Dokumen tersebut membahas tentang garis singgung lingkaran, termasuk rumus untuk menentukan panjang garis singgung dari titik di luar lingkaran, persamaan garis singgung jika titik singgung diketahui, dan persamaan garis singgung jika gradiennya diketahui. Juga dijelaskan contoh penerapan rumus-rumus tersebut.

1. PERSAMAAN
GARIS
SINGGUNG
SUATU
LINGKARAN
Menentukan Panjang Garis Singgung dari
Titik di Luar Lingkaran
Menentukan Persamaan Garis Singgung
Lingkaran Jika Titik Diketahui
Menentukan Persamaan Garis Singgung
Lingkaran Jika Gradien Garis Singgung
Diketahui
Menentukan Persamaan Garis Singgung
Lingkaran yang Melalui Sebuah Titik di Luar
Lingkaran
1
2
3
4

2. 1. Menentukan Panjang Garis Singgung Lingkaran dari Titik di Luar Lingkaran
Diketahui Lingkaran berpusat di O(0,0) dan berjari-jari R, serta sebuah titik Α(𝑥1, 𝑦1) di
luar lingkaran.
B
A(𝑥1, 𝑦1)
Jika dari titik A(𝑥1, 𝑦1) yang terletak di luar lingkaran ditarik garis
yang menyinggung limgkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 dititik B, maka:
(𝐴𝐵)2= (𝑂𝐴)2−(𝑂𝐵)2
= ((𝑥1 − 0)2
+ (𝑦1 − 0)2
− 𝑅2
= 𝑥1
2
+ 𝑦1
2
− 𝑅2
𝐴𝐵 = 𝑥1
2 + 𝑦1
2 − 𝑅2
R
O(0,0)
𝐴𝐵 = 𝑥1
2 + 𝑦1
2 − 𝑅2
RUMUS

3. Jika dari titk Α 𝑥1 𝑦1 yang terletak di luar lingkaran ditarik garis yang
menyinggung lingkaran (𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑅2
di titk B, maka:
RUMUS
𝐴𝐵 = (𝑥 − 𝑎)2+(𝑦 − 𝑏)2−𝑅2
BUKTI:
(𝐴𝐵)2
= (𝐴𝑃)2
− 𝑃𝐵 2
= (𝑥1 − 𝑎)2
+ (𝑦1 − 𝑏)2
− 𝑅2
= (𝑥1 − 𝑎)2 + (𝑦1 − 𝑏)2−𝑅2
𝐴𝐵 = (𝑥1 − 𝑎)2 + (𝑦1 − 𝑏)2−𝑅2
Tentukan panjang segmen garis singgung dari titik
(13,0) terhadap lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25.
𝑥2 + 𝑦2 = 25 ⟺ 𝑥2 + 𝑦2 − 25 = 0
Panjang segmen garis singgung = 𝑥1
2 + 𝑦1
2 − 25 = 132 + 02 − 25 = 12
CONTOH
P(a,b)
B
A(𝑥1, 𝑦1)
R

4. 2. Menentukan Persamaaan Garsis Singgung Lingkaran Jika Titik Singgung Diketahui
a. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat titik asal jika titik singgung
diketahui
Gambar berikut memperlihatkan
sebuah lingkaran dengan pusat
titik asal O(0,0) dan jari-jari R, serta
sebuah garis lurus ℓ yang menyinggung
lingkaran tersebut di titik singgung
(x1, y1 ).
Persamaan garis lurus yang menyinggung lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑅2
di titik singgung (𝑥1, 𝑦1 ) adalah:
O
RUMUS
𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 𝑅2
Y
(𝑥1, 𝑦2)
X

5. CONTOH
Tentukan persamaan garis singgung lurus yang
menyinggung lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 25 dititik (3,4)
adalah:
Titik (3,4) → 𝑥1 = 3 dan 𝑦1 = 4
Persamaan garis singgung: 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 𝑅2
3𝑥 + 4𝑦 = 25
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 3𝑥 + 4𝑦 = 25
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N

