1. www.matematika-sma.com - 1
20. SOAL-SOAL VEKTOR
UN2004
1. Jika vektor a =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
2
1
; b =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−1
4
5
dan c =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
1
1
4
maka vector a + 2b - 3c = ….
A.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− 8
11
6
B.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− 8
13
7
C.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
2
12
1
D.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
2
13
1
E.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
8
12
6
Jawab:
a + 2b - 3c =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
2
1
+ 2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−1
4
5
- 3
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
1
1
4
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
2
1
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− 2
8
10
-
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
3
3
12
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−+
−+
323
)3(82
12101
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
2
13
1
Jawabannya adalah D
EBTANAS2001
2. Diketahui | a | = 3 , | b | = 1 dan | a - b | = 1.
Panjang vektor a + b = ….
A. 3 B. 5 C. 7 D. 2 2 E. 3
Jawab:
.| a + b | = 222
||)(2 baba −−+
.| a + b | 2
= 2(a 2
+b 2
) - |a - b | 2
= 2 (( 3 ) 2
+ 1 2
) - 1 2
= 2 (4) – 1 = 7
.|a + b | = 7
Jawabannya adalah C
UMPTN1989
3. Ditentukan titik-titik P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17). Jika T
pada ruas garis PQ dan PT:QT = 2 : 1 maka vektor posisi
titik T adalah …
A. (3, -1, 11) C. (2, 0, 11) E. (11, -13, 32)
B. (2, -1, 12) D. (3, 1, 12)
Jawab:
• • •
P 2 T 1 Q
PT:QT = 2 : 1
QT
PT
=
1
2
PT = 2 QT
t - p = 2 (t - q )
t - p = 2t -2 q
2 q - p = 2t - t
t = 2 q - p
= 2 (5,-4,17). - (-1,5,2)
= (10, - 8, 34) – (-1,5,2)
= (11, -13, 32 )
Jawabannya adalah E
EBTANAS1998
4. Diketahui titik A(3,1.-4), B(3,-4,6) dan C(-1,5,4).
Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3 : 2, maka
vektor yang diwakili oleh CP adalah ….
A.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
6
3
4
B.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
6
3
4
C.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
2
7
4
D.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
2
7
4
E.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
2
7
4
Jawab:
• • •
A 3 P B
AP:PB = 3 : 2
PB
AP
=
2
3
2 AP = 3 PB
2 ( p - a ) = 3 (b - p )
2 p - 2 a = 3b - 3 p
3 p + 2 p = 3b + 2a
5 p = 3 b + 2 a

2. www.matematika-sma.com - 2
p =
5
23 ab +
p =
5
4
1
3
2
6
4
3
3
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
5
10
10
15
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
2
2
3
CP = p - c =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
2
2
3
-
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
4
5
1
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
2
7
4
Jawabannya adalah D
EBTANAS2000
5. Diketahui | a | = 6 , (a - b ). (a + b )= 0 dan
a . ( a - b ) = 3. Besar sudut antara vector a dan b
adalah ….
A.
6
π
B.
4
π
C.
3
π
D.
2
π
E.
3
2
π
Jawab:
(a - b ). (a + b )= 0
⇒ a . a - b . b = 0
⇒ 6 - | b | 2
= 0
| b | 2
= 6
| b | = 6
a . ( a - b ) = 3
a . a - a . b . Cos α = 3
a . b . Cos α = a . a - 3
Cos α =
ba
aa
.
3. −
=
6
36 −
=
2
1
`
α = 600
=
3
1800
=
3
π
Jawabannya adalah C
EBTANAS2000
6. Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1) dan C (7, p-1, -5)
segaris untuk nilai p = ........
A. 13 B. 11 C. 5 D. -11 E. -13
Jawab:
• • •
A B C
Titik A, B, C segaris maka kriteria yang harus dipenuhi:
1. AB = k.AC
2. AB = k. BC
2. AC = k. AB
3. AC = k. BC
4 BC = k .AB
5. BC = k. AC
Kita ambil kriteria 1 :
Kriteria 1 :
AB = k.AC
b - a = k (c - a )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
1
2
1
-
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−1
2
3
= k
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
1
2
3
5
1
7
p
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
2
4
2
= k
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
4
3
4
p
-2 = 4.k
k = -
2
1
-4 = -
2
1
.p +
2
3
2
1
.p =
2
3
+ 4
2
1
.p =
2
11
p = 11
Jawabannya adalah B

