Derivata di una funzione in un punto. Significato geoemtrico di derivata. Equazione della retta tangente al grafico in un punto. Regole di derivazione. Continuità e derivabilità. Punti di non derivabilità.
Derivata di una funzione in un punto. Significato geoemtrico di derivata. Equazione della retta tangente al grafico in un punto. Regole di derivazione. Continuità e derivabilità. Punti di non derivabilità.
La presentazione è stata realizzata da Claudia Ceccarelli, Isabella Garofolo, Giulia Gori, Giorgia Paolucci nell’ambito di un’attività di webquest coordinata dal Prof. Pietro Volpones.
Insieme alle presentazioni, gli studenti hanno realizzato l’ebook “Razionalismo ed empirismo”, reperibile al seguente indirizzo web: http://www.liceovailati.it/doceboKms/index.php?modname=documents&op=documents
presentazione della filosofia di Nietzsche in 20 slides non realizzata da me ma da un autore di cui non conosco il nome e che mi ha linkato questa presentazione nel forum scolastico da me utilizzato con imiei studenti
presentazione della filosofia di Feuerbach, concetti, biografia, mappe concettuali. Argomenti: L’inversione soggetto/predicato L’essenza di dio e della religione La creazione di dio ad opera dell’uomo struttura dell’alienazione religiosa L’ateismo Critica alla filosofia di Hegel La filosofia dell’avvenire Importanza di Feuerbach
La presentazione è una libera rielaborazione dei capitoli su Hegel dei testi di Brandolini,
Debernardi, Leggero, Simposio vol 2, Laterza e di Sacchetto, Desideri, Petterlini,
L'esperienza del pensiero vol 4, Loescher.
La presentazione è stata realizzata da Claudia Ceccarelli, Isabella Garofolo, Giulia Gori, Giorgia Paolucci nell’ambito di un’attività di webquest coordinata dal Prof. Pietro Volpones.
Insieme alle presentazioni, gli studenti hanno realizzato l’ebook “Razionalismo ed empirismo”, reperibile al seguente indirizzo web: http://www.liceovailati.it/doceboKms/index.php?modname=documents&op=documents
presentazione della filosofia di Nietzsche in 20 slides non realizzata da me ma da un autore di cui non conosco il nome e che mi ha linkato questa presentazione nel forum scolastico da me utilizzato con imiei studenti
presentazione della filosofia di Feuerbach, concetti, biografia, mappe concettuali. Argomenti: L’inversione soggetto/predicato L’essenza di dio e della religione La creazione di dio ad opera dell’uomo struttura dell’alienazione religiosa L’ateismo Critica alla filosofia di Hegel La filosofia dell’avvenire Importanza di Feuerbach
La presentazione è una libera rielaborazione dei capitoli su Hegel dei testi di Brandolini,
Debernardi, Leggero, Simposio vol 2, Laterza e di Sacchetto, Desideri, Petterlini,
L'esperienza del pensiero vol 4, Loescher.
INTEGRALI INDEFINITI - FUNZIONI RAZIONALI FRATTE - CALCOLI PASSO PASSO - SIGNIFICATO di INTEGRALE - dalla PRIMITIVA alla DERIVATA - dalla DERIVATA alla PRIMITIVA
The most challenging scenario you can ever face is resuscitation of pediatric population in your ED, high level of stress is involved, so going systematic will make your work easy. The new PALS guidelines by AHA is quoted d here.
La risoluzione delle disequazioni di secondo grado fatta attraverso la scomposizione del trinomio di 2° grado e lo studio del segno del prodotto di binomi irriducibili
1. ESERCITAZIONE: IL CALCOLO DELLE DERIVATE Data:10/12/2014
Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1) y 2e 2x x ; 2) y x lnx x 3 ;
3) y x e lnx x ; 4) y 2x x 3x 1 4 3 ;
5) y x 33 x 44 x ; 6) y x 2x x lnx 3 2 ;
7)
2
x x
3
y 4
; 8)
x
3
2
x
x
2e x lnx
y
.
Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1) 3 2 y x 2x 3 2)
x 2
lnx
y
2
3) xlnx y e 4)
ln2 x
ln 2x 1
y
Rappresenta la funzione assegnata e determina gli intervalli in cui f(x) è continua e quelli in cui è
derivabile.
fx lnx 2
Determina i punti stazionari della seguente funzione.
2 2 y 4lnx x
Calcola la derivata prima, seconda e terza delle seguenti funzioni.
y e x lnx 1 2x 2 y 2x lnx 2
Risolvi il seguente problema:
Date le funzioni
2
x 3x se 0 x 2
f x
2
x x altrimenti
e
2
g x
2
x x se 0 x
2
x 3x altrimenti
a) calcola le derivate f x e g x e le relative condizioni di esistenza;
b) disegnato il grafico delle due funzioni, indica i valori di x per i quali le funzioni non sono derivabili
precisando se per tali valori le funzioni sono però continue;
c) trova gli eventuali valori di x per i quali f(x) e g(x) hanno tangenti parallele.
2. SOLUZIONI
Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1) y 2e 2x x ;
y 2e 2 x
2) y x lnx x 3 ;
lnx
1
3
x
2x 2
x lnx
3
x
x 3 1
x 3 x lnx 1
x
y 1
3) y x e lnx x e lnx x x ;
e 1 x lnx 1
x x
e 1 x lnx e
1
x
y 1 e x e lnx x e
x
x x x
4) y 2x x 3x 1 4 3 ;
y 8x 3x 3 3 2
1
1
y x 33 x 44 x x 3x 3
4x ;
1
5) 2
4
2
1
1
1
1
3 2 4 3
3
4
3
2
x
x
1
1
2 x
1
x
4
x 4
3
x 3
2
y
6) y x 2x x lnx 3 2 ;
3x 4x 1 lnx x 2x 1
1
x
2 3 2
y 3x 4x 1 lnx x 2x x
2 2
7)
2
x x
3
y 4
;
x
3
4 2 3
2x 1 x 3 x x 3
4x
4 2
x 3
5 4 5 4 3
2x 6x x 3 4x 4x
12x
4 2
x 3
5 4 3
2x 3x 12x 6x 3
4 2
x 3
y
8)
2e x lnx
2
x
x
y
.