6. CONTOH
Garis 2𝑥 + 𝑦 = 10 yang menyinggung lingkaran 𝑥2
+
𝑦2
= 20 di tiitk A. Tentukan koordinat titik A.
Cara 1: 2𝑥 + 𝑦 = 10 ⟺ 𝑦 = −2𝑥 + 10
Subtitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran:
𝑥2
+ (−2𝑥 + 10)2
= 20
𝑥2
+ 4𝑥2
− 40𝑥 + 100 − 20 = 0
5𝑥2 − 40𝑥 + 80 = 0
𝑥2
− 8𝑥 + 16 = 0
(𝑥 − 4)2= 0
𝑥1 = 4
𝑦1 = −2.4 + 10 = 2
Jadi koordinat titik Α adalah (4,2)
Cara 2: 𝑥2 + 𝑦2 = 20
Garis singgung 𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 20 ⟺ 2𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 = 20 ⟺ 4𝑥 + 2𝑦 = 20
Haruslah 𝑥1 = 4 dan 𝑦1 = 2
Jadi, koordinat titik A adalah (4,2)
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N

7. b. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a,b) jika titik
diketahui
Gambar berikut menunjukan
sebuah lingkaran dengan pusat
(a,b) dan jari-jari R, serta sebuah
garis lurus ℓ yang menyinggung
lingkaran tersebut di titik singgung
(𝑥1, 𝑦1)
Persamaan garis lurus yang menyinggung lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) dan
jari-jari R di tiitk singgung (𝑥1, 𝑦1) adalah:
•
RUMUS
(𝑥1−𝑎)(𝑥 − 𝑎) +(𝑦1 −𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑅2
ℓ
Y
(A,b)
(𝑥1, 𝑦1)
O X

8. B
U
K
T
I
•
Garis singgung:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚2(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑦1 =
𝑥1−𝑎
𝑦1−𝑏
𝑥 − 𝑥1
(𝑦1−𝑏)(𝑦 − 𝑦1) = −(𝑥1−𝑎)(𝑥 − 𝑥1)
(𝑦1−𝑏)(𝑦 − 𝑏 + 𝑏 − 𝑦1) = −(𝑥1−𝑎)(𝑥 − 𝑎 + 𝑎 − 𝑥1)
(𝑦1−𝑏) 𝑦 − 𝑏 − (𝑦1 − 𝑏)2
= −(𝑥1 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎)(𝑥1 − 𝑎)2
(𝑥1−𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦1 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = (𝑥1 − 𝑎)2
+ (𝑢1−𝑏)2
(𝑥1−𝑎)(𝑥 − 𝑎) + (𝑦1 − 𝑏)(𝑦 − 𝑏) = 𝑅2
𝑚1 = 𝑚 𝑃𝐴 =
𝑦1 − 𝑏
𝑥1 − 𝑎
𝑚1. 𝑚2 = −1
𝑦1 − 𝑏
𝑥1 − 𝑎
. 𝑚2 = −1 𝑚𝑎𝑘𝑎, 𝑚2 = −
𝑥1 − 𝑎
𝑦1 − 𝑏
P(a,b)
R
A(𝑥1, 𝑦1 )

9. CONTOH
Tentukan persamaan garis yang menyinggung
lingkaran (𝑥 + 2)2
+(𝑦 − 5)2
= 25 di titik (=5,7).
PEMBAHASAN
(𝑥 + 2)2+(𝑦 − 5)2= 25
Garis singgung:
(𝑥1+2) 𝑥 + 2 + (𝑦1−3)(𝑦 = −3) = 25
= 5 + 2 𝑥 + 2 + 7 − 3 𝑦 − 3 = 25
−3𝑥 − 6 + 4𝑦 − 12 − 25 = 0
3𝑥 − 4𝑦 + 43 = 0
Jadi, persamaan garis sunggungnya adalah 3𝑥 − 4𝑦 + 43 = 0

10. Jika persamaan lingkaran dalam bentuk 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 9, maka
persamaan garis singgung lingkaran di titik (𝑥1, 𝑦1) adalah:
Rumus di atas bisa juga dusebut dengan metode simetri atau metode bagi
adil karena 𝑥2 ditulis menjadi 𝑥. 𝑥 dan 𝑥 ditulis menjadi
1
2
𝑥 +
1
2
𝑥. Kemudian
setiap pasang x, salah satu dari x diganti menjadi 𝑥1.
RUMUS
CONTOH
Tentukan persamaan garis yang menyinggung
lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 + 10𝑦 + 1 = 0 di titik (5,-2)
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 + 10𝑦 + 1 = 0
Gari singgung:
𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 − 𝑥1 − 𝑥 + 5𝑦1 + 5𝑦 + 1 = 0
5𝑥 − 2𝑦 − 5 − 𝑥 − 10 + 5𝑦 + 1 = 0
4𝑥 + 3𝑦 − 14 = 0
𝑥1 𝑥 + 𝑦1 𝑦 +
1
2
𝐴𝑥1 +
1
2
𝐴𝑥 +
1
2
𝐵𝑦1 +
1
2
𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

