Lavoro sui problemi di scelta di Susanna Campreale, Mattia Palmisano e Andrea Biffignandi

2. Storia e definizione Storia : La ricerca operativa si sviluppò intorno al 1939, quando in Inghilterra si rivelò necessario risolvere il problema della difesa antiaerea degli attacchi dei bombardieri tedeschi. Contemporaneamente i militari americani, per difendersi dai sommergibili tedeschi e non essendo sufficienti le strategie belliche, si rivolsero a gruppi di scienziati progettando questo nuovo modo di operare. Successivamente, le nuove metodologie furono applicate al mondo dell’economia e dell’industria. Definizione : La ricerca operativa è l’ applicazione del metodo scientifico da parte di gruppi interdisciplinari a problemi che comportano il controllo di sistemi organizzati uomo-macchina al fine di raggiungere soluzioni che meglio servono all’ organizzazione del suo insieme.

7. Ricavo : ciò che ottiene un’azienda dalla vendita dei suoi prodotti. Può essere con concorrenza perfetta, quando il prezzo è fisso ed è indicato con la funzione R(x)= p ·x, cioè prezzo di vendita moltiplicato per la quantità di prodotto venduto, oppure con monopolio, dove il prezzo dipende dalla domanda. Guadagno (o utile o ricavo) : è la differenza fra il ricavo e il costo totale. La funzione guadagno sarà quindi : G(x)= R(x) – C(x)

8. Il grafico di una funzione obiettivo può essere una retta, una parabola, un’iperbole oppure è espressa da più funzioni. Se la funzione obiettivo è una retta (crescente), il grafico risulterà diviso in due sezioni: la parte superiore sarà la zona di guadagno o utile mentre quella inferiore la zona di perdita. (Fig.1) Volevo rappresentare la funzione costo e la funzione ricavo, noteremo che le due rette si intersecano in un punto che divide le due zone: questo è detto break- eaven point , punto di rottura o di equilibrio economico. (Fig.2) Fig.1 Fig.2

9. PROBLEMA CON FUNZIONE OBIETTIVO RETTA Per produrre una certa merce, si sostengono costi fissi di € 700 e un costo per ogni chilogrammo di merce di € 3,45. La produzione massima consentita è di 650 kg. La merce viene rivenduta a € 5,72 il chilogrammo. Determiniamo quanta merce bisogna vendere per avere il massimo guadagno. La nostra funzione ricavo è R(x)= 5,72x e la funzione costo è C(x)= 3,45x + 700 Possiamo svolgere il problema in due modi. 1°MODO. Mettendo a sistema le due funzioni otterremo il punto di intersezione P.1 { y =5,72x y = 3,45x + 700 { y = 5,72x 5,72x = 3,45x + 700 { y = 5,72x 2,27x – 700 = 0 { y = 5,75 2,27x = 700 { y = 5,75 x = 308,37 { y = 5,75 · (308,37) = 1763,88 x = 308,37 P (308,37);(1763,88)

10. Rappresentiamo graficamente le due funzioni ricavo e costo. Vediamo che per 308,37 kg i costi eguagliano i ricavi, dopodichè i ricavi sono superiori ai costi e si ha un guadagno che cresce fino al massimo consentito di produzione di 650 kg. Il guadagno massimo sarà quindi: R(650) – C(650) = 5,75 · 650 – 3,45 · 650 – 700 = 775,50.

11. 2°MODO Determiniamo la funzione guadagno G(x) = R(x) – C(x), dopodichè la rappresentiamo graficamente. y = 5,75x – (3,45x + 700) y = 2,27x - 700 Determiniamo il punto in cui incontra l’asse delle x, cioè il punto per cui la funzione vale zero, attraverso il sistema { y = 0 y = 2,27x - 700 A (308,37;0) Prima di A il guadagno è negativo, in A è zero, dopo A cresce fino al massimo consentito dalla produzione, cioè per x = 650. Il massimo guadagno è pertanto y(650) = 2,27 · 650 – 700 = 775,50. In entrambi i modi abbiamo ottenuto lo stesso risultato: il massimo guadagno è di € 775,50 per 650 kg di merce prodotta.

13. Otterremo questo grafico : CONCLUSIONI Notiamo che con la produzione di 112,7 litri di detersivo il guadagno della ditta è ancora nullo e inizia a crescere da lì in poi, raggiungendo il massimo di 150 € con la produzione di 500 litri, corrispondenti, rispettivamente, all’ordinata e all’ascissa del vertice.