1
x 2 x
x 2e x lnx 2x
2 x 2 x 2
2x e x x 4xe 2x 2xlnx
2 x x 2
2x e 4xe x x 2xlnx
4
4
4
x
x
x
x
2e 1
y
3. Calcola la derivata delle seguenti funzioni.
1
1) y 3 x 2 2x 3 x 2 2x 3
3
2
1
3 2 2
x 2x 3 3
2x 2
3
2
2 x
1
3 x 2x 3
y
2)
1
2
2 2
x 2
y
lnx
x 2
lnx
x 2
1
2 2
2x lnx x 2
2 2
2x lnx x 2
x ln x
x 2
lnx
x 2
1
2
x ln x
lnx
2
1
ln x
1
x
2x lnx x 2
lnx
1
2
y
2
2
2
2
2
2
2
2
3) xlnx y e
y e lnx 1 xlnx
4)
ln2 x
ln 2x 1
y
1
2 x
ln 2 x
ln 2 x
ln 2x 1
2x 1
2 2 x ln 2 x 2x 1 ln 2x
1
2x 1 2 x ln 2 x
2
y
2
2
4. Rappresenta la funzione assegnata e determina gli intervalli in cui f(x) è continua e quelli in cui è
derivabile.
fx lnx 2
DOMINIO
ln x 2 0
x 2
0
→
x 2 e0
x 2
→
x 3
x 2
→ x 3 D = 3;
ZERI
lnx 2 0 lnx 2 0 x 2 e x 3 0 La funzione ha uno zero in x = 3
SEGNO
Essendo una irrazionale di indice 2 è positiva x3;
COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI DEL DOMINIO
lim lnx 2 ln3 2
0
x
3
;
lim ln x 2 ln 2
x
La funzione è continua in tutto il dominio.
DERIVATA PRIMA
1
2
f x ln x 2 ln x 2
1
1
1
x 2
2 x 2 lnx 2
2 ln x 2
f x
DOMINIO DELLA DERIVATA PRIMA
x 2
0
ln x 2
0
Nel dominio di f(x)
D’= 3;
ZERI DERIVATA PRIMA
Non esistono.
5. SEGNO
Sempre positiva in D’.
COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI
1
1
1
2 x 2 ln x 2
2 3 2 ln 3 2
0
lim
x 3
;
1
1
0
1
2 ln
2 x 2 ln x 2
lim
x
Il punto x = 3 è un punto a tangente verticale.
GRAFICO
6. Determina i punti stazionari della seguente funzione.
2 2 y 4lnx x
I punti stazionari sono i punti a tangente orizzontale cioè i punti in cui la derivata prima è 0.
DERIVATA PRIMA
x
2 x 4
8 2x
x
2x
8
x
2x 2x
1
x
y 4
2 2
2
.
I punti in cui si annulla sono:
2
2 x 4 2 2
0 x 4 0 x 4 x 2
x
A =
x 2
y 4ln 2 2 4ln4 4 1,55
2 2
B =
x 2
y 4ln 2 2 4ln4 4 1,55
2 2
7. Calcola la derivata prima, seconda e terza delle seguenti funzioni.
y e x lnx 1 2x 2
1
x 1
y 2e 2x 2x
1
2
2x
x 1
y 4e 2
2
3
2x
x 1
y 8e
y 2x lnx 2
y 4x lnx 2x
y 4lnx 4 2 4lnx 6
4
x
y
8. Risolvi il seguente problema:
Date le funzioni
2
x 3x se 0 x 2
f x
2
x x altrimenti
e
2
g x
2
x x se 0 x
2
x 3x altrimenti
a) calcola le derivate fx e gx e le relative condizioni di esistenza;
f x
2x 3 se 0 x 2
2x 1 se x 0 x 2
2x 1 se 0 x
2
2x 3 se x 0 x 2
g x
lim 2x 1 1
x 0
lim 2x 3 3
x 0
lim 2x 3 1
x 2
lim2x 1 3
x 2
lim 2x 3 3
x 0
lim 2x 1 1
x 0
lim 2x 1 3
x 2
lim 2x 3 1
x 2
Le due funzioni non sono derivabili in x = 0 e in x = 2 che risultano punti angolosi.
b) disegnato il grafico delle due funzioni, indica i valori di x per i quali le funzioni non sono derivabili
precisando se per tali valori le funzioni sono però continue;
In x = 0 e x = 2 le funzioni sono continue.
c) trova gli eventuali valori di x per i quali f(x) e g(x) hanno tangenti parallele.
I valori per i quali le tangenti sono parallele sono quelli in cui le derivate sono uguali (le tangenti
hanno la stessa inclinazione!) o si annullano (punti stazionari a tangente orizzontale)
f’(x) = g’(x) –2x + 3 = 2x – 1 x = 1
f’(x) = 0 –2x + 3 = 0 x =
3
2
g’(x) = 0 2x – 1 = 0 x =
1
2
Le funzioni hanno tangenti parallele nei punti stazionari x =
1
, x =
2
3
e in x = 1.
2