11. 3. Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran Jika Gradien Garis Singgung
Diketahui
a. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusl t titik asal jika titik singgung
diketahui
Gambar berikut memperlihatkan sebuah
lingkaran dengan pusat titik asal O(0,0)
dan jari-jari R, serta garis-garis bergradien
m yang menyinggung lingkaran tersebut.
Selalu terdapat sepasang garis bergradien sama yang menyinggung sebuah
lingkaran. Pada gambar di atas, gradien garis ℓ1 sama dengan gradien garis
ℓ2(ℓ1sejajarℓ2)
Persamaan garis-garis bergradien m yang menyinggung lingkaran
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑅2
adal;ah
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑅 1 + 𝑚2
RUMUS
ℓ1
O
ℓ2
X
Y

12. Persamaan lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2…………………………………………….(i)
Persamaan garis singgung 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐……………………………………….(ii)
Subtitusika (ii) ke (i)
𝑥2
+ (𝑚𝑥 + 𝑐)2
= 𝑅2
𝑥2
𝑚2
𝑥2
+ 2𝑚𝑐 + 𝑐2
= 𝑅2
(1 + 𝑚2)𝑥2 + 2𝑚𝑥 + 𝑐2 − 𝑅2 = 0
𝐷 = 0
(2𝑚𝑐)2−4(1 + 𝑚2)(𝑐2−𝑅2) = 0
4𝑚2
𝑐2
− 4(𝑐2
+𝑚2
𝑐2
− 𝑅2
− 𝑚2
𝑅2
) = 0
𝑚2
𝑐2
− 𝑐2
− 𝑚2
𝑐2
+ 𝑅2
+ 𝑚2
𝑅2
) = 0
𝑐2
= 𝑅2
+ 𝑚2
𝑟2
𝑐2
= 𝑅2
1 + 𝑚2
𝑐 = ±𝑅 1 + 𝑚2
Persamaan garis singgung 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
y= 𝑚𝑥 ± 𝑅 1 + 𝑚2 (terbukti)
B
U
K
T
I

13. CONTOH Tentukan persamaan garis bergradien
3
4
yang
menyinggung lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 25
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
Lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25 memiliki jari-jari 5
Persamaan garis singgung: y =
3
4
𝑥 ± 5 1 + (
3
4
)2
=
3
4
𝑥 ± 5 1 +
9
16
=
3
4
𝑥 ± 5
16+9
16
=
3
4
𝑥 ± 5.
5
4
𝑦 =
3
4
𝑥 ±
25
4
4𝑦 = 3𝑥 ± 25
4𝑦 = 3𝑥 + 25 atau 4𝑦 = 3𝑥 − 25
3𝑥 − 4𝑦 + 25 = 0 3𝑥 − 4𝑦 − 25 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 3𝑥 − 4𝑦 + 25 = 0 dan 3𝑥 − 4𝑦 −
25 = 0.

14. Tentukan persamaan garis yang menyinggung
lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 9 dan sejajar dengan garis 𝑦 =
2𝑥 + 7.
CONTOH
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
𝑥2 + 𝑌2 = 9, maka 𝑎 − 0, 𝑏 = 0, 𝑅 = 3
𝑦 = 2𝑥 + 7, maka 𝑚1 = 2
Misalkan gradien garis singgung = 𝑚2
Sejajar ⟺ 𝑚1 = 𝑚2 jadi 𝑚2 = 2
Garis singgung: 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑅 1 + 𝑚2
= 2𝑥 ± 3 1 + 22
= 2𝑥 ± 3 5
𝑦 = 2𝑥 + 3 5 atau 𝑦 = 2𝑥 − 3 5
2𝑥 − 𝑦 + 3 5 = 0 2𝑥 − 𝑦 − 3 5 = 0
Jadi, persamaan garis singgungny adalah 2𝑥 − 𝑦 + 3 5 = 0 dan 2𝑥 − 𝑦 −
3 5 = 0.

