Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan rumus persamaan lingkaran, serta contoh soal dan pembahasannya. Termasuk di dalamnya adalah cara menentukan pusat dan jari-jari lingkaran berdasarkan persamaannya, posisi suatu titik terhadap lingkaran, jarak titik ke lingkaran, serta posisi garis terhadap lingkaran.

2. Pusat (0,0)
Berdasarkan definisi lingkaran, maka akan
diperoleh persamaan lingkaran yang
berjari– jari r dan berpusat di titik pangkal
O(0,0). Titik A(x,y) pada Lingkaran. Jari-jari
lingkaran r =
Dengan mengingat kembali rumus jarak
antara dua titik, maka akan diperoleh
rumus persamaan lingkaran: r =
Jadi diperoleh bentuk umum persamaan
lingkaran dengan pusat O(0,0) dan berjari-
jari r adalah :
OP
22
yx 
222
ryx 

3. Contoh soal
Tentukan persamaan lingkaran yang :
• berpusat di O(0, 0) dan r = 3
• berpusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, 4)
• berpusat di O(0, 0) dan meyinggung garis 12x
– 5y – 39 = 0

4. Pembahasan
• Pusat di O(0, 0) dan r = 3
x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 32
x2 + y2 = 9 atau x2 + y2 – 9 = 0
• Pusat di O(0, 0) dan melalui titik A(3, 4)
Karena melalui titik A(3, 4) maka nilai r2 ditentukan
dari x2 + y2 = r2 diperoleh nilai
r2 = 32 + 42 r2 = 25. Jadi persamaan lingkarannya
adalah x2 + y2 = 25.

5. • Pusat di O(0, 0) dan meyinggung garis 12x
– 5y – 39 = 0
Karena menyinggung garis 12x – 5y –
39=0 maka r merupakan jarak titik pusat
O(0, 0) dengan garis 12x – 5y – 39 = 0.
Dengan menggunakan rumus jarak titik
terhadap garis diperoleh jar-jari :
r = r=
r = 3
Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 =
9
22
11
ba
cbyax


22
)5(12
)39(0).5(0.12



6. Pusat (a,b)
Titik A(x, y) pada lingkaran yang
berpusat di P(a,b) dan jari-jari
lingkaran r, sehingga = r. Maka
akan diperoleh rumus persamaan
lingkaran:
Merupakan persamaan baku
lingkaran dengan pusat P(a, b) dan
jari-jari r.
ryyxx  2
12
2
12 )()(
rbyax  22
)()(
222
)()( rbyax 
P(a, b)
r
A(x,y)

7. Contoh soal
Tentukan persamaan lingkaran yang :
• berpusat di P(4, 3) dan r = 6
• berpusat di P(5, -1) dan melalui A(-1, 7)
• berpusat di P(2, 3) dan menyinggung 2x + 3y +
4 = 0

8. Pembahasan
• berpusat di P(4, 3) dan r = 6 maka diperoleh a = 4 dan
b = 3
Persamaan Lingkaran :
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 62
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 36
• berpusat di P(5, -1) dan melalui A(-1, 7), maka r =panjang
PA = . Dengan menggunakan jarak dua titik diperoleh
r = =10
Persamaan Lingkaran :
(x – 5)2 + (y + 1)2 = 102
(x – 5)2 + (y + 1)2 = 100
22
))1(7()51( 
222
)()( rbyax 

9. • berpusat di P(2, 3) dan menyinggung 2x + 3y + 4 = 0
Jari-jari lingkaran merupakan jarak P(2, 3) dengan garis
2x + 3y + 4 = 0, diperoleh :
r = = =
Persamaan lingkaran:
(x – 2)2 + (y – 3)2 =
(x – 2)2 + (y – 3)2 =
13(x – 2)2 + 13(y – 3)2 = 289
2
13
17
13
289
22
11
ba
cbyax


