Il documento illustra il concetto di derivata in relazione alla retta tangente a una curva, definendo la derivabilità di una funzione in un punto attraverso il limite del rapporto incrementale. Viene chiarito che la derivata misura la rapidità di variazione della funzione e si discute l'importanza di punti stazionari e applicazioni della derivata in geometria e fisica, come velocità e accelerazione. Infine, si enfatizza che la continuità non è sufficiente per garantire la derivabilità.

1. La derivata
Docente Grazia Cotroni classi V A e V B

2. Un po’ di storia
Uno dei problemi classici che portarono al
concetto di derivata è quello della
determinazione della retta tangente a una
curva in un punto.
In geometria analitica, quando si deve
determinare la tangente ad una conica essa
si definisce come quella retta che interseca
la conica stessa soltanto nel punto P.
Quando però le funzioni sono più
complicate, questa definizione non è
sempre corretta.

3. Definizione di tangente
Per ottenere una definizione valida in generale, occorre richiamare il concetto di limite,
pensando al procedimento secondo il quale si può approssimare la tangente mediante
rette secanti che le si avvicinano sempre di più.
Definizione di retta tangente:
La retta tangente ad una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante
PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P.

4. Un’osservazione importante
La retta tangente segue l’andamento della curva
vediamolo

5. Significato geometrico
Data la funzione y = 𝑓 𝑥 definita in un intervallo 𝑎, 𝑏 e preso 𝑥0 interno all’intervallo
si consideri un incremento ℎ tale che 𝑥0 + ℎ appartenga ancora all’intervallo in cui la
funzione è definita.
Indicheremo con i simboli f
e x le seguenti differenze:
 l’incremento della funzione
f = f(x0+h) – f(x0)
 L’incremento della variabile indipendente
x = x0+h – x0 = h

6. P e Q hanno le seguenti coordinate: 𝑃 𝑥0, 𝑓 𝑥0 Q 𝑥0 + ℎ, 𝑓 𝑥0 + ℎ e grazie alle formule
studiate in geometria analitica si può calcolare il coefficiente angolare
∆𝑓
∆𝑥
= 𝑡𝑔α = 𝑚 𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑃 𝑒 𝑄 =
𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓 𝑥0
ℎ
(infatti la retta passante per 𝑃1 𝑒 𝑃2 𝑎𝑣𝑒𝑣𝑎 𝑖𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
).
Ora se si guarda l’animazione
Si può notare che quando Q coincide con P la retta secante in P e Q diventa la retta tangente
in P e infatti quando si considera il limite per ℎ → 0 si ottiene il coefficiente angolare della
retta tangente nel punto P.
Allora si può concludere che
lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0
ℎ
= 𝑓′
𝑥0 = 𝑚 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒(𝑃)

7. Definizione: funzione derivabile in un punto
Una funzione si dice derivabile in un punto x0 se esiste ed è finito il
limite del rapporto incrementale della funzione quando l’incremento h
della variabile tende a zero, cioè se esiste ed è finito il seguente
limite:
h
)f(xh)f(x
lim 00
0

h
Il risultato del precedente limite lo diremo derivata della f(x) nel punto
x0 e lo indicheremo con il simbolo:
Se il precedente limite non esiste (cioè il limite destro e sinistro
sono diversi), oppure non dà come risultato un numero finito,
allora diremo che la funzione f(x) non è derivabile nel punto x0 DERIVATE 3/6
h
)f(xh)f(x
lim)(x'f 00
0
0


h

8. Punti di non derivabilità
Punto angoloso:
Il limite destro e sinistro del rapporto
incrementale sono finiti ma non sono
uguali.
Punto di cuspide:
Il limite del rapporto incrementale non
esiste e non ha un valore finito.
Punto a tangente verticale:
Il limite destro e sinistro è lo stesso ma
non è finito

9. Le notazioni
La notazione df(x0)/dx è stata introdotta da Leibniz nel 1675 ca. e i simboli
df(x0) e dx indicano i rispettivi valori infinitesimi (cioè entità numeriche
infinitamente piccole).
La condizione di continuità di una funzione è necessaria ma non sufficiente per la
derivabilità; ad esempio la funzione a valore assoluto f(x)=|x| è continua ma non
derivabile nel punto x0=0 (poiché il limite calcolato per x>0 è diverso da quello
calcolato per x<0).

