Impara le posizioni reciproche tra retta e parabola, studia il caso particolare delle rette tangenti e infine scopri la formula di sdoppiamento

1. Rette e parabola!

2. In questa lezione vediamo…
!
Posizioni reciproche retta-parabola1
Il caso delle rette tangenti2
Formula di sdoppiamento3

3. Sfida
?!
Finiti i mondiali di calcio, Alessio e Giorgio si appassionano ai campionati
europei di tiro al bersaglio e provano ad allenarsi in giardino con l’obiettivo
di riprodurre il tiro decisivo che ha dato la vittoria al loro nuovo idolo.
Di questo tiro sanno che il bersaglio seguiva una traiettoria parabolica di
equazione .
Il primo a provare a colpire il bersaglio è Alessio, che spara un proiettile in
modo che segua la traiettoria della retta
Giorgio invece, spara il proiettile in modo che segua la traiettoria della retta
Chi dei due riesce a colpire il bersaglio? Chi sarà il vincitore?
y = 2x +3
y = −5x2
+ 2x + 2
y = 2x −3

4. Ora vediamo…
! Posizioni reciproche retta-parabola1
Il caso delle rette tangenti2
Formule di sdoppiamento3

5. 1. Posizioni reciproche retta-parabola
Una parabola ed una retta possono essere:
a. Secanti in due punti
b. Tangenti in un punto doppio
c. Esterne, senza punti in comune
d. Secanti in un solo punto se la retta è parallela all’asse della parabola.
a. b. c. d.
x x x x
y y y y
P
P
P1
P2

6. 1. Posizioni reciproche retta-parabola
Prendiamo una parabola con asse parallelo all’asse ed una retta generica di
equazione .
Mettendole a sistema si trova un’equazione risolvente di secondo grado in cui se:
y = mx + q
y
• ci sono due soluzioni distinte del sistema: la retta interseca la parabola in
due punti diversi e si dice secante
• c’è una soluzione doppia (ossia due soluzioni, ma coincidenti): la retta
interseca la parabola in un punto (doppio) e si dice tangente
• non ci sono soluzioni del sistema: la retta è esterna alla parabola.0<Δ
0>Δ
0=Δ

7. 1. Posizioni reciproche retta-parabola
y
Esempio:
Consideriamo la parabola e la
retta
L’equazione risolvente è: che
ha e quindi ha due punti di
intersezione con la retta. L’ascissa dei due
punti è:
Sostituendo nell’equazione della retta o della parabola si trovano le due rispettive
ordinate: e quindi i due punti : e( )2;11P ( )4;22 −−Py1 = 2; y2 = −4
232
−+= xxy
xy 2=
!
"
#
=
−+=
xy
xxy
2
232
!
"
#
=
−+=
xy
xxx
2
232 2
!
"
#
=
=−+
xy
xx
2
022
x1,2 =
−1±3
2
-15 -12,5 -10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5
-5
-2,5
2,5
5
7,5
( )2;11P
( )4;22 −−P
x
x2
+ x − 2 = 0
Δ = 9 > 0

8. Questo procedimento esclude le rette parallele all’asse di simmetria che non sono
esprimibili tramite l’equazione implicita della retta.
Quello che si trova intersecando una parabola con una retta parallela all’asse di simmetria è
una soluzione unica, quindi la retta non è tangente (altrimenti le soluzioni sarebbero
due coincidenti) ma è secante in un solo punto.
1. Posizioni reciproche retta-parabola
Esempio:
Consideriamo la parabola e la retta parallela all’asse di simmetria di
equazione . La loro intersezione si trova risolvendo un sistema che ha
un’equazione risolvente di primo grado:
y = x2
+ 2x −1
x = 3
y = x2
+ 2x −1
x = 3
"
#
$
→ y =14

9. Ora vediamo…
!
Posizioni reciproche retta-parabola1
Il caso delle rette tangenti2
Formula di sdoppiamento3

10. Vediamo ora quante rette di un fascio proprio di centro possono essere tangenti
ad una parabola.
2. Il caso delle rette tangenti
a. Se è esterno alla parabola, troviamo 2 rette tangenti
b. Se è un punto della parabola, troviamo 1 retta tangente
c. Se è interno alla parabola, nessuna retta del fascio è tangente.
P(x0;y0 )
P
P
P
x
y
P x
y
P
x
y
P
a. b. c.

