Il documento tratta delle rette asintotiche, spiegando cosa costituisce un asintoto di una funzione e come calcolarli per vari tipi: orizzontali, verticali e obliqui. Viene descritta la metodologia per determinare l'esistenza di asintoti tramite limiti e condizioni specifiche per le funzioni. Infine, si discute un caso particolare per funzioni razionali fratte e la relativa equazione dell'asintoto.

1. Rette asintotiche o asintoti
Una retta costituisce un
asintoto per il grafico di
una funzione se,
considerato un generico
punto P del grafico e
calcolata la sua distanza
dalla retta, si verifica che
tale distanza tende a
zero, al tendere di P
all’infinito.
x
y
O
P
H
In simboli: limP-> ∞ PH = 0

2. Si tratta di esplicitare il calcolo simbolico della
definizione. A tale scopo occorre:
a) calcolare la distanza punto-retta, e
b) di stabilire come far tendere il punto P all’infinito.
Si presentano tre casi:
1. La retta asintotica è parallela all’asse x (si parla di
asintoto orizzontaleasintoto orizzontale).
2. La retta è parallela all’asse y ( si parla di asintotoasintoto
verticale).verticale).
3. La retta è una generica retta del piano: né parallela
ad un asse né all’altro ( si parla di asintoto obliquoasintoto obliquo)

3. ASINTOTO ORIZZONTALE
In questo caso il limite della definizione di asintoto si
esplicita nel seguente modo:
La distanza PH è espressa da:
PH = | f(x) – l |
e per far tendere P
all’infinito occorre far
tendere la sua ascissa x ad
infinito. In conclusione:
limx-> ∞ | f(x) – l | = 0limx-> ∞ | f(x) – l | = 0
y = l
x
y
O
P(x;f(x))
Hf(x)
l

4. ASINTOTO VERTICALE
x
y
O
P(x;f(x))
x = xo
xo
In questo caso il limite della definizione di asintoto si
esplicita nel seguente modo:
La distanza PH è espressa
da:
PH = | x – xO |
e per far tendere P
all’infinito occorre far
tendere la sua ascissa x ad
xO. In conclusione:
limx-> xo
| x – xO | = 0limx-> xo
| x – xO | = 0

5. ASINTOTO OBLIQUO
x
y
O
In questo caso il limite della definizione di asintoto si
esplicita nel seguente modo:
La distanza PH, dalla retta asintotica y = mx + q è
espressa da:
| mx – f(x) + q |
PH = ————————
√ m2
+ 1
il punto P tende
all’infinito per x
tendente all’infinito:
P(x;f(x))
H
y = mx +q

6. Il limite della definizione diventa:
limx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0
( siccome il risultato deve essere zero, la quantità al
denominatore, in quanto costante numerica, può essere
trascurata).
Va notato che tutte le quantità presenti nella
definizione sono note:
1. l’equazione della retta y = mx + q,
2. l’equazione f(x) della funzione,
3. il risultato del limite.

7. Fine della trattazione teorica
Termina lo svolgimento della teoria relativa agli
asintoti di una funzione.
Ora si apre il capitolo applicativo della teoria relativo
alla ricerca degli eventuali asintoti di una funzione di
equazione assegnata.

8. PROBLEMA INVERSO
Si pone il problema di stabilire sotto quali condizioni
una data funzione ammette asintoti.
Caso dell’asintoto orizzontaleCaso dell’asintoto orizzontale.
Ipotesi: se la funzione y = f(x), è tale che il limite:
limx-> ∞ f(x),
esiste e vale l, finito, cioè se si verifica che:
limx-> ∞ f(x) = l
Tesi: allora il grafico della funzione ammette asintoto
orizzontale y = l.

9. Caso dell’asintoto verticaleCaso dell’asintoto verticale.
Ipotesi: se la funzione y = f(x), è tale che il limite:
limx-> xo
f(x),
esiste e vale infinito, cioè se si verifica che:
limx-> xo
f(x) = ∞
Tesi: allora il grafico della funzione ammette asintoto
verticale: x = xo.

10. Asintoto obliquo
Premessa:
Condizione necessaria affinché la funzione f(x)
ammetta asintoto obliquo è che risulti:
limx-> ∞ f(x) = ∞
N.B.: il limite infinito costituisce solo una condizione necessaria:
Se tale limite è verificato NON è detto che la funzione ammetta
asintoto obliquo.
Comunque se tale limite NON è verificato allora la funzione NON
ammette asintoto obliquo.

11. Caso dell’asintoto obliquoCaso dell’asintoto obliquo.
In questo caso si tratta di calcolare i coefficienti
dell’equazione della retta asintotica:
y = mx + q.
Quindi il problema consiste nel ricercare le incognite
del problema: i due coefficienti mm e qq.
A questo scopo ricorriamo alla definizione data di
asintoto obliquo, espressa dal limite:
limx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0.
in cui, ora, m e q figurano come parametri incogniti.

12. Procedura risolutiva:
Se il limite
limx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0.
risulta nullo, a maggior ragione risulta nullo anche il
limite:
| mx – f(x) + q |
limx-> ∞ ———————— = 0
x
Che può essere scritto:
mx f(x) q
limx-> ∞ | —— - —— + —— | = 0
x x x

13. Da cui si ha:
f(x) q
limx-> ∞ | m - —— + — | = 0
x x
il limite q
limx-> ∞ —
x
vale zero, perciò il limite di sopra diventa:
f(x)
limx-> ∞ | m - —— | = 0
x
Da questa relazione si può ricavare il parametro m:
f(x)
mm = limx-> ∞ —— (*)
x

14. Una volta determinato m, si passa a calcolare il
parametro q.
Dal limite della definizione:
limx-> ∞ | mx – f(x) + q | = 0.
dopo aver sostituito il valore calcolato di mm, si può
ricavare q:
qq = limx-> ∞ [ f(x) - mmx ] (**)
in conclusione la funzione ammette asintoto obliquo
se i due limiti (*) e (**) , che permettono di ricavare i
due parametri mm e qq, esistonoesistono e sono finitifiniti.

15. In conclusione per calcolare un asintoto obliquo si
devono calcolare i due limiti:
f(x)
mm = limx-> ∞ ——
xqq = limx-> ∞ [ f(x) - mmx ]
Questi due limiti devono esistere ed essere finiti.
N.B.: anche se uno dei due risultasse infinito, allora
l’asintoto NON esiste.

16. Caso particolare relativo alle funzioni razionali fratte.
Per le funzioni di equazione:
P(x)
f(x) = ——— con P(x), Q(x) polinomi,
Q(x)
esiste asintoto obliquo quando il grado del numeratore
supera di una unità quello del denominatore.
Si perviene, per via elementare, all’equazione
dell’asintoto eseguendo la divisione P(x) : Q(x) .
Il quoziente di tale divisione dà l’equazione dell’asintoto.

17. Se P(x) è di 1 grado
superiore a quello di Q(x),
allora il quoziente risulta
di 1° grado
P(x) Q(x)
———
………. mx + q
——— quoziente
resto
L’equazione dell’asintoto è data da: y = mx + q .