10. La derivata di una funzione in un punto x0 , che indicheremo col
simbolo f’(x0), è un numero che misura la variazione della f(x) in un
intorno del punto, ovvero la “rapidità” con cui cresce o decresce la f(x)
in un intorno di x0 . La derivata risulta quindi essere legata alla
pendenza del grafico della funzione in un intorno di x0 :
f(x)
O x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6
x
f ’(x0)=2
.
.
f ’(x2)=0
.
f ’(x3)=-1
.f ’(x4)=-2
.
f ’(x5)=0
.f ’(x6)=4.
f ’(x1)=1
DERIVATE 1/6

11. In particolare… si può notare che
Quando la funzione è
decrescente la derivata
prima è negativa,
quando è crescente la
derivata prima è
positiva,
quando è uguale a zero
è un punto stazionario

12. Punti stazionari
Per trovare i punti stazionari
Cioè i punti di massimo, di minimo o di flesso a tangente orizzontale occorre
imporre la derivata prima uguale a zero
N.B. si chiamano punti stazionari perché potrebbero essere visti come punti di
equilibrio stabile (il minimo) o instabile (massimo o flesso a tangente
orizzontale), quindi una pallina posizionata bene in quei punti potrebbe
«stazionare», cioè rimanere ferma.

13. APPLICAZIONI DELLA DERIVATA IN
GEOMETRIA ANALITICA
 LA RETTA TANGENTE IN P
Ricordando che l’equazione della retta passante per un punto è
y – y0 = m (x – x0) allora sostituendo il coefficiente angolare e le coordinate
del punto P l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di
ascissa x0 è:
y – f(x0) = f ’(x0)  ( x – x0)

14. APPLICAZIONI DELLA DERIVATA IN FISICA
Quasi tutte le grandezze fisiche dipendono da altre grandezze o parametri,
quindi il significato fisico della derivata è proprio quello di definire in che modo
varia una grandezza fisica rispetto alla sua variabile correlata (ma ciò è vero solo
se questa grandezza può essere espressa da una funzione continua e derivabile).
Nota: naturalmente una grandezza fisica può dipendere da più variabili; il
concetto di derivata si può in effetti estendere a più variabili.

15. La velocità
Consideriamo il rapporto Δ s /Δ t tra lo spazio percorso e l'intervallo di tempo
impiegato a percorrerlo che, come sappiamo dalla fisica, rappresenta la velocità
media del punto mobile nel tempo Δ t. Ma tale rapporto è anche il rapporto
incrementale della funzione spazio relativo all'istante generico t e all'incremento
Δ t . Facciamo tendere a zero l'incremento Δ t del tempo: sappiamo che, così
facendo, la velocità media tende, in generale, a un limite v che rappresenta la
velocità istantanea o velocità all'istante t .
lim
∆𝑡→0
∆𝑠
∆𝑡
= 𝑣
Se consideriamo il grafico della equazione oraria nel piano cartesiano 𝑠 𝑡 ,t la
velocità del corpo in questione è, in ogni istante, data dal coefficiente angolare
della retta tangente all' equazione oraria nell' istante considerato. I punti di
massimo e/o di minimo relativo di 𝑠 𝑡 sono punti nei quali il corpo inverte il suo
moto e conseguentemente la sua velocità è zero in quanto la tangente alla curva
𝑠 𝑡 è parallela all'asse delle ascisse cioè all'asse dei tempi.

16. L’ACCELERAZIONE
Il rapporto incrementale
∆𝑣
∆𝑡
rappresenta l'accelerazione media di un punto mobile nel tempo
Δt .
Se ∆𝑡 tende a zero e il limite esiste ed è finito, se cioè la funzione v(t) è derivabile, allora
tale limite rappresenta l'accelerazione. Ma, essendo v(t) a sua volta la derivata dello spazio
rispettoal tempo, l’accelerazione istantanea sarà sia la derivata della velocità ma anche la
derivata seconda dello spazio rispetto al tempo.
𝑎 𝑡 = lim
∆𝑡→0
∆𝑣
∆𝑡
= 𝑠′′
(𝑡)

17. La corrente elettrica
Sia q=q(t) la quantità di carica elettrica che nell'intervallo di tempo 0, 𝑡 attraversa la
sezione di un conduttore; diamo a t un incremento Δ t e sia q(t +Δ t) la quantità di carica
che attraversa la stessa sezione nell'intervallo 0, 𝑡 + ∆𝑡 . Sappiamo che il rapporto
ghgghhhggk bòà .tsytra la quantità di elettricità che passa nella sezione del
conduttore nell'intervallo di tempo Δ t e Δ t stesso indica l'intensità media della corrente
elettrica in quel conduttore relativamente all'intervallo di tempo 𝑡, 𝑡 + ∆𝑡 . Inoltre
sappiamo che, se
lim
∆𝑡→0
𝑞 𝑡+∆𝑡
∆𝑡
esiste ed è finito, esso d il valore dell'intensità della corrente all'istante t.