15. Tentukan nilai 𝑚 agar garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 5
menyinggung limgkaran 𝑥2
+𝑦2
= 16
CONTOH
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
𝑥2
+ 𝑌2
= 16, berartin 𝑅 = 4
Garis singgung 𝑦 = 𝑚𝑥 + 5 ekuivalen dengan 𝑦 − 𝑚𝑥 ± 𝑅 1 + 𝑚2
Jadi: 5 = ±𝑅 1 + 𝑚2
5 = ±4 1 + 𝑚2
25 = 16(1 + 𝑚2
)
25 = 16 + 16𝑚2
, maka 16𝑚2
= 9
𝑚2 =
9
16
⟺ 𝑚 = ±
3
4
Jadi, nilai 𝑚 = ±
3
4

16. b. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat P(a,b)jika gradien
garis singgung diketahui
RUMUS : Persamaan garis-garis bergradien 𝑚 yang menyinggung limgkarang
(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑅2 adalah:
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑅 1 + 𝑚2
BUKTI: Misalkan garis singgungnya: 𝑦 − 𝑏 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 + 𝑐
Subtitusikan persamaaan garis singgung itu pada persamaan
lingkaran.
(𝑥 − 𝑎)2
+ 𝑚 𝑥 − 𝑎 + 𝑐 2
= 𝑅2
(𝑥 − 𝑎)2+𝑚2(𝑥 − 𝑎)2+2𝑚𝑐 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 = 𝑅2
(1 + 𝑚2
)(𝑥 − 𝑎)2
+2𝑚𝑐 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2
− 𝑅2
= 0
Menyinggung ⟺ 𝐷 = 0
(2𝑚𝑐)2−4(1 + 𝑚2)(𝑐2 − 𝑅2) = 0
4𝑚2
𝑐2
− 2(𝑐2
− 𝑅2
+ 𝑚2
𝑐2
= 𝑚2
𝑅2
) = 0
𝑚2 𝑐2 − 𝑐2 + 𝑅2− 𝑚2 𝑐2 + 𝑚2 𝑅2 = 0
−𝑐2
= −𝑅2
− 𝑚2
𝑅2
𝑐2
= 𝑅2
(1 + 𝑚2
)
𝑐 = ±𝑅 1 + 𝑚2
Jadi; 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑅 1 + 𝑚2 (terbukti)

17. CONTOH
Tentukan persamaan garis bergradien
−4
3
yang
menyinggung lingkaran (𝑥 − 1)2
+ 𝑦 − 2 2
= 25
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
Pada lingkaran (𝑥 − 1)2+(𝑦 − 2)2= 25, pusat lingkaran 𝑎, 𝑏 = 1,2 dan
jari-jari 𝑅 = 5.
Garis singgung: 𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑅 1 + 𝑚2
𝑦 − 2 = −
4
3
𝑥 − 1 ± 5 1 + (−
4
3
)2
𝑦 − 2 =
4
3
𝑥 − 1 ± 5
5
3
3𝑦 − 6 = −4𝑥 + 4 ± 25
4𝑥 + 3𝑦 = 6 + 4 ± 25
4𝑥 + 3𝑦 = 10 + 25 = 35 atau 4𝑥 + 3𝑦 = 10 − 25 = −15
4𝑥 + 3𝑦 − 35 = 0 4𝑥 + 3𝑦 + 15 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya 4𝑥 + 3𝑦 − 35 = 0 dan 4𝑥 + 3𝑦 + 15 = 0

18. Tentukan persamaan garis yang menyinggung
lingkaran (𝑥 − 2)2
+𝑦 + 3)2
= 9 dan tegak lurus
terhadap garis 3𝑥 + 𝑦 + 2 = 0
CONTOH
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
(𝑥 − 2)2
+𝑦 + 3)2
= 9, maka 𝑎 = 2, 𝑏 = −3, 𝑅 = 3
3𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 ⟺ 𝑦 = −3𝑥 − 2 maka 𝑚1 = −3
Tegak lurus ⟺ 𝑚1 . 𝑚2 = −1
−3 . 𝑚2 = −1
𝑚2 =
1
3
Diperoleh gradien garis singgung, 𝑚 = 𝑚2 =
1
3
.
Garis Singgung: 𝑦 − 𝑏 = 𝑚 𝑥 − 𝑎 ± 𝑅 1 + 𝑚2
𝑦 + 3 =
1
3
𝑥 − 2 ± 3 1 +
1
9
𝑦 + 3 =
1
3
(𝑥 − 2) ± 10
3𝑦 + 9 = ((𝑥 − 2) ± 3 10
37 = 𝑥 − 2 − 9 ± 3 10
𝑥 − 3𝑦 − 11 + 3 10 = 0 atau 𝑥 − 3𝑦 − 113 10 = 0