22
32
43.32.2


13
17
222
)()( rbyax 

10. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan berjari-jari r
mempunyai persamaan baku
, jika bentuk ini dijabarkan maka diperoleh :
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, misalkan A = – 2a, B = – 2b dan
C = a2 + b2 – r2 maka diperoleh bentuk umum persamaan
lingkaran :
Dengan Pusat dan jar-jari
222
)()( rbyax 
222
)()( rbyax 
022
 CByAxyx







2
,
2
BA
P C
BA
r 












22
22

11. Contoh soal
Contoh 1
• Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 – 6x + 8y – 24
Jawab :
a. Lingkaran : x2 + y2 – 6x + 8y – 24 = 0 diperoleh A = – 6, B = 8
dan C = – 24
Pusat: = (3, – 4)
Jari – jari =
r = = 7







2
,
2
BA
C
BA













22
22
)24()4(3 22


12. Contoh 2
Lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0 melalui titik (1, 7),
tentukan pusat lingkaran tersebut !
Jawab :
Subtitusi (1, 7) ke lingkaran x2 + y2 + 4x + by – 12 = 0
diperoleh :
12 + 72 + 4.1 + b.7 – 12 = 0
7b = – 42 → b = – 6
Pusat : = (– 2, 3)






2
,
2
BA

13. Posisi Titik Terhadap Lingkaran
Ada tiga kemungkinan posisi suatu titik terhadap lingkaran:
1. Titik terletak pada lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan
ke persamaan lingkaran didapat:
a. atau
b. atau
c.
222
ryx 
222
)()( rbyax 
022
 CByAxyx

14. 2. Titik terletak di dalam lingkaran, jika titik tersebut
disubtitusikan ke persamaan lingkaran didapat :
a. atau
b. atau
c.
3. Titik terletak di luar lingkaran, jika titik tersebut disubtitusikan
ke persamaan lingkaran didapat:
a. atau
b. atau
c.
222
ryx 
222
)()( rbyax 
022
 CByAxyx
222
ryx 
222
)()( rbyax 
022
 CByAxyx

15. Contoh Soal
Tanpa menggambar pada bidang kartesius
tentukan posisi titik A(1, 2) terhadap lingkaran:
• x2 + y2 = 9
• (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10
• x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0

16. Pembahasan
• Titik A(1, 2) dan L x2 + y2 = 9
Subtitusi A(1, 2) ke L x2 + y2 = 9 diperoleh 12 + 22 = 5 < 9. Jadi
A(1, 2) terletak di dalam L x2 + y2 = 9.
• Titik A(1, 2) dan L (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10
Subtitusi A(1, 2) ke L (x – 2)2 + (y + 1)2 = 10 diperoleh (1 – 2)2 +
(2 + 1)2 = 10 = 10. Jadi titik A(1, 2) terletak pada L (x – 2)2 +
(y + 1)2 = 10.
• Titik A(1, 2) dan L x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0
Subtitusi A(1, 2) ke L x2 + y2 + 6x – 2y + 3 = 0 diperoleh 12 + 22 +
6.1 – 2.2 + 3 = 10 > 0. Jadi titik A(1, 2) terletak di luar L x2 + y2 +
6x – 2y + 3 = 0.

17. Jarak Titik pada Lingkaran
1. Titik di luar lingkaran
C
B P
Jarak terdekat titik A dengan lingkaran = AB
AB = AP – PB = AP – r
Jarak terjauh titik A dengan Lingkaran = AC
AC =
dengan r = jari-jari lingkaran.
2222
)()()( rAPPCAP 

 A

18. 2. Titik di dalam lingkaran
B
C
P
A


Jarak terdekat titik A dengan lingkaran = AB
AB = PB – AP = r – AP
Jarak terjauh titik A dengan Lingkaran = AC
AC = CP + AP = r + AP
dengan r = jari-jari lingkaran.

