Persamaan lingkaran

1. LINGKARAN
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang
berjarak sama terhadap titik tertentu
Titik tertentu dinamakan titik pusat
Berjarak yang sama dinamakan jari-jari lingkaran
A. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berradius r
A(x,y)
O(0,0)

2. PERSAMAAN LINGKARAN
𝑂𝐴 = 𝑟
(𝑥 − 0)2+(𝑦 − 0)2 = 𝑟 ⟺ 𝑥2 + 𝑦2=𝑟
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 ⟺ 𝑥2 + 𝑦2=169
Contoh
CarilahPersamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dan
a. Berjari-jari 5
b. Melalui titik (5,12)
Jawab:
𝑥2 + 𝑦2 = 25

3. PERSAMAAN LINGKARAN
𝐵. 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟𝑝𝑢𝑠𝑎𝑡 𝑑𝑖 𝑀 ℎ, 𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠 𝑟
M(h,k)
A(x,y)
𝑀𝐴 = 𝑟
(𝑥 − ℎ)2+(𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2

4. PERSAMAAN LINGKARAN
Contoh
CarilahPersamaan lingkaran yang pusatnya (2,3) dan
a. Berjari-jari 5
b. Melalui titik (5,15)
Jawab :
(𝑥 − 2)2
+ (𝑦 − 3)2
= 52
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 =25
b. (5 − 2)2
+ (15 − 3)2
= 𝑟2
32 + 122=𝑟2
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2 = 153

5. PERSAMAAN LINGKARAN
C. Persamaan Umum Lingkaran
Persamaan lingkaran dinyatakan dengan :
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
⟺ 𝑥2 + 𝐴𝑥 + 𝑦2 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
⟺ 𝑥2 + 𝐴𝑥 +
1
4
𝐴2 + 𝑦2 + 𝐵𝑦 +
1
4
𝐵2 = −𝐶 +
1
4
𝐴2 +
1
4
𝐵2
⟺ (𝑥 +
1
2
𝐴)2 + (𝑦 +
1
2
𝐵)2 =
1
4
𝐴2 +
1
4
𝐵2 − 𝐶
⟺ (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
Jadi :ℎ = −
1
2
𝐴, 𝑘 = −
1
2
𝐵, 𝑟 =
1
4
𝐴2 +
1
4
𝐵2 − 𝐶
Pusat(−
1
2
𝐴, −
1
2
𝐵)

6. PERSAMAAN LINGKARAN
Contoh
Carilah titik pusat dan Panjang jari-jari lingkaran tersebut
a. 𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0
b. 8𝑥2 + 8𝑦2 − 12𝑥 + 20𝑦 − 1 = 0

7. PERSAMAAN LINGKARAN
D. Persamaan lingkaran yang melalui tiga buah titik
Contoh :
Carilah persamaan lingkaran yang melalui (2,1), (0,5) dan (-1,2)
Jawab :
Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah :
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Melalui (2,1) didapat :
22 + 12 + 𝐴 2 + 𝐵 1 + 𝐶 = 0 ⟺ 2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = −5 … … … 1
Melalui (0,5) didapat
02
+52
+𝐴 0 + 5 𝐵 + 𝐶 = 0 ⟺ 5𝐵 + 𝑐 = −25……(2)

8. PERSAMAAN LINGKARAN
Melalui (-1,2) didapat
(−1)2+22 + 𝐴 −1 + 𝐵(2) + 𝐶 = 0 ⟺ −𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = −5 … … . 3
Eliminasi (1) dan (3) didapat :
2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = −5 (x 1)
−𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = −5 (x 2)
2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = −5
−2𝐴 + 4𝐵 + 2𝐶 = −10
5𝐵 + 3𝐶 = −15………(4)
Eliminasi (2) dan (4) didapat
5𝐵 + 𝐶 = −25
5𝐵 + 3𝐶 = −15
−2𝐶 = −10 ⟺ 𝐶 = −
10
−2
= 5

9. PERSAMAAN LINGKARAN
−2𝐶 = −10 ⟺ 𝐶 = −
10
−2
= 5
5𝐵 + 𝐶 = −25
5𝐵 + 5 = −25 ⟺ 5𝐵 = −30 ⟺ B = −
30
5
= −6
Subtitusi 𝐵 = −6 𝑑𝑎𝑛 𝐶 = 5 𝑘𝑒 2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = −5, 𝑑𝑖𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡
2𝐴 − 6 + 5 = −5 𝐶 ⟺ 2A = −5 + 6 − 5 = −4 ⟺ 𝐴 = −2
Jadipersamaan lingkarannya : 𝑥2+𝑦2 − 2𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0
Contoh
Carilah persamaan lingkaran yang melalui (3,1), (5,3) dan (6,2)

