Problema di localizzazione degli Impianti: trovare l’allocazione ottima delle colonnine per la ricarica dei veicoli elettrici in modo tale da soddisfare tutti i clienti, in funzione dei vantaggi o degli svantaggi relativi alla loro utilizzazione.

1. Candidati
Alessandro SEPIACCI
Mattia ZENNARO
Anno accademico 2011/2012
FACOLTÀ DÌ INGEGNERIA, INFORMATICA E STATISTICA
Corso di laurea in Ingegneria Gestionale
Tesina di Ottimizzazione Combinatoria I
Localizzazione delle colonnine elettriche a Roma
1 / 24

2. Un Problema di Localizzazione degli Impianti consiste nel trovare
l’allocazione ottima di una serie di strutture in modo tale da soddisfare tutti i
clienti, in funzione dei vantaggi o degli svantaggi relativi alla loro
utilizzazione.
J = insieme dei potenziali
Impianti da attivare
I = insieme dei clienti da
servire
cij = costi di afferenza del
cliente i all’impianto j
fj = costi di attivazione
dell’impianto j.
- Insieme J* degli impianti da
attivare
- Assegnazione di ciascun cliente ad
uno degli impianti attivati.
Minimizzando il COSTO COMPLESSIVO
2 / 24

3. Sistemazione delle Colonnine Elettriche a Roma.
- 4 allacciamenti a tensione
variabile CC per Bike o
Scooter +
1 presa 230V AC per Auto
- Si possono caricare
contemporaneamente:
4 scooter o 4 bike e un'auto
3 / 24

4. Dai dati offerti dal Comune di Roma, abbiamo identificato ogni quartiere come
un cliente per il nostro problema, in modo da coprire l’intera popolazione.
Adottando tale criterio, abbiamo ottenuto 87 Clienti ( |I| = 87) .
Cliente Municipio Cliente Municipio Cliente Municipio Cliente Municipio
campitelli 1 nomentano 3 parco dè medici 12 primavalle 1819
campo marzio 1 tiburtino 3 europa 12 trieste 24
castro pretorio 1 casal boccone 4 fonte ostiense 12 colli dell'aniene 567
celio 1 castel giubileo 4 giuliano dalmata 12 tor sapienza 57
colonna 1 conca d'oro 4 torrino 12 tuscolano 67910
esquilino 1 marcigliana 4 portonaccio 5 pigneto 69
ludovisi 1 piazza sempione 4 corviale 13 torre spaccata 78
monti 1 val melaina 4 casetta mattei 13 don bosco 7810
parione 1 vigne nuove 4 borgo 17 re di roma 9
pigna 1 pietralata 5 prati 17 torre maura 810
ponte 1 ponte mammolo 5 tomba di nerone 20 acqua vergnie 85
regola 1 san basilio 5 tor di quinto 20 appio latino 911
ripa 1 torraccia 5 appio pignatelli 1011 ottavia 19
s. angelo 1 alessandrino 7 cecchignola 1112 monte spaccato 18
s. eustachio 1 la rustica 7 ostiense 1112 garbatella 11
sallustiano 1 prenestino 7 gianicolense 1516 marconi 15
trastevere 1 tor tre teste 7 la pisana 1516 fleming 20
trevi 1 appio claudio 10 portuense 1516 cortina d'ampezzo 20
flaminio 2 centocelle 10 trionfale 171819 libia 2
parioli 2 ardeatino 11 della vittoria 171920 san lorenzo 3
pinciano 2 torricola 11 aurelio 1819 piazza bologna 3
salario 2 magliana 12 casalotti 1819
4 / 24