3. www.matematika-sma.com - 3
EBTANAS2001
7. Diketahui segitiga PQR dengan koordinat titik sudut
P(1,5,8), Q(-2,1,3) dan R(1,-6,0), PQ wakil dari u dan
QR wakil dari v , maka u .v adalah…
A. 34 B. 36 C. 38 D. 40 E. 42
jawab :
PQ = u = q - p =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
3
1
2
-
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
8
5
1
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
5
4
3
QR = v = r -q =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
0
6
1
-
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
3
1
2
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
3
7
3
u .v =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
5
4
3
.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
3
7
3
= -3 . 3 + (-4 . -7) + (-5. -3)
= -9 +28 + 15 = 45 – 9 = 36
Jawabannya adalah B
UAN2006
8. Diketahui vektor-vektor a = 2 i + 4 j + k ,
b = -3 i + m j + 2k dan c = i + 2 j - k .
Vektor a tegak lurus b , maka (b - c ) adalah…
A. -4 i + j + 3k C. -4 i - 4 j + 3k E. -4 i + 3k
B. -4 i - j + 3k D. -4 i + j + 3k
Jawab:
. a . b = |a | |b | cosα
karena vektor a tegak lurus b maka α = 900
sehingga cosα = cos 900
= 0
maka . a . b = | a | |b | cosα
a . b = |a | |b | . 0
a . b = 0
a =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
4
2
; b =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
2
3
m ; c=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−1
2
1
a . b = 0
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
4
2
.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
2
3
m = 0
= 2. -3 + 4m + 2 = 0
= -4 + 4m = 0
4m = 4
m = 1
maka (b - c ) =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
2
1
3
-
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−1
2
1
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
3
1
4
-4 i - j + 3k
Jawabannya adalah B
UAN2007
9. Diketahui segitiga ABC, dengan A (0, 0,0 ), B(2,2,0)
dan C (0,2,2). Proyeksi ortogonal AB pada AC
adalah….
A. j + k C. . - i + k E. -
2
1
i - j
B. i +k D. i + j -
2
1
k
Jawab :
proyeksi orthogonal a pada b :
|c | =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
||
.
b
ba
. b
AB = b - a =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
2
2
-
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
0
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
2
2
AC = c - a =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
2
2
0

4. www.matematika-sma.com - 4
|c | =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
2
||
.
b
ba
. b
=
222
)22(
2
2
0
0
2
2
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
2
2
0
=
8
4
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
2
2
0
=
2
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
2
2
0
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
1
0
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
1
0
= 0 i + j + k = j + k
Jawabannya adalah A
EBTANAS1999
10. Diketahui panjang proyeksi vektor a =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
4
8
2
pada vektor b =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
4
0
p adalah 8. Nilai p=…
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 E. 6
Jawab:
Panjang proyeksi vector a pada vector b :
|c | =
||
.
b
ba
Diketahui :
||
.
b
ba
= 8
16
4
0
4
8
2
2
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
p
p
= 8 ⇒
16
168
2
+
+
p
p
= 8
8p + 16 = 8 162
+p
p + 2 = 162
+p
(p + 2) 2
= ( 162
+p ) 2
p 2
+4p + 4 = p 2
+ 16
p 2
- p 2
+ 4p = 16 – 4
4p = 12
p = 3
jawabannya adalah C