11. 2. Il caso delle rette tangenti
Determiniamo l’equazione delle rette del fascio tangenti alla parabola.
Conosciamo le coordinate del punto , quindi l’equazione del fascio proprio è
e conosciamo anche l’equazione della parabola.
Dobbiamo risolvere il sistema
in cui l’incognita è .
P(x0;y0 )
y − y0 = m(x − x0 )
y = m(x − x0 )+ y0
y = ax2
+ bx +c
"
#
$
m
Imponiamo che l’equazione risolvente abbia , che è la condizione di tangenza!
Se il punto è esterno imponendo si trovano due valori di corrispondenti alle due
rette tangenti.
Se il punto è sulla parabola troviamo un solo valore di .
Se invece il punto è interno, l’equazione è impossibile.
Δ = 0
Δ = 0 m
m

12. Risolviamo il sistema:
Imponiamo la condizione di tangenza per trovare i valori di :
2. Il caso delle rette tangenti
0=Δ
y1 = 20 + 2 102( )x + 2 −28−3 102( )
( )!
"
#
−=−
++=
34
523 2
xmy
xxy
43523 2
+−=++ mmxxx −3x2
+ x m − 2( )− 3m +1( )= 0
08402
=−− mm m1;2 = 20 ± 2 102
y2 = 20 − 2 102( )x + 2 3 102 − 28( )
Abbiamo trovato due valori di e quindi le rette tangenti sono due, con equazioni:
Esempio:
Vogliamo calcolare le rette tangenti alla parabola appartenenti al fascio
di rette di centro .
523 2
++= xxy
P 3;4( )
m
m

13. Ora vediamo…
! Posizioni reciproche retta-parabola1
Il caso delle rette tangenti2
Formula di sdoppiamento3

14. 3. Formula di sdoppiamento
Abbiamo visto come trovare l’equazione delle rette tangenti ad una parabola dato un
qualsiasi punto del piano.
Vediamo ora un metodo per trovare l’equazione se il punto appartiene alla
parabola.
A partire dall’intersezione fra una generica parabola ed il fascio di rette di centro ,
e facendo alcuni calcoli algebrici (che sono un pò lunghi!) si ottiene l’equazione della
retta tangente in tramite la formula:
Che è chiamata “formula di sdoppiamento” in quanto si ottiene “sdoppiando” le incognite
dell’equazione della parabola, ossia facendo queste trasformazioni:
c
xx
bxax
yy
+
+
+=
+
22
0
0
0
P(x0;y0 )
P(x0;y0 )
y+ y0
2
x0 x x + x0
2
y = x2
+ x c+a b
P

15. 3. Formula di sdoppiamento
Esempio:
Calcoliamo la retta tangente alla parabola nel punto .
Il punto appartiene alla parabola quindi possiamo usare la formula di sdoppiamento.
Le trasformazioni da fare sono:
Sostituiamole nell’equazione della parabola:
Raccogliamo in funzione di e l’equazione della retta tangente è:
xxy 32
+= ( )21 −− ;P
y = x2
+3x
1−= xy
y − 2
2
= −x +3
x −1
2
y →
y − 2
2
x2
→ x(−1) x →
x −1
2
x

16. ha equazione risolvente
quindi la retta è secante alla parabola, perciò il proiettile lanciato da
Giorgio colpirà il bersaglio!
È Giorgio il vincitore!
Vediamo quale delle due rette scelte dai ragazzi interseca la parabola!
ha equazione risolvente
quindi la retta è esterna alla parabola, perciò il proiettile tirato da
Alessio non colpirà mai il bersaglio!
!!
Soluzione alla sfida
y = −5x2
+ 2x + 2
y = 2x +3
"
#
$
2x +3= −5x2
+ 2x + 2 → Δ = −20 < 0
Δ < 0
y = −5x2
+ 2x + 2
y = 2x −3
"
#
$
2x −3= −5x2
+ 2x + 2 → Δ = 4 > 0
Δ > 0

17. Nell’interrogazione potrebbe chiederti…!
• La retta è tangente, secante o esterna alla
parabola di equazione
• Calcolare quante sono (se ci sono) le rette del fascio
generato in e tangenti alla parabola
• Calcolare la retta tangente alla parabola
nel suo punto
y = 5x2
+3x −1
( )1;0 −P
( )2;2P 32 2
+−−= xxy
y = x +3
y = −x2
+ 9x +3

18. Rewarded education!