19. 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melallui Sebuah Titik di Luar
Lingkaran
Α 𝑋1, 𝑌1
Persamaan umum garis singgung lingkaran melallui tiitik Α(𝑥1, 𝑦1)yang terletak di luar lingkaran
adalah:
Gradien 𝑚 pada persamaan diatas dapat ditentukan dengan dua cara,
yaitu sebagai berikut.
Cara 1:
a. Subtitusikanpersamaan y − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) ke persamaan lingkaran sehimgga diperoleh
suatu persamaan kuadrat.
a. Dengan mengambil nilai D = 0, akan diperoleh nilai m.
Cara 2:
a. Ubah persamaan y − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) menjadi y − 𝑏1 = 𝑚(𝑥 − 𝑎1) + 𝑐.
b. Subtitusikan c pada persamaan tersebut ke persamaan 𝑐2 = 𝑚𝑅), makaq akan diperoleh
nilai m
R
O
R
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

20. Tentukan persamaan garis yang menyinggung
lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 10 yang ditarik dari titik (4,2).
Persamaan garis singgung melalui titik (4,2) adalah:
𝑦 − 2 = 𝑚 𝑥 − 4
𝑦 = 𝑚𝑥 + 2 − 4𝑚
Subtitusikan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 2 − 4𝑚ke persamaan 𝑥2
+ 𝑦2
= 10.
𝑥2 + (𝑚𝑥 + 2 − 4𝑚)2= 10
𝑥2
+ 𝑚2
𝑥2
+ 2𝑚𝑥 2 − 4𝑚 + (2 − 4𝑚)2
= 10
𝑥2 + 𝑚2 𝑥2 + 4𝑚𝑥 − 8𝑚2 𝑥 + 4 − 16𝑚 + 16𝑚2 − 10 = 0
(1 + 𝑚2
)𝑥2
+ 4𝑚 − 8𝑚2
𝑥 + 16𝑚2
− 16𝑚 − 6 = 0
(4𝑚 + 8𝑚2)2−4(1 + 𝑚2)(16𝑚2 − 16𝑚 − 6) = 0
16𝑚2 − 64𝑚3 + 64𝑚4 − 64𝑚2 + 64𝑚 + 24 − 64𝑚4 + 64𝑚3 + 24𝑚2 = 0
−24𝑚2
+ 64𝑚 + 24 = 0
3𝑚2 − 8𝑚 − 3 = 0
3𝑚 + 1 𝑚 − 3 = 0
𝑚 = −
1
3
∨ 𝑚 = 3
Subtitusikan titik (4,2) pada lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 10
Ternyata 42
+ 22
> 10, ini berarti titik (4,2) terletak diluar
lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 10
CONTOH
P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
C
A
R
A
1

21. P
E
M
B
A
H
A
S
A
N
C
A
R
A
2
Persamaan garis melalui titik (4,2)
𝑦 − 2 = 𝑚 𝑥 − 4
𝑦 = 𝑚𝑥 + 2 − 4𝑚, berarti 𝑐 = 2 − 4𝑚
Agar menyinggung lingkarang 𝑥2 + 𝑦2 = 10, maka:
(2 − 4𝑚)2= 𝑅2(1 = 𝑚2)
4 − 16𝑚 + 16𝑚2 = 10(1 + 𝑚2)
6𝑚2 − 16𝑚 − 6 = 0
3𝑚2 − 8𝑚 − 3 = 0
𝑚 = −
1
3
∨ 𝑚 = 3
Untuk 𝑚 = −
1
3
, maka garis singgung: 𝑦 = −
1
3
𝑥 + 2 − 4 . −
1
3
𝑦 = −
1
3
𝑥 +
10
3
⟺ 𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0
Untuk 𝑚 = 3, maka garis singgung:𝑦 = 3𝑥 + 2 − 4. 3
𝑦 = 3𝑥 − 4 ⟺ 3𝑥 − 𝑦 − 10 = 0
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
𝑥 + 3𝑦 − 10 = 9 dan 3𝑥 − 𝑦 − 10 = 0

22. MATUR SEMBAH
SUWON
(TERIMA KASIH)