 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎
- 10. Contoh soal: Tentukan akar-akarpersamaan kuadrat dengan cara menggunakan rumus kuadrat 6𝑥2 – 5x + 1 = 0 Jawab : a=6 , b=-5, c=1 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥1,2 = −(−5) ± (−5)2−4.6.1 2.6 𝑥1,2 = 5 ± 25 − 24 12 𝑥1,2 = 5 ± 1 12 𝑥1,2 = 5 ± 1 12 Jadi : 𝑥1 = 5 + 1 12 = 6 12 = 1 2 Atau 𝑥2 = 5−1 12 = 4 12 = 1 3 Hp = 1 2 , 1 3
- 11. Penggunaan Diskriminan Dalam kegiatan1 bagian b, Anda telah mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax2 +bx + c = 0 (a) dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus abc, yaitu: 𝑥1,2 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Dari rumus itu tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh nilai 𝑏2– 4ac. Bentuk 𝑏2 – 4ac disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat a𝑥2 + bx + c= 0 dan dilambangkan dengan huruf D, sehingga D = 𝑏2 – 4ac. Pemberian nama/istilah diskriminan D = 𝑏2– 4ac , dikarenakan nilai D = 𝑏2-4ac ini yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis akar-akar persamaan kuadrat.Jadi kegunaan diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat
- 12. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat •D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, . • D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. . • D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
- 13. • Tanpa menyelesaikanpersamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat x2 + 5 x + 2 = 0 Jawab :x2 + 5 x + 2 = 0 • a = 1 , b = 5 , c = 2 D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17 Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan
- 14. Jumlah dan hasilkaliakar-akar persamaan kuadrat Persamaan kuadrat ax2+ bx+ c = 0 mempunyai akar x1dan x2 , dari rumus 𝑥1 = −𝑏+ 𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 dan 𝑥2 = −𝑏− 𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 Dapat ditentukan : a. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 + −𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥1 + 𝑥2 = −2𝑏 2𝑎 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 𝑎
- 15. b) Hasil kaliakar-akar persamaan kuadrat. 𝑥1. 𝑥2 = −𝑏 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 −𝑏 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥1. 𝑥2 = −𝑏 2 + 𝑏 𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 𝑥1. 𝑥2 = 𝑏2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐 4𝑎2 𝑥1. 𝑥2 = 4𝑎𝑐 4𝑎2 𝑥1. 𝑥2 = 𝑐 𝑎
- 16. CONTOH Akar-akar x2 –3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai x1 2 + x2 2 Jawab : 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏 𝑎 = −(−3) 1 = 3 𝑥1. 𝑥2 = 𝑐 𝑎 = 4 1 = 4 x1 2 + x2 2 = x1 2 + x2 2 + 2 x1.x2 – 2 x1.x2 = (x1 + x2)2 – 2 x1x2 = 2(3)2– 2 . 4 =9-8= 1
- 17. Menyusun Persamaan Kuadrat a)Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai (x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.
- 18. Contoh • Tentukan persamaankuadrat yang akar- akarnya 3 dan -2. Jawab: (x – x1) (x – x2) = 0 (x – 3) (x – (-2)) = 0 (x – 3) (x + 2) = 0 x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0 x2 – x – 6 = 0.
- 19. Menyusun persamaan kuadratmenggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar Dengan menggunakan x1 + x2 = −𝑏 𝑎 dan 𝑥1. 𝑥2 = 𝑐 𝑎 , maka akan diperoleh persamaan: • x2– (x1 + x2)x + x1x2 = 0.
- 20. Contoh • Susunlah persamaankuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0. Jawab: • Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2 a + b = 2(x1 + x2) = 2 a b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 . = 2 Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah: x2 – (a + b)x + ab = 0. Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 3x + 2 = 0..
- 21. Menyusun persamaan kuadratyang akar- akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain. Contoh 1: Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0. Jawab: Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + 3 = 0 adalah x1 dan x2. ® x1 + x2 = 2 , x1 x2 = 3. Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x1 + 3 dan q = x2 +3 p + q = (x1 + 3) + (x2 + 3) p q = (x1 + 3) (x2 + 3) = x1 + x2 + 6 = x1 x2 + 3(x1 + x2) + 9 = 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x2 – (p + q) + pq = 0. Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 8x + 18 = 0.
- 22. Fungsi Kuadrat Ingat ! •Fungsi atau Pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota pada himpunan B. • Apabila fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan dengan lambang f: A →B (dibaca: f memetakan A ke B).
- 23. Pengertian Fungsi f padaR yang ditentukan oleh: f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat. Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai- nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f. Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c. • Contoh 1: Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7 Ditanyakan: 1. nilai pembuat nol fungsi f 2. nilai f untuk x = 0 , x = –2
- 24. Lanjutan • Jawab: Nilai pembuatnol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0 x2 – 6 x – 7 = 0 (x – 7) (x + 1) = 0 x = 7 atau x = –1 Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1 Untuk x = 0 maka f(0) = –7 x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9
- 25. Gambar grafik fungsikuadrat Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan persamaan f(x)= ax2 +bx +c (a ≠ 0), a, b, c, R. Grafik fungsi kuadrat itu adalah sebuah parabola dengan persamaan y = ax2 + bx + c. Untuk menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum, dapat digunakan langkah-langkah sebagai berikut: (i). titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y. (ii). titik balik atau titik puncak parabola. (iii). Persamaan sumbu simetri.
