Dokumen tersebut membahas tentang persamaan garis singgung lingkaran. Terdapat beberapa cara untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran, yaitu melalui titik di dalam lingkaran, titik di luar lingkaran, serta lingkaran yang dipengaruhi oleh koefisien x dan y. Diberikan contoh soal dan penyelesaiannya untuk masing-masing kasus.

1. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
LINGKARAN
Menyelesaikan
masalah yang
terkait dengan
lingkaran
*Menentukan
persamaan garis
singgung lingkaran
yang diketahui
gradiennya
*Menentukan
persamaan garis
singgung lingkaran
yang diketahui
absis atau ordinat
titik singgungnya.

2. 1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran
2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik di Luar
Lingkaran
PEMBAHASAN MATERI

3. Tentukan koordinat pusat dan jari-jari lingkaran
berikut
𝑥2
+ 𝑦2
+ 8𝑥 − 12𝑦 + 32 = 0
Koordinat titik yang terletak didalam lingkaran
𝑥 − 4 2
+ 𝑦 − 3 2
= 13 adalah ...
SOAL PRETEST

4. 1. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN MELALUI TITIK PADA
LINGKARAN
A. Persamaan Garis Singgung Lingkaran x2+y 2 =r 2 di (𝑥1,𝑦1)
Garis g dikatakan menyinggung lingkaran apabila memotong lingkaran di dua titik
yang berimpit atau garis g tegak lurus pada jari-jari lingkaran di titik singgungnya.
Perhatikan gambar disamping!
T(x1,y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2, g adalah garis singgung.
𝑥
mOT= 𝑦
padahal OT ┴ g maka m 0T . mg = -1
Jadi persamaan garis singgung g adalah
y-y1=
(−𝑥1)
𝑦1
(x-x1)
y1y – y1
2 = -x1 x +x1
2
x1 x + y1 y = x1
2 + y1
2 , padahal x1
2 + y1
2 = r2
x1 x + y1 y = r2
Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x2+ y2 =r2
di T(x1,y1) adalah x1 x + y1 y = r 2
𝑦1
𝑥1
. Mg = -1 mg=
(−𝑥1)
𝑦1

5. CONTOH SOAL 1
1. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik (3, −2) adalah....
Pembahasan
Titik yang diberikan adalah (3, −2), dan belum diketahui posisinya pada lingkaran, apakah di dalam,
di luar atau pada lingkaran. Cek terlebih dahulu,
(3, −2) → x2 + y2 = r2
= 32 + (−2)2 = 9 + 4
r2 = 13
Hasilnya ternyata sama dengan 13 juga, jadi titik (3, −2) merupakan titik singgung.
Maka persamaan garis singgung lingkarannya adalah:
x1x + y1y = r2
3x + (-2y) = 13
3x – 2y = 13
x1x + y1y = r2

6. B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN(X-a)²+(Y-b)² = r² DI TITIK (X1,Y1)
Misal P(x1,y1)
terletak pada
−𝑏
−𝑎
Hasil translasi ( ) terhadap lingkaran dan titik P adalahx² + y² = r² dan
P’(x1-a, y1-b). Persamaan garis singgung g’ pada lingkaran x2 + y2 = r2 di P’ adalah
(x-a)²+ (y-b)²= r². 2 2 2
𝑏
𝑎Apabila lingkaran x + y = r , P’ dan g’ ditranslasikan dengan ( ) kembali ke
tempat semula didapat persamaan garis singgung g yaitu (x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b)
= r² Dengan cara yang sama diperoleh rumus persamaan garis singgung pada
lingkaran (x-a) ² + (y-b) ² = r² di titik (x1,y1) pada lingkaran
adalah : (x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b) = r²
(x1 – a)x + (y1 – b)y = r²

7. 1. Diberikan persamaan lingkaran: L ≡ (x − 2)² + (y + 3) ² =25
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan titik singgung pada (5, 1).
Pembahasan
Persamaan garis singgung pada lingkaran:
L ≡ (x − a) ² + (y − b) ² = r² ; pada titik singgung (x1 , y1)
Berarti persamaan garis singgungnya,dengan :
a = 2 dan b = −3 dan r² = 25
maka persamaan garis singgungnya : (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r²
(5 – 2 )(x – 2) + (1 – (-3)) (y – (-3)) = 25
3(x – 2) + 4(y + 3) = 25
3x – 6 + 4y + 12 = 25
3x + 4y – 6 + 12 – 25 = 0
3x + 4y – 19 = 0
(x1-a)(x-a) + (y1-b)(y-b) = r²
CONTOH SOAL 2

8. C. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN X² + Y² + AX + BY + C = 0 DI
TITIK (X,Y)
x²+y²+Ax+By+C=0
di Titik (x,y)
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
di titik (x,y) adalah : 𝑥1x + 𝑦1y +
𝐴
2
(x+𝑥1) + (y+𝑦1) + C =0