19. Contoh Soal
Diberikan titik A(6, 8) dan L x2 + y2 = 49. Hitunglah
jarak terdekat titik A ke lingkaran L !
Jawab :
Mula-mula kita harus mengetahui posisi titik A
terhadap lingkaran L dengan cara mensubtitusi titik
A(6, 8) ke L x2 + y2 = 49, diperoleh :
A(6, 8) x2 + y2 = 49 62 + 82 = 100 > 49 jadi titik A
berada diluar lingkaran.
Jarak terdekat = AP – r = – 7 = 3
Jadi jarak terpendek titik A ke lingkaran L adalah 3
satuan panjang.
22
)08()06( 

20. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Secara geometri ada 3 kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu :
Dengan D = Diskriminan = b2 – 4ac.
  
(i) Garis memotong L
Syarat : D > 0
(ii) Garis menyinggung L
Syarat : D = 0
(iii) Garis tidak
memotong L
Syarat : D < 0

21. Contoh soal
• Tentukan posisi garis y = x + 10 terhadap L x2 + y2 = 9 !
Jawab :
Subtitusi garis y = x + 10 ke L x2 + y2 = 9, diperoleh:
→ x2 + (x + 10)2 = 9
→ x2 + (x2 + 20x + 100) - 9 = 0
→ 2x2 + 20x + 91 = 0
sehingga nilai a = 2, b = 20 dan c = 91
Nilai D = b2 – 4ac = 4 – 4.20.91 = -328 D < 0
Karena diperoleh D < 0 maka garis y = x + 10 tidak memotong
ligkaran x2 + y2 = 9.

22. • Tentukan posisi garis 2x – y + 1 = 0 terhadap lingkaran x2 + y2 –
4x – 2y + 3 = 0
Jawab :
Karena 2x – y + 1 = 0 maka y = 2x + 1
Subtitusi garis y = 2x + 1 ke L = x2 + y2 – 4x - 2y + 3 = 0,
diperoleh :
→ x2 + y2 – 4x – 2y + 3 = 0
→ x2 + (2x+1)2 – 4x – 2(2x + 1) + 3 = 0
→ x2 + 4x2 + 4x + 1 – 4x - 4x – 2 + 3 = 0
→ 5x2 – 4x + 2 = 0
Sehingga nilai a = 5, b = 4, c = 2
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4. 5. 2 = -24
Karena D<0, maka garis 2x – y + 1 tidak memotong lingkaran
x2 + y2 – 4x – 2y + 2 = 0

23. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
1. Pers. Garis singgung lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran
P(a, b)
Garis g disebut garis singgung Lingkaran L
di titik A(x1, y1).
Catatan :
1. Titik A harus pada lingkaran L.
2. AP tegak lurus dengan garis singgung g.
A(x1,y1)
g

24. Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran di
titik A(x1 , y1) :
Pers. Lingkaran Pers. Garis Singgung
x2 + y2 = r2 x1x + y1y = r2
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x1x + y1y + (x + x1) + (y + y1) + C
= 0 2
A
2
B

25. Contoh soal
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran :
• L x2 + y2 = 5 di titik A(1, -2)
• L (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 di titik B(0, 9)
• L x2 + y2 + 4x + 8y – 21 = 0 di titik C(2, 1)

26. Pembahasan
a. PGS L = x2 + y2 = 5 di titik A(1, -2) berarti x1 = 1,y1 = – 2 dan r2 = 5
PGS = x1x + y1y = r2 → x – 2y = 5 atau x – 2y – 5 = 0. Jadi
persamaan garis singgungnya adalah x – 2y – 5 = 0.
b. PGS L = (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58 di titik B(0, 9)berarti x1 = 0, y1 = 9,
a = - 3, b = 2, r2 = 58
PGS = (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
→ (0 + 3)(x + 3) + (9– 2)(y – 2) = 58
→ 3x + 7y – 63 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya adalah 3x + 7y – 63 = 0.