5. Anche per gli impianti, abbiamo cercato di ricoprire l’intera città.
Definita la zona, laddove fosse presente, abbiamo allocato l’impianto in
prossimità della fermata Metro, altrove abbiamo optato per punti strategici
(parchi, piazze, Centri Commerciali, parcheggi, zona turistica, università, ).
Adottando tale criterio, abbiamo ottenuto 74 Impianti ( |J| = 74) .
Impianto Municipio Impianto Municipio Impianto Municipio Impianto Municipio
giardinetti 8 valle aurelia 18 santa maria dle soccorso 5 garbatella 11
torre maura 8 battistini 19 ponte mammolo 5 roma 70 11
torre spaccata 1 8 vittorio emanuele 19 rebibbia 5 san lorenzo 3
torre spaccata 2 8 manzoni 3 parco de medici 15 cecchignola 12
centocelle 7 re di roma 9 porta di roma 4 piazza cola di rienzo 17
pigneto 6 ponte lungo 9 roma est 8 policlinico gemelli 19
san giovanni 6 colli albani 9 roma eur 12 ospedale san camillo 15
amba aradam 6 tuscolano 10 viale di tor di quinto 20 trastevere 1
colosseo 1 cinecittà 10 stadio olimpico 17 piazza mancini 2
cavour 1 anagnina 10 stadio flaminio 2 piazza vescovio 2
piazza venezia 1 castro pretorio 3 palalottomatica 12 piazza istria 2
san pietro 17 policlinico 3 viale europa 12 piazzal delle provincie 3
piazza clodio 1 piazza bologna 3 san basilio 5 aldo moro 3
termini 2 annibaliano 4 casal boccone 4 via appia nuova 10
repubblica 1 libia 4 fidene 4 villa ada 2
barberini 1 conca d'oro 4 ottavia 19 villa borghese 2
spagna 1 jonio 4 torrevecchia 18 parco degli scipioni 1
flaminia 20 tiburtina 5 monte spaccato 18
Ottaviano 19 monti tiburtini 5 viale egeo 12
5 / 24

6. 𝑐𝑖𝑗 = 𝑑𝑖𝑗 ∗ 𝑘𝑗 ∗ 𝑚
Cij : costo di afferenza del cliente i all’impianto j.
m = 250 : fattore di scala.
𝑑𝑖𝑗 = (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 )2 + (𝑦𝑖 − 𝑦𝑗 )2
dij : distanza (in linea d’aria) tra il cliente i e l’impianto j.
( xi ; yi ) = coordinate del cliente i.
( xj ; yj ) = coordinate dell’impianto j.
6 / 24

7. Per l’assegnazione
delle coordinate a
Impianti e Clienti,
abbiamo definito un
sistema di riferimento
che ricoprisse
interamente Roma.
7 / 24

8. kj : fattore caratterizzante l’impianto j, con 0 < kj < 1 .
È calcolato come la media aritmetica di 6 componenti, che definiscono la
presenza o meno di punti strategici:
• Centro Commerciale
• Piazza
• Fermata Metro
• Stazione / Capolinea bus
• Zona turistica
• Università
I valori assegnati a ciascuna componente sono :
• 0.25 : incidenza elevata
• 0.7 : incidenza media
• 1 : incidenza nulla
Impianto CC Piazza Metro Stazione ZT Università K
Termini 1 0.7 0.25 0.25 0.25 1 0.575
8 / 24

9. 𝑓𝑗 = 𝑑𝑗
′
∗ 𝑘𝑗 ∗ 𝑐𝑓
fj : costo di attivazione dell’impianto j.
cf : costo fisso unitario.
È calcolato come prodotto di due contributi, dove
dj :fattore densità, considerato come caratterizzante dell’impianto in termini di
dimensione/capacità del servizio.
kj: fattore precedentemente descritto
Impianto Densità municipio dj
’
Termini 90.8 1.908
𝑑𝑗
′
= 1 +
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡à(𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑛𝑖𝑐𝑖𝑝𝑖𝑜)
100
9 / 24

10. z(x,y) = funzione obiettivo
xi = variabile di attivazione (vettore a componenti 0-1)
yij = variabili di allaccio (vettore a componenti 0-1)
(1) = vincolo di servizio
(2) = vincolo di attivazione
min 𝑧 = 𝑐𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗
𝑗 ∈𝐽
+ 𝑓𝑗 𝑥𝑗
𝑗∈𝐽𝑖∈𝐼
𝑦𝑖𝑗
𝑗∈𝐽
= 1 𝑖𝜖𝐼
𝑥𝑗 − 𝑦𝑖𝑗 ≥ 0 𝑖𝜖𝐼 , 𝑗𝜖𝐽
𝑥𝑗 𝜖 0,1 , 𝑦𝑖𝑗 𝜖 0,1 𝑖𝜖𝐼 , 𝑗𝜖𝐽
(1)
(2)
10 / 24

11. Z
Z*
Z’
Gap
Trovare una soluzione del problema con
l’algoritmo Greedy, migliorando il risultato con
l’euristica della Ricerca Locale.
Confrontare la soluzione ottenuta, con il Lower
Bound per definire il “GAP”, ovvero il
certificato di qualità della soluzione trovata.
Trovare un buon “Lower Bound” del problema
attraverso l’algoritmo Dualoc.
11 / 24

