Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Persamaan Garis Lurus Lingkaran

2,263 views

Published on

Powerpoint ini membahas tentang persamaan garis singgung dalam dan luar lingkaran, serta disajikan juga materi prasyarat, contoh soal dan latihan soal sehingga pembaca dapat memahaminya lebih dalam, selamat belajar!

Published in: Education

Persamaan Garis Lurus Lingkaran

  1. 1. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DALAM DAN LUAR LINGKARAN ARVIN EFRIANI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
  2. 2. CONTOH SOAL MATERI PRASYARAT KD & TUJUAN MENU MATERI LATIHAN PENULIS
  3. 3. Menjelaskan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran serta cara melukisnya KD dan TUJUAN KOMPETENSI DASAR - Siswa dapat menjelaskan garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran dengan benar - Siswa dapat menjelaskan cara melukis garis singgung persekutuan luar dan persekutuan dalam dua lingkaran dengan tepat TUJUAN PEMBELAJARAN
  4. 4. MATERI PRASYARAT TEOREMA PYTHAGORAS LINGKARAN
  5. 5. TEOREMA PYTHAGORAS a c b “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.” c2 = a2+b2
  6. 6. LINGKARAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN UNSUR-UNSUR LINGKARAN
  7. 7. UNSUR-UNSUR LINGKARAN O  Perhatikan gambar disamping, titik O merupakan titik pusat lingkaran.  Untuk membuat lingkaran dan menentukan titik pusat lingkaran harus menggunakan jangka Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran Titik Pusat
  8. 8. A O UNSUR-UNSUR LINGKARAN  Misal ada titik A di lengkungan lingkaran  Hubungkan titik O dan titik A dengan sebuah garis lurus  Garis lurus yang menghubungkan titik O dan A tersebut disebut Jari- jari lingkaran dan ditulis OA Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran Jari-Jari
  9. 9. C B A O UNSUR-UNSUR LINGKARAN Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat. Diameter  Misal ada titik B di lengkungan lingkaran  Buat garis dari titik B melalui titik O sampai pada lengkungan lingkaran, misal di titik C  Garis BC tersebut disebut diameter dan garis OB dan OC disebut Jari-jari  Perhatikan, BC = OB + OC. Dengan kata lain Diameter adalah 2 jari-jari
  10. 10. C B A O Busur lingkaran dibagi menjadi 2, yaitu Busur Kecil dan Busur Besar  Pada gambar di samping, garis lengkung AC merupakan busur  Busur AC yg berwarna kuning disebut busur kecil, sedangkan busur AC yang berwarna hitam disebut busur besar. UNSUR-UNSUR LINGKARAN Busur lingkaran adalah garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut Diameter
  11. 11. C B A O  Pada gambar di samping, tarik garis lurus dari titik A ke titik C  Apakah garis lurus BC juga merupakan tali busur???  Jawabnya YA, BC merupakan tali busur sekaligus diameter lingkaran karena garis BC menghubungkan titik B dan C pada lengkung lingkaran dan melalui titik pusat lingkaran  Garis lurus AC tersebut disebut tali busur UNSUR-UNSUR LINGKARAN Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran Tali Busur
  12. 12. C B A O  Seperti pada Busur lingkaran, Tembereng juga dibagi menjadi 2, yaitu Tembereng Kecil dan Tembereng Besar  Pada gambar di samping, daerah yang berwarna kuning disebut Tembereng kecil UNSUR-UNSUR LINGKARAN Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur Tembereng
  13. 13. C B A O  Juring lingkaran juga dibagi menjadi 2, yaitu Juring Kecil dan Juring Besar  Pada gambar di samping, daerah AOB disebut Juring kecil UNSUR-UNSUR LINGKARAN Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut Juring
  14. 14. C B A D O  Dari titik pusat O, buat garis yang tegak lurus dengan tali busur AB misal di titik D  Garis OD ini yang disebut Apotema UNSUR-UNSUR LINGKARAN Apotema adalah garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran. Garis tersebut tegak lurus dengan tali busur. Apotema
  15. 15. POSISI GARIS TERHADAP LINGKARAN Perhatikan gambar berikut ini! a. Garis f memotong lingkaran di 2 titik yaitu A dan B dan tegak lurus garis i. b. Garis g memotong lingkaran di 1 titik yaitu titik C dan tegak lurus garis i. Garis g ini dikatakan menyinggung lingkaran di titik C. c. Garis h tidak memotong lingkaran O hf g A B C i Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. GARIS SINGGUNG LINGKARAN
  16. 16. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran Perhatikan lingkaran di samping! O A Untuk menggambar garis singgung lingkaran yang melalui titik A, caranya sebagai berikut. GARIS SINGGUNG LINGKARAN
  17. 17. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran a. Lukis garis OA dan perpanjangannya b. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik A sehingga memotong garis OA, misal di titik B dan C c. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik B dan C sehingga saling berpotongan di titik D dan E d. Hubungkan titik D dan E. Garis DE merupakan garis singgung lingkaran di titik A. O A CB D E Melalui satu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut GARIS SINGGUNG LINGKARAN
  18. 18. Perhatikan lingkaran di atas! Titik A di luar lingkaran O A Untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik A, caranya sebagai berikut. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran GARIS SINGGUNG LINGKARAN