10. PERSAMAAN LINGKARAN
E. Persmaan lingkaran yang mempunyai Diameter melalui titik (𝒙𝟏,𝒚𝟏) dan (𝒙𝟐,𝒚𝟐)
𝑚𝐴𝑃 =
𝑦𝑝−𝑦𝑎
𝑥𝑝 − 𝑥𝑎
𝑚𝐴𝑃 =
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
𝑚𝐵𝑃 =
𝑦𝑝−𝑦𝑏
𝑥𝑝 − 𝑥𝑏
𝑚𝐵𝑃 =
𝑦−𝑦2
𝑥 − 𝑥2
A(𝑥1, 𝑦1)
B(𝑥2,𝑦2)
P(x,y)
O(0,0)

11. PERSAMAAN LINGKARAN
𝑚∠𝐴𝑂𝐵 = 1800, sedangkan ∠𝐴𝑃𝐵 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑔ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎ℎ
Lingkaran , maka berlaku ∠𝐴𝑃𝐵 =
1
2
∠𝐴𝑂𝐵, maka sudut m ∠𝐴𝑃𝐵 = 900, karena
∠𝐴𝑃𝐵 = 900
, maka 𝐴𝑃 ⊥ 𝐵𝑃, 𝑎𝑘𝑖𝑏𝑎𝑡𝑛𝑦𝑎:
𝑚𝐴𝑃x𝑚𝐵𝑃 = −1
𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥1
𝑥
𝑦−𝑦2
𝑥−𝑥2
= −1
(𝑦 − 𝑦1)(𝑦 − 𝑦2)= −(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)+ (𝑦 − 𝑦1)(𝑦 − 𝑦2)= 0
Contoh
Carilah Persamaan Lingkaran yang mempunyai diameter melalui (1,2) dan (5,8)

12. PERSAMAAN LINGKARAN
(𝑥 − 1)(𝑥 − 5)+ (𝑦 − 2)(𝑦 − 8)= 0
𝑥2 − 6𝑥 + 5 + 𝑦2-10𝑦 + 16 = 0
𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 − 10𝑦 + 21 = 0
Contoh
Carilah Persamaan Lingkaran yang mempunyai diameter melalui (1,2) dan
(5,8)

13. PERSAMAAN LINGKARAN
Latihan Soal
1. Carilah persamaan lingkaran yang pusatnya (6,4) dan menyinggung sb Y
2. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat (2,-3) dan menyinggung garis
3x +4y-4=0
3. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat terletak pada garis 𝑥 + 2𝑦 −
6 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑙𝑢𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 5,4 𝑑𝑎𝑛 1, −2
4. Carilah persamaan lingkaran yang memotong kedua sumbu dan melalui
titik (2,1)
5. Carilah persamaan lingkaran yang melalui titik (1,-1) dan pusat terletak
pada 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 𝑑𝑎𝑚 2𝑥 − 4𝑦 + 13 = 0

14. PERSAMAAN LINGKARAN
1. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat terletak pada garis 𝑥 + 2𝑦 −
6 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑙𝑢𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 5,4 𝑑𝑎𝑛 1, −2
Misalkan persamaan lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Melalui (5,4) didapat :
52 + 42 + 𝐴(5) + 𝐵(4) + 𝐶 = 0
5𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = −41 … … … … … … (1)
melalui (1,−2)didapat
12
+ (−2)2
+𝐴(1) + 𝐵(−2) + 𝐶 = 0
𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −5 … … … … . 2

15. PERSAMAAN LINGKARAN
1. Carilah persamaan lingkaran dengan pusat terletak pada garis 𝑥 + 2𝑦 − 6 =
0 𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑙𝑎𝑙𝑢𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 5,4 𝑑𝑎𝑛 1, −2
Misalkan persamaan lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Melalui (5,4) didapat :
52
+ 42
+ 𝐴(5) + 𝐵(4) + 𝐶 = 0
5𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = −41 … … … … … … (1)
melalui (1,−2)didapat
12 + (−2)2+𝐴(1) + 𝐵(−2) + 𝐶 = 0
𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −5 … … … … . 2
Eliminasi (1) dan (2) Didapat
5𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = −41 -
𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −5 −
4A + 6B = −36 … … … … (3)