12. L’algoritmo Dualoc di ascesa duale è un algoritmo che consente di
produrre un Lower Bound sul valore ottimo del problema rilassato, in
modo molto efficiente e di qualità accettabile.
In altre parole, lo scopo è di rinunciare in parte alla qualità che si
otterrebbe risolvendo all'ottimo il problema, in cambio di una sostanziale
riduzione dei tempi di calcolo.
L'idea di fondo è di applicare il teorema della dualità debole: il valore della
funzione obiettivo di una qualunque soluzione ammissibile per il problema
duale è un Lower Bound per il valore della soluzione ottima del problema
primale.
Dunque, l'idea è di riuscire, in modo efficiente, a produrre una soluzione
ammissibile per il problema duale di qualità "buona".
12 / 24

13. min 𝑧 = 𝑐𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗
𝑗 ∈𝐽
+ 𝑓𝑗 𝑥𝑗
𝑗 ∈𝐽𝑖∈𝐼
𝑦𝑖𝑗
𝑗∈𝐽
= 1 𝑖𝜖𝐼
𝑥𝑗 − 𝑦𝑖𝑗 ≥ 0 𝑖𝜖𝐼 , 𝑗𝜖𝐽
𝑥𝑗 𝜖 0,1 , 𝑦𝑖𝑗 𝜖 0,1 𝑖𝜖𝐼 , 𝑗𝜖𝐽
min 𝑧 = 𝑐𝑖𝑗 𝑦𝑖𝑗
𝑗 ∈𝐽
+ 𝑓𝑗 𝑥𝑗
𝑗 ∈𝐽𝑖∈𝐼
𝑦𝑖𝑗
𝑗∈𝐽
= 1 𝑖𝜖𝐼
𝑥𝑗 − 𝑦𝑖𝑗 ≥ 0 𝑖𝜖𝐼 , 𝑗𝜖𝐽
𝑥𝑗 ≥ 0 , 𝑦𝑖𝑗 ≥ 0 𝑖𝜖𝐼 , 𝑗𝜖𝐽max 𝑔(𝑧) = 𝑧𝑖
𝑖∈𝐼
𝑤𝑖𝑗
𝑖∈𝐼
≤ 𝑓𝑗 𝑗𝜖𝐽
𝑧𝑖 − 𝑤𝑖𝑗 ≥ 0 𝑖𝜖𝐼 , 𝑗𝜖𝐽
𝑤𝑖𝑗 ≥ 0 𝑖𝜖𝐼 , 𝑗𝜖𝐽
Primale
Duale (del rilassamento)
Rilassamento del Primale
13 / 24

14. Funzionamento:
Partendo dalla soluzione data dalla seguente relazione,
l'algoritmo fissa un ordinamento delle variabili duali zi , dopo di che,
seguendo questo ordinamento, si procede ad aumentare ciascuna
variabile (senza toccare le altre) della massima quantità che consente di
mantenere l'ammissibilità duale della soluzione.
Alla fine, avremo una soluzione duale, e dunque un Lower Bound, di
qualità senz'altro superiore a quella di partenza.
Tale massima quantità può essere facilmente calcolata in forma chiusa
come segue:
𝑧𝑖 = 𝑚𝑖𝑛𝑗∈𝐽 𝑐𝑖𝑗 𝑖 ∈ 𝐼
𝑧 𝑠
𝑚𝑎𝑥
= 𝑚𝑖𝑛𝑗𝜖𝐽 {𝑐 𝑠𝑗 + 𝑓𝑗 − 𝑤𝑖𝑗
𝑖≠𝑠
𝑧𝑖 = 𝑚𝑖𝑛 𝑗∈𝐽 𝑐𝑖𝑗 𝑖 ∈ 𝐼
𝑤𝑖𝑗 = 𝑚𝑎𝑥 0 , 𝑧𝑖 − 𝑐𝑖𝑗 𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑗 ∈ 𝐽
14 / 24

