Lavoro sugli asintoti dell'area di progetto della 4A Igea 2008/2009 a cura di Gabriele Pauroso

2. La seguente presentazione multimediale interattiva in formato .ppt (Microsoft Office PowerPoint) contiene argomenti inerenti al programma scolastico dell’anno 2008/2009 della classe 4^ sezione AR I.G.E.A (indirizzo di ragioneria) dell’Istituto Tecnico Statale “ITGC Luigi Casale” di Vigevano (PV). Questo progetto è stato proposto non solo per avvantaggiare gli alunni stranieri ma anche gli alunni che trovano talvolta difficoltà nel seguire lezioni in classe. La presentazione infatti cercherà di catturare maggiore attenzione non solo attraverso l’interattività ma anche con utilizzo di forme, caratteri e colori che stimolano concentrazione. Si ricorda inoltre che alcuni testi di seguito esposti possono essere rielaborazioni semplificate da fonti On-line. Per maggiori informazioni sull’area di progetto visitate il sito internet dell’istituto: www.itcgcasale.it

4. Il calcolo di di una funzione reale di variabile reale Seleziona Capitoli Definizione di ASINTOTO Asintoto Verticale Asintoto Orizzontale Asintoto Obliquo Note Esercizi Fare “ click ” all’interno della casella interessata per passare alla pagina contenente l’argomento interessato www.itgccasale.com CREDITS

5. Asintoto e' una parola che deriva dal greco: A = privativo che significa no Sympìptein = congiungere Significa cioè che non tocca. In pratica si tratta di una retta che si avvicina alla funzione senza mai toccarla, per questo si dice anche che l'asintoto e' la tangente all'infinito della funzione. Quindi se non sappiamo come si comporta una funzione all'infinito sappiamo però come all'infinito si comporta una retta e se troviamo l'equazione della retta che accompagna la funzione all'infinito (asintoto) potremo tracciare il grafico della funzione che tende all'infinito con buona approssimazione. Definizione di ASINTOTO

6. ASINTOTO verticale Si ha un asintoto verticale quando, all'avvicinarsi della X ad un valore finito C , il valore della Y cresce all'infinito. Poiché il valore infinito e' solo una convenzione, ne deriva che la funzione avrà valore infinito dove la X non e' definita, cioè per valori non appartenenti al dominio. Quindi per trovare gli asintoti verticali dovremo trovare quei valori della X per cui la funzione vale infinito, cioè supponendo che nel punto x = c la funzione non sia definita dovremo calcolare: lim x->c f(x) = se il risultato vale “infinito” allora la retta x = c sarà l'asintoto verticale. E' bene al fine di calcolare esattamente come la funzione sparisce all'infinito calcolare sia il limite destro che il limite sinistro per trovare il segno dell'infinito a destra e a sinistra dell'asintoto.

7. ASINTOTO verticale Vi sono 4 casi possibili: lim x->c - f(x) = + lim x->c + f(x) = + lim x->c - f(x) = - lim x->c + f(x) = - lim x->c - f(x) = + lim x->c + f(x) = - lim x->c - f(x) = - lim x->c + f(x) = +

8. ASINTOTO verticale Facciamo un esercizio semplicissimo: vediamo se la funzione 3x y = ------- x - 1 ha asintoti verticali, il campo di esistenza e' tutti i valori eccetto x = 1 per cui si annulla il denominatore calcolo: 3x lim x->1 -------- = 3/0 = x - 1 quindi la retta x = 1 e' un asintoto verticale.

9. ASINTOTO verticale Per tracciarlo al meglio calcoliamo i limiti destro e sinistro della funzione nel punto 1 . Limite sinistro: 3x lim x->1 - -------- x - 1 per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un valore un pochino più piccolo di 1 (ad esempio 0,9 ) e fare il conto dei segni 3·0,9 ---------- 0,9 - 1 il numeratore e' positivo mentre il denominatore è negativo quindi l'espressione e' negativa cioè 3x lim x->1 - -------- = - x - 1

10. ASINTOTO verticale Limite destro: 3x lim x->1 + -------- x - 1 per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un valore un pochino più grande di 1 (ad esempio 1,1 ) e fare il conto dei segni 3·1,1 ---------- 1,1 - 1 il numeratore e' positivo ed anche il denominatore e' positivo quindi l'espressione e' positiva cioè 3x lim x->1 + -------- = + x - 1 SOLUZIONE