16. PERSAMAAN LINGKARAN
5𝐴 + 4𝐵 + 𝐶 = −41 -
𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −5 −
4A + 6B = −36 … … … … 3
2𝐴 + 3𝐵 = −18
Pusat(−
1
2
𝐴,
1
2
𝐵) 𝑡𝑒𝑟𝑙𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑥 + 2𝑦 − 6 = 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 ∶
−
1
2
𝐴 + 2 −
1
2
𝐵 = 6
𝐴 + 2𝐵 = −12 … … … … … 4
Elimanasi (3) dan (4)
2𝐴 + 3𝐵 = −18 (x 1)
𝐴 + 2𝐵 = −12

17. PERSAMAAN LINGKARAN
𝐴 + 2𝐵 = −12 … … … … … 4
Elimanasi (3) dan (4)
2𝐴 + 3𝐵 = −18 (x 1)
𝐴 + 2𝐵 = −12 𝑥2
2𝐴 + 3𝐵 = −18
2𝐴 + 4𝐵 = −24 −
−𝐵 = 6 ⟺ 𝐵 = −6
2𝐴 + 3(−6) = −18
2𝐴 = 0
𝐴 = 0
𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = −5
0 − 2 −6 + 𝐶 = −5
𝐶 = −17 𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑦 − 17 = 0

18. PERSAMAAN LINGKARAN
1. Carilah persamaan lingkaran yang memotong kedua sumbu dan melalui
titik (2,1)
Jawab:
(𝑥 − ℎ)2+(y − ℎ)2 = ℎ2
Melalui (2,1)
(2 − ℎ)2
+(1 − ℎ)2
= ℎ2
4 − 4ℎ + ℎ2 + 1 − 2ℎ + ℎ2= ℎ2
2ℎ2 − 6ℎ + 5 = ℎ2
ℎ2 − 6h + 5 = 0
ℎ2 − 5h − h + 5 = 0
(ℎ2
− 5h) − (h − 5) = 0

19. PERSAMAAN LINGKARAN
(ℎ2
− 5h) − (h − 5) = 0
ℎ ℎ − 5 − 1 ℎ − 5 = 0
ℎ − 5 ℎ − 1 = 0
ℎ = 5 𝑎𝑡𝑎𝑢 ℎ = 1
Sehingga didapat:
(𝑥 − 5)2
+(𝑦 − 5)2
= 52
⟺ (𝑥 − 5)2
+(𝑦 − 5)2
=25
(𝑥 − 1)2+(𝑦 − 1)2 = 12⟺ (𝑥 − 1)2+(𝑦 − 1)2=1

20. PERSAMAAN LINGKARAN
Carilah persamaan lingkaran yang melalui titik (1,-1) dan pusat terletak pada 𝑥 + 2𝑦 − 4 =
0 𝑑𝑎𝑛 2𝑥 − 4𝑦 + 13 = 0
Jawab
Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah :
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Melalui titik 1, −1 𝑑𝑖𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡
12 + (−1)2+𝐴(1) + 𝐵(−1) + 𝐶 = 0
𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = −2
Pusat(−
1
2
𝐴, −
1
2
𝐵) 𝑡𝑒𝑟𝑙𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑥 + 2𝑦 = 4 𝑑𝑖𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡:
−
1
2
𝐴 + 2 −
1
2
𝐵 = 4
𝐴 + 2𝐵 = −8
Pusat(−
1
2
𝐴, −
1
2
𝐵) 𝑡𝑒𝑟𝑙𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 2𝑥 − 4𝑦 = −13 𝑑𝑖𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡:

21. PERSAMAAN LINGKARAN
Pusat(−
1
2
𝐴, −
1
2
𝐵) 𝑡𝑒𝑟𝑙𝑒𝑡𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 2𝑥 − 4𝑦 = −13 𝑑𝑖𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡:
2 −
1
2
𝐴 − 4 −
1
2
𝐵 = −13
2𝐴 + 4𝐵 = 26
2𝐴 − 4𝐵 = 26
𝐴 + 2𝐵 = −8
2𝐴 − 4𝐵 = 26
2𝐴 + 4𝐵 = −16+
4A = 10
A=
5
2
2
5
2
− 4𝐵 = 26 ⟺ −4𝐵 = 26 − 5
𝐵 = −21/4

22. PERSAMAAN LINGKARAN
𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = −2
5
2
+
21
4
+ 𝐶 = −2
10 + 21 + 4𝐶 = −8
4𝐶 = −8 − 31
4𝐶 = −39
𝐶 = −
39
4
Jadi :𝑥2 + 𝑦2 +
5
2
x −
21
4
y −
39
4
= 0 ⟺ 4𝑥2 + 4𝑦2 + 10x − 21y − 39 = 0