15. L’algoritmo aggiorna di volta in volta il valore di zs , passando poi a cercare di
aumentare (non è detto che zmax sia maggiore del valore già presente)
la successiva variabile, in base all’ordinamento prescelto.
Ovviamente, nei passi successivi sarà utilizzato il valore aggiornato delle variabili.
𝑧 =
𝑧1
𝑧2
.
.
.
𝑧|𝐼|
𝑧 =
𝑧1
𝑚𝑎𝑥
𝑧2
𝑚𝑎𝑥
.
.
.
𝑧|𝐼|
𝑚𝑎𝑥
15 / 24

16. Il valore del Lower Bound, si ricava sommando tutte le componenti del vettore z
precedentemente trovato.
Per il nostro problema :
z = (814,637,686,325,442,815,551,502,812,229,205,670,924,333,513,458,
440,318,975,493,856,928,928,594,802,1092,817,1172,1502,621,793,1002,
962,1244,1030,3256,2033,1353,3099,1060,531,1073,2319,2288,758,500,
832,1312,2327,1224,3587,3248,247,951,4197,520,1094,1023,1113,1384,
3361,1211,801,693,1409,1262,1679,751,1083,2858,1386,1084,616,475,
503,475,2868,1211,500,799,559,2121,1274,1346,727,195,542)
g(z) = 98 603
16 / 24

17. Per individuare una soluzione accettabile e piuttosto buona, utilizziamo
l’algoritmo euristico Greedy.
Il Greedy cerca di ottenere una soluzione ottima da un punto di vista globale
attraverso la scelta della soluzione più “golosa” ad ogni passo locale.
Questa tecnica consente, dove applicabile (infatti non sempre si arriva ad una
soluzione ottima), di trovare soluzioni ottimali per determinati problemi in un
tempo polinomiale.
𝑇 è 𝑙𝑎
𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝐺𝑟𝑒𝑒𝑑𝑦
𝑇 = ∅ ; 𝑐 𝑇 = ∞
𝑄∗
= min 𝑐 𝑇 ∪ 𝑘 : 𝑘 ∉ 𝑇 , 𝑇 ∪ 𝑘 𝑠𝑜𝑙. 𝑝𝑎𝑟𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒
𝑘∗
= arg min 𝑐 𝑇 ∪ 𝑘 : 𝑘 ∉ 𝑇 , 𝑇 ∪ 𝑘 𝑠𝑜𝑙. 𝑝𝑎𝑟𝑧𝑖𝑎𝑙𝑒
𝑇 ∈ 𝑆
𝑄 > 𝑐(𝑇)
si no
𝑇 = 𝑇 ∪ 𝑘∗
17 / 24

18. Cerchiamo ora di migliorare la soluzione Greedy attraverso l’algoritmo di Ricerca
Locale.
Tale algoritmo non fa altro che confrontare la soluzione del Greedy con altre
soluzioni ammissibili, scelte secondo un preciso “intorno”.
Il metodo che abbiamo adottato prevede un “intorno di scambio”, cioè le
soluzioni che la Ricerca Locale andrà ad analizzare, sono ricavate a partire dalla
soluzioni Greedy, sostituendo ad ognuno degli impianti trovati, tutti i restanti
impianti “scartati”.
Definito :
𝐹 ∈ 𝜃 𝐹𝑖 ⟺ 𝐹 = 𝐹𝑖 ∪ 𝑗 − 𝑘 : 𝑘 ∈ 𝐹𝑖 , 𝑗 ∉ 𝐹𝑖 , 𝐹 ∈ 𝑆
L’algoritmo di Ricerca Locale avrà la seguente struttura:
18 / 24

19. 𝐹 è 𝑙𝑎
𝑛𝑢𝑜𝑣𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒
𝐹0 ∈ 𝑆 ; 𝑘 = 0
𝑄∗
= min 𝑐 𝐹 : 𝐹 ∈ 𝜃(𝐹𝑘 )
𝐹𝑘+1 = arg min 𝑐 𝐹 : 𝐹 ∈ 𝜃(𝐹𝑘 )
𝑄∗
> 𝑐(𝐹𝑘)si no
𝑘 = 𝑘 + 1
19 / 24

20. Per il nostro problema :
c(TGreedy) = 99 639
c(TRL) = 99 417
La Ricerca Locale ha migliorato la soluzione del Greedy, abbassando il costo di ben 222.
20 / 24