- 26. Langkah-langkah Titik potong Grafikdengan Sumbu X dan Sumbu y a) Titik Potong Grafik dengan Sumbu X • Titik potong grafik dengan sumbu X diperoleh jika y= 0, sehingga ax2+bx + c = 0 merupakan kuadrat dalam x. Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu x. nilai diskriminan persamaan kuadrat ax2+bx+c= 0, yaitu D = b2- 4ac menentukan banyak titik potong grafik dengan sumbu x. 1. jika D>0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan. 2. Jika D=0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berimpit. Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu X. 3. Jika D<0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu x.
- 27. Titik Potong Grafikdengan sumbu y Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x = 0, sehingga y = 𝑎(0)2+ b(0) + c = c- Jadi, titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0,c) titik balik atau titik puncak dan Persamaan sumbu simetri cara 1 : Mencari nilai xp menggunakan 𝑥 𝑝 = −𝑏 2𝑎 Untuk mencari 𝑦𝑝, substitusikan nilai 𝑥 𝑝 = −𝑏 2𝑎 ke 𝑦 = 𝑓 𝑥 =𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
- 28. • Cara 2: menggunakan rumus untuk menentukan titik 𝑥 𝑝, 𝑦𝑝 = −𝑏 2𝑎 , 𝑏2−4𝑎𝑐 −4𝑎 atau 𝑥 𝑝, 𝑦𝑝 = −𝑏 2𝑎 , 𝐷 −4𝑎 • Cara 3 : menggunakan turunan (titik puncak = titik stationer) Pilih beberapa nilai x kemudian carilah nilai y nya dengan menstubstitusikan nilai x pada fungsi f Buat daftar nilai f dalam tabel Gambar titik-titik pada bidang koordinat
- 29. Dengan memperhatikan nilaia dan D dari suatu fungsi kuadrat y=f(x)= ax2+bx+c, ada 6 kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu X.
- 30. Contoh Gambarkan sketsa grafikfungsi kuadrat f(x) = -x2+2x-1 Jawab : • Grafik fungsi kuadrat f(x) = x2+2x – 1 adalah sebuah parabola dengan • persamaan y = x2+2x -1, berarti a= -1, b =2, dan c = -1. (i). Titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y. a). Titik potong grafik dengan sumbu x diperoleh jika y = 0. ini berarti: -x2-2x-1 = 0 (kedua ruas dikalikan -1) ⇔ x2-2x+1 = 0 (x-1)(x-1) = 0 x-1 = 0 atau x-1 = 0 x = 0+1 atau x = 0+1 x = 1 atau x = 1 Jadi, titik potongnya dengan sumbu x adalah (1,0) atau grafik menyinggung sumbu x di titik (1,0).
- 31. b). Titik potonggrafik dengan sumbu y diperoleh jika x=0. Ini berarti: y = -(0)2+2(0)-1 y = 0 + 0-1 y = -1 Jadi, titik potongnya dengan sumbu y adalah (0,-1). (ii). Koordinat titik balik. 𝑥 𝑝 = −𝑏 2𝑎 = −2 2. −1 = 1 Oleh Karena a = -1<0, maka p merupakan titik balik maksimum, sehingga parabolanya terbuka ke bawah (iii). Persamaan sumbu simetri adalahx = −𝑏 2𝑎 = −2 2.−1 = 1
- 32. Jadi sketsa grafikfungsi kuadrat f(x) = -x2+2x-1adalah
- 33. Fungsi kuadrat yanggrafiknya melalui tiga buah titik Contoh: • Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ). Jawab : Misal persamaan grafik adalah y = a x2 + b x + c Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(– 1)2 + b (–1) + c 0 = a – b + c ………………. (1) Grafik melalui titik (1 , 8) ® =a (1)2 + b (1) + c 8 = a + b + c ………………. (2) Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)2 + b (2) + c 6 = 4 a + 2 b + c …………… (3) • Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.
- 34. Fungsi kuadrat yanggrafiknya memotong sumbu-X Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0). (p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2 + b x + c sehingga 0= ap2 + bp + c dan 0= aq2 + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh: 0 = a(p2 – q2) + b(p – q) b(p – q) = –a(p2 – q2) = –a(p + q) (p – q) b = – a(p + q) Substitusikan b = – a(p + q) ke ap2 + bp + c = 0 ap2 + (– a(p + q)) p + c = 0 ap2 – ap2 – pqa + c = 0 c = pqa Untuk b = – a(p + q) dan c = pqa maka y = a x2 + b x + c Û y = ax2 – a(p + q)x + pqa = a(x2 – (p + q)x + pq) = a(x – p) (x – q) Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).
- 35. • Contoh: Tentukan fungsikuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) ! • Jawab: Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya y = a(x – (–5)) (x – 1) = a(x + 5) (x – 1) Grafik melalui titik (–3, –8), berarti –8 = a(–3+5) (–3 – 1) = –8a a = 1 Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh y = x2 + 4x – 5.
- 36. • Menentukan fungsikuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c adalah . Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat dinyatakan dengan . Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 + q • Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0). Jawab: Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)2 + 3 Grafik melalui titik (0,0) berarti: 0 = a(0 – 1) + 3 0 = a + 3 a = –3 Substitusikan a = –3 pada y = a (x – 1)2 + 3 maka diperoleh y = –3 (x – 1)2 + 3 y = –3 (x2 – 2x + 1) + 3 y = –3x2 + 6x Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x2 + 6x.
- 37. Fungsi kuadrat yanggrafiknya menyinggung sumbu-X • Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (x,0). Sehingga . Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah . Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2 • Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) ! Jawab: Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah y = a (x – 2)2 Grafik melalui titik (0,4) berarti : 4 = a(0 – 2)2 = 4a a = 1 Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)2 atau y = x2 – 4x + 4.