14. PROBLEMA CON FUNZIONE OBIETTIVO PARABOLA (con vincoli tecnici oltre a quelli di segno) Riprendiamo ora il problema precedente introducendo un vincolo tecnico. La stessa ditta, infatti, la prima settimana può produrre al massimo 400 litri di detersivo ( Fig. 1 ) e la seconda 650 ( Fig.2 ). Fig.1 Fig.2 CONCLUSIONI Essendo il vincolo tecnico prima del vertice, il massimo guadagno si ha in corrispondenza della massima produzione settimanale consentita, cioè 400 litri, ed è di 140 €. CONCLUSIONI Il vincolo tecnico si trova dopo il vertice, pertanto il massimo guadagno sarà di 150 €, uguale a quello raggiunto nel problema iniziale senza vincoli.

15. Lo scopo è determinare per quali intervalli di variabilità della x una funzione è superiore o inferiore a un’altra,scegliendo tra funzioni dello stesso tipo oppure di tipo diverso. I punti di incontro fra le funzioni obiettivo sono chiamati Punti di Indifferenza. Questi problemi possono essere di minimo o di massimo : se il problema è di minimo viene scelta l’ alternativa rappresentata dalla funzione al di sotto , se il problema è di massimo dalla funzione al di sopra. L’esempio presentato qui di seguito è un problema di minimo. Un artigiano necessita per la sua attività di un autofurgone per trasporto merci. Con le caratteristiche desiderate,in commercio ne esistono 3 diversi tipi. Il tipo A ha un costo d’acquisto di 9000 € e costi successivi di manutenzione di 0,6 € per chilometro. Il tipo B ha un costo d’acquisto 15 000 € e costi successivi di manutenzione di 0,20 € per chilometro. Il tipo C ha un costo d’acquisto di 18 000 € e costi successivi di manutenzione di 0,1375 € per chilometro. Determinare quale autofurgone gli conviene acquistare. Indichiamo con la x il numero di km che l’artigiano prevede di percorrere e con Ya, Yb e Yc le funzioni costo; abbiamo quindi: Ya = 0,6 x + 9000 Yb = 0,20 x + 15 000 Yc = 0,1375 x + 18 000 Determiniamo poi in quali intervalli di variabilità della x una delle funzioni assume valori inferiori a quelle delle altre due. Ya = 0,6 x + 9000 Yb = 0,20 x + 15 000 con x ≥ 0 Yc = 0,1375 x + 18 000 PROBLEMI DI SCELTA FRA PIU’ ALTERNATIVE

16. Per rispondere al problema, però, è necessario ricavare le coordinate dei punti Q e R in cui cambiano le situazioni. { y = 0,6 x + 9000 y = 0,20 x + 15 000 { x = 15 000 y = 18 000 Q ( 15 000; 18 000) { y = 0,1375 x + 18 000 y = 0,20 x + 15 000 { x = 48 000 y = 24 000 R (48 000; 24 000) L’alternativa A (P) è più conveniente se l’artigiano prevede di percorrere meno di 15 000 km. L’alternativa B (Q) se prevede di percorrere da 15 000 a 48 000 km. L’alternativa C (R) se prevede di percorrere più di 48 000 km.

17. Una ditta che produce articoli da vendere a domicilio,deve assumere rappresentanti di commercio ai quali offre le tre seguenti possibilità di retribuzione. A) Stipendio fisso mensile di 1000 € più 0,25 € per ogni articolo venduto. B) Stipendio fisso mensile di 800 € più 0,50 € per ogni articolo venduto. C) Stipendio fisso mensile di 500 € più 0,65 € per ogni articolo venduto. Qual è la retribuzione più conveniente per un rappresentante? Indichiamo con y1 , y2 e y3 i tre stipendi e individuiamo quale delle tre funzioni risulta superiore alle altre due: Y1= 0,25 x + 1000 Y2= 0,50 x + 800 x ≥ 0 Y3= 0,65 x + 500 Esaminiamo ora un problema di massimo.

18. y = 0,5 x + 800 { Calcoliamo poi le coordinate dei punti P e Q . y = 0,25 x + 1000 { x = 800 y = 1200 P (800;1200) { y = 0,65 x + 500 y = 0,5 x + 800 { x = 2000 y = 1800 Q (2000;1800) Dal grafico notiamo che, per un numero di articoli venduti inferiore a 800, l’alternativa più redditizia risulta essere la P. Per un numero di articoli venduti tra 800 e 2000 la più redditizia è la Q. Invece, per un numero di articoli venduti superiori a 2000, l’alternativa più conveniente è la terza.

19. Presentazione a cura di: Camporeale Susanna Palmisano Mattia Biffignandi Marco