Il documento tratta i concetti fondamentali delle distribuzioni normale ed esponenziale negativa, includendo le formule di standardizzazione e calcolo delle probabilità. Viene descritto come la media e la varianza dell'esponenziale negativa possano essere calcolate e come si determina la funzione di ripartizione. Infine, viene spiegato l'uso della funzione di ripartizione per determinare le probabilità relative a valori specifici.

1. Abbiamo trattato solo due tipi di distribuzione:
• Normale
• Esponenziale negativa

2. DISTRIBUZIONE NORMALE
X ~ N (μ ; ơ ² )
(χ- μ) ²
_ ________
1
ƒ ( χ ) = _______ ∙ e 2ơ²
Ơ √ 2π

3. STANDARDIZZAZIONE
Riferimento all’intera popolazione
X~N(0;1)
x-μ
Z= ________
ơ Si riferisce all’intera popolazione

4. SEI CI RIFERIAMO AD UN CAMPIONE COME SI
DISTRIBUISCE LA MEDIA DI UN CAMPIONE PARTENDO
DA UNA POPOLAZIONE DISTRIBUITA SECONDO UNA
NORMALE?
__
Xη ~N (μ , 2 )
n
numero degli elementi del campione
In questo caso per effettuare il calcolo delle probabilità la mia formula di
standardizzazione sarà la seguente:
Z=_______
x-μ
_______
ơ
√n
Mentre se n è grande e voglio approssimare la binomiale alla normale, ecco che la
formula diventa:
Z=________
x–n∙ρ
√ n ∙ ρ (1- ρ )

5. ESPONENZIALE NEGATIVA
λ è considerato il tempo medio di attesa, perche
l’esponenziale negativa viene usata per il teorema delle
code, quindi per calcolare i tempi di attesa.
λe − λx x>0 λ>0
ƒ(χ)=
0 altrove
Per trovare il valor medio dell’esponenziale
negativa devo applicare la seguente formula:
E(X)= __
1
λ
Per trovare invece la varianza, si applica la
seguente formula:
1
Var( X ) 
2

6. FUNZIONE DI RIPARTIZIONE
Come si calcola la funzione di ripartizione?
x
F(x)= ƒ (t) dt
x0
La funzione di ripartizione è l’integrale della funzione di densità solitamente da
0 a x di ƒ (t) dt. La funzione di ripartizione ci da la probabilità che :
F(x)= P (X ≤ x)
Può capitare che una volta calcolata la funzione di ripartizione si possa trovare
la probabilità di una x compresa tra x e x :
¹ ²
P( x ≤ x ≤ x ) = F(x )
¹ ²
_ F(x )
² ¹
In questo caso, non c’è bisogno di calcolare l’integrale, dato che si tratta di
esponenziale negativa ed è quindi sufficiente fare la differenza tra il valore
assunto dalla funzione di ripartizione x e il valore assunto dalla funzione di
ripartizione in x¹ ²

7. Presentazione a cura di:
Noemi Carluccio
Sara Magagnini
Serena Porretta
Arianna Ramazzina