27. c. PGS L = x2 + y2 + 4x + 8y – 21 = 0 di titik C(2, 1)
berarti x1 = 2, y1 = 1, A = 4, B = 8,
C = – 21.
PGS = x1x + y1y + (x + x1) + (y + y1) + C = 0
→ 2x + 1.y + 2(x + 2) + 4(y + 1) – 21 = 0
→ 4x + 5y – 13 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya adalah
4x + 5y – 13 = 0.
2
A
2
B

28. 2. Pers. Garis singgung lingkaran Melalui suatu Titik di luar
Lingkaran
P
A(x1 , y1)
Q
R
Langkah-langkah menentukan PGS
dari titik di luar lingkaran :
1. Menentukan persamaan garis
kutub ( rumus yang digunakan
sama dengan rumus mencari PGS
lingk. diatas)
2. Menentukan titik singgung
lingkaran (titik Q dan R) dengan
mensubtitusikan pers. Garis kutub
ke pers. Lingkaran.
3. Menentukan persamaan garis
singgung di titik singgung
tersebut
Garis hubung QR disebut Garis
kutub atau garis polar.
Garis hubung AQ dan AR disebut
garis singgung lingkaran.

29. Contoh Soal
• Tentukan PGS pada x2 + y2 = 9 yang dapat ditarik dari titik A(0,
4) !
Jawab :
(i)Menentukan persamaan garis kutub/polar dari titik A(0, 4),
berarti x1 = 0, y1 = 4, r2 = 9
Pers. Grs kutub = x1x + y1y =r2 → 0.x + 4y = 9 y =
4
9

30. (ii) Menentukan titik singgung lingkaran dengan cara mensubtitusi pers. Garis
polar ke pers. Lingkaran.
y = → x2 + y2 = 9
x2 + = 9
x2 = =
x1 = atau x2 =
Jadi titik singgungnya dan
4
9
2
4
9






16
81144 
16
63
4
73
4
73









4
9
,
4
73









4
9
,
4
73

32. 3. Pers. Garis singgung lingkaran dengan Gradien tertentu
P(a, b)
Pers. Lingkaran Pers. Garis Singgung
x2 + y2 = R2
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 2
1 mrmxy 
2
1)( mraxmby 
2
1)( mraxmby 

33. Contoh Soal
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran :
• L x2 + y2 = 9 dengan gradien 2
• L (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 yang sejajar dengan garis
3x + 4y – 1 = 0
• L x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 yang tegak lurus garis
x + 2y = 5

34. Pembahasan
• L = x2 + y2 = 9 dengan gradien 2 berarti m = 2, r = 3
PGS = → y = 2x ± 3
y = 2x ± 3
Jadi persamaan garis singgungnya adalah
y = 2x + 3 dan y = 2x – 3
2
1 mrmxy  2
21
5
5 5

35. • L= (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 yang sejajar dengan garis 3x + 4y – 1 =
0, berarti a = – 2, b = 1, dan r = 2. Gradien garis 3x + 4y – 1 = 0
adalah m1 = . Syarat dua garis sejajar m1 = m2. Jadi m2 =
PGS = → y – 1 = (x + 2) ± 2
y – 1 = (x + 2) ± 2
y – 1 = (x + 2) ±
3y – 3 = – 4x – 8 10
4x + 3y = 3 – 8 + 10 atau 4x + 3y = 3 – 8 – 10
4x + 3y = 5 atau 4x + 3y = – 15
Jadi persamaan garis singgungnya adalah 4x + 3y – 5 = 0 atau
4x + 3y + 15 = 0.
3
4

3
4

2
1)( mraxmby 
3
4
 9
16
1 
3
4
 9
25
3
4

3
10

36. • L = x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 5
Dari L = x2 + y2 – 2x + 6y + 5 = 0 diperoleh A = – 2, B = 6 dan
C = 5
Pusat lingkaran = (1, -3) dan r = =
Dari x + 2y = 5 diperoleh m1 = , karena tegak lurus maka
m1.m2= – 1, diperoleh m2 = 2
PGS =
y + 3 = 2(x – 1) ±
y + 3 = 2x – 2 ± 5
2x – y – 5 ± 5 = 0
Jadi persamaan garis singgungnya adalah 2x – y = 0 atau
2x – y – 10 = 0
591  5
2
1

2
1)( mraxmby 
5 2
21

37. Terima kasih