9. Soal dan Alternatif Penyelesaian
1. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 4x + 2y − 20 = 0 di titik (5, 3) adalah....
Pembahasan
Titik singgung : (x1, y1) pada lingkaran : L ≡ x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Rumus garis singgungnya:
Data:
x2 + y2 − 4x + 2y − 20 = 0
Titik (5, 3)
A = −4 ; B = 2 ; C = − 20 ; x1 = 5 ; y1 = 3
Garis singgungnya:
CONTOH SOAL 3

10. 2. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN MELALUI TITIK DI
LUAR LINGKARAN
Perhatikan Gambar Berikut!
Misal titik P(x1,y1) di luar lingkaran x² + y² = r²
Dari titik P(x1,y1) dapat ditarik dua buah garis singgung
yaitu QP dan RP dengan titik singgung Q dan R.
Rumus garis kutub P (𝑥1, 𝑦1)adalah
𝒙 𝟏x +𝒚 𝟏y = 𝒓 𝟐
Garis hubung QR disebut garis kutub atau garis polar

11. APABILA TITIK A(X1,Y1) DI LUAR LINGKARAN :
Selain dengan cara sebelumnya, untuk menentukan persamaan garis singgung
dapat ditentukan dengan langkah langkah sebagai berikut.
(x – a)² + (y – b) ²= r²,
maka persamaan garis kutub
titik A(x1,y1) adalah :
A x² + y² + Ax + By + C = 0 ,
maka persamaan garis kutub titik
A(x1,y1) adalah :
B
𝑥1 −𝒂 𝒙− 𝒂 + 𝑦1 −𝒃 𝒚− 𝒃 = 𝒓²
𝟐
𝑨 𝑩
𝑥1 𝒙 + 𝑦1 𝒚 + 𝒙 + 𝑥1 +
𝟐
𝒚 + 𝑦1 +𝑪= 𝟎

12. 03
02
01
CARA UNTUK MENENTUKAN
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG
Menentukan
persamaan garis
singgung lingkaran
di titik singgungnya.
lingkaran.
Menentukan
persamaan garis
kutub titik
tersebut
Salah satu cara untuk menentukan
persamaan garis singgung lingkaran melalui
suatu titik di luar lingkaran melalui langkah
sebagai berikut:
Menentukan titik
singgung lingkaran
dengan memotongkan
garis kutub dengan

13. A
B
C
D
Menentukan persamaan garis
singgung.
Dari langkah a subtitusikan nilai
ke dalam persamaan kuadrat dalam variable x.
Menentukan nilai m jika diskriminasinya nol.
Cara lain Untuk Menentukan Persamaan Garis Singgung lingkaran
langkah langkah sebagai berikut :
Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(x1,y1) adalah m
sehingga diperoleh persamaan :
y-𝒚 𝟏 =𝑚 𝑥 − 𝒙𝟏 ↔𝑦− 𝒚𝟏 =𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1
↔ 𝑦= 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1+ 𝑦1
y = mx – m𝑥1+ 𝑦1

14. CONTOH SOAL
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y²= 13 yang melalui titik (-5,1) !
Pembahasan
Garis kutub : x1 x + y1 y = r² ↔ -5x + y = 13
Garis kutub -5x + y = 13 dipotongkan
terhadap lingkaran
-5x + y = 13 ↔ y = 5x + 13
x² + y² = r² ↔ x²+ (5x + 13)² = 13
↔ x² + 25x² + 130x + 169 = 13
↔ 26x² + 130x + 156 = 0
↔ x² + 5x + 6 = 0
↔ (x + 3) (x + 2) = 0
↔ x = -3 atau x = -2
Untuk 𝑥1=-3 ,maka 𝑦1= 5 (-3) + 13 = -2
Titik singgung (-3 , -2), garis singgung :
𝑥1 x + 𝑦1y = r² ↔ -3x - 2y = 13
↔ 3x + 2y + 13 = 0
Untuk 𝑥2 = -2, maka y = 5 (-2) + 13 = 3
Titik singgungnya (-2 , 3), garis singgung:
𝑥1x + 𝑦1y = r² ↔ -2x + 3y = 13
↔ 2x - 3y + 13 = 0

15. KESIMPULAN
Subtitusikan persamaan y – y1 = m (x – x1) ke persamaanlingkaran
x2 + y2 = r2 ↔
x x + y y = r2
1 1Persamaan Garis
Singgung
Lingkaran (x,y)
pada Lingkaran
Persamaan Garis Singgung
Lingkaran (x,y) di luar
Lingkaran y – y1 = m (x – x1 )
Persamaan Garis
Singgung dengan
gradien tertentu
Dengan mengambil D=0 , maka diperoleh m.
x2 + y2 = r2 ↔
y = mx ± 𝑟 𝑚2 + 1
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ↔
(y – b) = m(x – a)± 𝑟 𝑚2 + 1
1 1 2 21 1x2 + y2 + Ax + By + C = 0 ↔ x x + y y + 𝐴
(x + x ) + 𝐵
(y + y ) + C = 0
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ↔ (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) =r2