21. Termini Ponte Lungo Piazza Cola di Rienzo
Palalottomatica San Basilio Trastevere
Ponte Mammolo Tuscolano Viale Egeo
Porta di Roma Ospedale San Camillo Barberini
Torre Spaccata 2 Piazza Istria Valle Aurelia
San Pietro Monte Spaccato Colosseo
Parco dè Medici Torre Maura Viale Jonio
Viale di Tor di Quinto Roma Est Roma eur
Battistini Centocelle Tiburtina
Conca d’oro Flaminia Viale Libia
Cecchignola Via Appia Nuova Piazzale Aldo Moro
Garbatella Roma 70 Torre Spaccata 1
San Lorenzo Policlinico Gemelli Casal Boccone
Ottavia Fidene San Giovanni
Piazza Venezia Piazza Bologna Piazza di Spagna
21 / 24

22. Il “Simplesso Dinamico” è un metodo per la risoluzione di problemi di
Programmazione Lineare.
simplessoDinamico.run
simplessoDinamico1.run
simplessoDinamico2.run
.
.
.
simplessoDinamico29.run
oracolo.run
simplessoDinamico.mod
simplesso1.dat
simplesso2.dat
.
.
.
simplesso29.dat
22 / 24

23. Avendo un problema di dimensione maggiore di 300variabili x 300vincoli , abbiamo
suddiviso la matrice dei costi in 29 sotto-matrici (3x74)
costituite da tutti gli impianti e da 3 clienti (il max consentito),
in modo tale da non precludere a nessun cliente la possibilità
di essere servito da un determinato impianto.
Cosi facendo, abbiamo ottenuto 29 soluzioni parziali che generano un risultato totale (
= 110245 ) decisamente maggiore (peggiore) di quello trovato in precedenza.
Tale conclusione era prevista, in quanto non si considera il problema nella sua
interezza.
Si osserva che la soluzione trovata dal “simplesso Dinamico” non è particolarmente
lontana da quella evidenziata dagli algoritmi Dualoc-Greedy-Local Search.
23 / 24

24. Cliente Impianto Cliente Impianto Cliente Impianto Cliente Impianto
campitelli Colosseo nomentano Policlinico parco dè medici Parco dè Med. primavalle Ottaviano
campo marzio Spagna tiburtino Policlinico europa Viale Egeo trieste Annibaliano
castro pretorio Termini casal boccone Casal boccone fonte ostiense Palalottom. colli dell'aniene Pte Mammolo
celio Colosseo castel giubileo Fidene giuliano dalmata Palalottom. tor sapienza Pte Mammolo
colonna Piazza Venezia conca d'oro Conca d’oro torrino Roma Eur tuscolano Pigneto
esquilino Aldo Moro marcigliana Porta di Roma portonaccio Tiburtina pigneto Pigneto
ludovisi Barberini piazza sempione Jonio Corviale San Camillo torre spaccata Torre spaccata 1
monti Barberini val melaina Jonio casetta mattei Parco dé Med. don bosco Tuscolano
parione San Pietro vigne nuove Porta di Roma borgo San Pietro re di roma San Giovanni
pigna Piazza Venezia pietralata Tiburtina prati Cola di Rienzo torre maura Torre Maura
ponte Termini ponte mammolo Pte Mammolo tomba di nerone Ottavia acqua vergnie Roma Est
regola Piazza Venezia san basilio San Basilio tor di quinto Viale Tor di Q. appio latino Amba Aradam
ripa Trastevere torraccia San Basilio appio pignatelli San Giovanni ottavia Ottavia
s. angelo San Pietro alessandrino Torre Maura cecchignola Cecchignola monte spaccato Monte Spaccato
s. eustachio Piazza Venezia la rustica Roma Est ostiense Garbatella garbatella Garbatella
sallustiano Termini prenestino San Lorenzo gianicolense San Camillo marconi Viale Egeo
trastevere Trastevere tor tre teste Centocelle la pisana San Camillo fleming Viale Tor di Q.
trevi Termini appio claudio Tuscolano portuense San Camillo cortina d'ampezzo Viale Tor di Q.
flaminio Piazzale Clodio centocelle Centocelle trionfale Gemelli libia Libia
parioli Flaminia ardeatino Roma 70 della vittoria Cola di Rienzo san lorenzo San Lorenzo
pinciano Flaminia torricola Via Appia Nuo. aurelio Valle Aurelia piazza bologna Piazza Bologna
salario Piazza Istria magliana Viale Egeo Casalotti Battistini
Impianti attivati dal Simplesso Dinamico e non dal Dualo-Greedy-Local Search.
24 / 24