11. ASINTOTO verticale Q uindi il risultato e' quello della figura qui sotto: lim x->1 - f(x) = - lim x->1 + f(x) = +

12. ASINTOTO orizzontale Si ha un asintoto orizzontale quando, al crescere della x la y si avvicina ad un valore ben determinato. in pratica c'e' l'asintoto se lim x-> f(x) = numero e l'asintoto sarà la retta orizzontale y = numero e' inoltre possibile calcolare se rispetto all'asintoto la funzione si trovi sopra o sotto sostituendo al numero dell'asintoto un numero più piccolo o più grande e vedendo se l'orizzontale relativa taglia o no la funzione, ma si pensa che ciò sia inutile, in quanto in uno studio completo di funzione si hanno parecchi altri dati da cui ricavare se la funzione si avvicina all'asintoto da sopra o da sotto.

13. ASINTOTO orizzontale Facciamo anche qui un esercizio molto semplice: calcoliamo, se esiste, l'asintoto orizzontale per la funzione 3x y = ------- x - 1 in pratica devo calcolarne il limite per x tendente ad infinito 3x lim x-> -------- = ----- = 3 x – 1 Infatti numeratore e denominatore hanno lo stesso grado ed il rapporto fra le x di grado maggiore è 3 . se non hai capito bene come ho fatto ridai un'occhiata alle forme indeterminate, oppure puoi calcolare la derivata sopra e sotto e rifare il limite come abbiamo visto nelle applicazioni sulle derivate. SOLUZIONE

14. ASINTOTO orizzontale Quindi la retta y = 3 sarà l'asintoto orizzontale la funzione e' la stessa che abbiamo usato per l'asintoto verticale e con i dati che ho posso cominciare ad abbozzarne un eventuale grafico (per tracciarlo effettivamente mi mancano ancora parecchi dati): y = 3

15. ASINTOTO Obliquo Si ha un asintoto obliquo quando la funzione, andando verso infinito si avvicina ad una retta obliqua Vediamo quali sono le condizioni perché una funzione ammetta asintoto obliquo della forma y = mx + q Prima di tutto bisogna dire che la funzione deve tendere all'infinito: lim x-> f(x) = poi devono esistere m e q, cioè devono esistere finiti i due limiti lim x-> f(x)/x = m lim x-> (f(x) - mx) = q

16. ASINTOTO Obliquo Facciamo anche qui un semplice esercizio: trovare l'asintoto obliquo per la funzione 3x 2 - 1 y= ----------- x si ha subito 3x 2 - 1 lim x-> ------------ = x ora vado a calcolare (se esistono) m e q.

17. ASINTOTO Obliquo Dividere una funzione per x vuol dire moltiplicarne il denominatore per x quindi: 3x 2 - 1 m = lim x-> ---------- = 3 quindi m = 3 x 2 calcolo q 3x 2 - 1 q = lim x-> ---------- - 3x = x 3x 2 - 1 - 3x 2 = lim x-> ----------------- = x 1 = lim x-> ----- = 0 quindi q = 0 x SOLUZIONE Y=3x

19. Nota sulla determinazione degli asintoti orizzontali od obliqui E sempi: 3x a. y = ------- x - 1 ha un asintoto orizzontale perché numeratore e denominatore hanno entrambi grado uno ed il rapporto fra i termini di grado più alto e' 3x/x = 3 quindi asintoto orizzontale y = 3 x - 1 b. y = ------- x 2 poiché il grado del numeratore e' inferiore a quello del denominatore si ha: asintoto orizzontale y = 0 3x 2 - 1 c. y = ---------- x ha un asintoto obliquo perché il grado del numeratore e' due e quello del denominatore e' uno quindi quando farò f(x)/x otterrò una frazione con lo stesso grado al numeratore e al denominatore (m = 3) 3x 4 - 1 d. y = ---------- x la funzione non ha un asintoto che la accompagni all'infinito.

20. Da un idea di: Luigi Pasini docente ordinario di Matematica applicata e Esaminatore ECDL Core Level ed Advanced Level Con la collaborazione di: www.wikipedia.com e rip.mat.it Intro e credits song inspired by: BMW spot theme Back wallpaper: Concentration image Font: Verdena e YellowJacket Mente Logica: Gabriele Pauroso Show maker: Pauroso Gabriele School Group: L.E.G (Limited Edition Group) Pauroso Gabriele e Narratori di presentazione Sassone Andrea Scatizzi Lucas Classe 4^ AR IGEA Sponsored by: ITCG Luigi Casale (istituto tecnico superiore) Il calcolo di di una funzione reale di variabile reale