  19. 19. a. Hubungkan titik O dan titik A b. Lukis busur lingkaran yang berpusat di titik O dan A sehingga saling berpotongan di titik B dan C O A C B Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran GARIS SINGGUNG LINGKARAN
  20. 20. c. Hubungkan BC sehingga memotong OA, misal di titik D d. Lukis lingkaran berpusat di titik D dan berjari-jari OD = DA sehingga memotong lingkaran pertama di dua titik. Misal di titik E dan F. O A C BE F D Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran GARIS SINGGUNG LINGKARAN
  21. 21. e. Hubungkan titik A dengan titik E dan titik A dengan titik F. Garis AE dan EF merupakan dua garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran. O A C BE F D Melalui satu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran GARIS SINGGUNG LINGKARAN
  22. 22. O A B C a. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layangl-ayang. b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung. Panjang Garis Singgung Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran GARIS SINGGUNG LINGKARAN
  23. 23. KEDUDUKAN DUA LINGKARAN Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut: R L1 L2 r P,Q L2 terletak di dalam L1 dengan P dan Q berimpit, sehingga panjang PQ = 0. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan konsentris (setitik pusat).
  24. 24. Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut: L1 L2 P L2 terletak di dalam L1 dan PQ < r < R. Dalam hal ini dikatakan L2 terletak di dalam L1 dan tidak konsentris. Q KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
  25. 25. Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut: L1 L2 P L2 terletak di dalam L1 dan PQ = r = ½ R, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di dalam. Q KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
  26. 26. Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut: L1 L2 P L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R. Q KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
  27. 27. Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut: L1 L2 P L1 berpotongan dengan L2 dan r < PQ < R + r. Q KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
  28. 28. Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut: L1 L2 P Q KEDUDUKAN DUA LINGKARAN L1 terletak di luar L2 dan PQ = R + r, sehingga L1 dan L2 bersinggungan di luar.
  29. 29. Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L1 berpusat di P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di Q dengan jari-jari r di mana R > r maka kedudukan lingkaran tersebut dapat dibedakan sebagai berikut: L1 L2 P Q KEDUDUKAN DUA LINGKARAN L1 terletak di luar L2 dan PQ > R + r, sehingga L1 dan L2 saling terpisah.
  30. 30. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. Kedua lingkaran di atas tidak memiliki garis singgung
  31. 31. Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN Kedua lingkaran di atas memiliki satu garis singgung
  32. 32. Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN Kedua lingkaran di atas memiliki dua garis singgung
  33. 33. Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN Kedua lingkaran di atas memiliki tiga garis singgung
  34. 34. Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN Kedua lingkaran di atas memiliki empat garis singgung
  35. 35. Bagaimana dengan gambar di bawah ini? Apa yang dilakukannya? Dapatkah kalian menentukan panjang tali yang menyinggung tiap katrol tersebut?
  36. 36. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Lukis lingkaran L1 berpusat di titik P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di titik Q dengan jari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q. L1 L2 P QR r GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  37. 37. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling berpotongan di titik R dan S. L1 L2 P QR r R S GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  38. 38. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Hubungkan titik R dengan titik S sehingga memotong garis PQ di titik T. L1 L2 P QR r R S T GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  39. 39. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT. L1 L2 P QR r R S T GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  40. 40. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Lukis busur lingkaran pusat di titik P, jari-jari R + r sehingga memotong lingkaran berpusat titik T di titik U dan V. L1 L2 P QR r R S T V U GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  41. 41. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Hubungkan titik P dan U sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan pula titik P dan V sehingga memotong lingkaran L1 di titik C. L1 L2 P QR r R S T V U A C GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  42. 42. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Lukis busur lingkaran pusat di titik A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di titik C jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D. L1 L2 P QR r R S T V U A C B D GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  43. 43. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran L1 dan L2. L1 L2 P QR r R S T V U A C D B GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  44. 44. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Jika garis CD digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis VQ L1 L2 P QR r R S T V U A C D B GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  45. 45. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Garis VQ sejajar dengan garis CD sehingga sudut PCD = sudut PVQ =90˚ L1 L2 P QR r R S T V U A C D B GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  46. 46. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Perhatikan segi tiga PQV siku-siku di v L1 L2 P QR rT V C D B GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  47. 47. Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam P QR r c D V a d GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN Menggunakan teorema phytagoras : CD2 = PQ2 +PV2 CD2 = PQ2 +(PC+DQ)2 d2= a2 + (R+r)2
  48. 48. Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam P QR r c D V a d GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  49. 49. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Lukis lingkaran L1 dengan pusat di P berjari-jari R dan lingkaran L2 pusat di Q berjari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q. L1 P QR r L2 GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  50. 50. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling berpotongan di titik R dan S. L1 P QR r R S L2 GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  51. 51. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Hubungkan titik R dengan titik S sehingga memotong garis PQ di titik T. L1 P QR r R S T L2 GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  52. 52. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT. L1 P QR r R S T L2 GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  53. 53. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Lukis busur lingkaran dengan pusat di P, berjari-jari R – r sehingga memotong lingkaran berpusat T di U dan V. L1 P QR r R S T U V L2 GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  54. 54. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Hubungkan P dan U, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan pula P dan V, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik C. L1 P QR r R S T U V A C L2 GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  55. 55. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Lukis busur lingkaran dengan pusat di A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di C, jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D L1 P QR r R S T U V B C D A L2 GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  56. 56. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran L1 dan L2. L1 L2 P QR r R S T U V A C B D GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  57. 57. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar L1 L2 P QR r R T U V A C B D GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN Jika garis CD digeser sejajar ke atas sejauh QD maka diperoleh garis VQ
  58. 58. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar L1 L2 P QR r R T U V A C B D GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN Garis VQ sejajar dengan garis CD sehingga sudut PCD = sudut PVQ =90˚
  59. 59. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar L1 L2 P QR r R T U V A C B D GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN Perhatikan segi tiga PQV siku-siku di v
  60. 60. Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar L1 L2 P QR r R T U V A C B D GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN Menggunakan teorema phytagoras : VQ2 = PQ2 +PV2 CD2 = PQ2 +(PC-DQ)2 d2= a2 + (R-r)2
  61. 61. Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam L1 L2 P Q R r C D d a GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN
  62. 62. CONTOH SOAL 1. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 11 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 12 cm maka tentukan jarak kedua pusat lingkaran
  63. 63. CONTOH SOAL Diketahui: Jawab : • d = 12 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau • R = 11 cm d2 = p2 – (R - r)2 • r = 2 cm 122 = p2 – (11 - 2)2 144 = p2 – 81 Ditanyakan p = ? p2 = 225 p = √225 p = 15 cm Jadi, jarak kedua pusat lingkaran adalah 15 cm
  64. 64. CONTOH SOAL 2. Dua lingkaran masing-masing berjari- jari 15 cm dan 8 cm. Jarak terdekat kedua sisi lingkaran adalah 2cm . Tentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut.
  65. 65. CONTOH SOAL Diketahui: Jawab: • s = 2 cm p = s + R + r • R = 15 cm p = 2 cm + 15 cm + 8 cm • r = 8 cm p = 25 cm Ditanyakan: d = ? d = √(p2 – (R - r)2) d = √(252 – (15 - 8)2) d = √(625 –49) d = √(576) d = 24 cm Jadi, panjang garis singgung persekutuan luarnya adalah 24 cm
  66. 66. CONTOH SOAL 3. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm dan jarak kedua pusatnya 13 cm. Panjang salah satu jari-jari lingkaran 8 cm. Hitunglah panjang jari-jari yang lainnya!
  67. 67. CONTOH SOAL Diketahui: Jawab: • d = 12 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau • R = 8 cm d2 = p2 – (R - r)2 • p = 13 cm 122 = 132 – (8 - r)2 144 = 169 – (8 - r)2 • Ditanyakan: r = ? (8 - r)2 = 169 –144 (8 - r)2 = 25 (8 - r) = √25 (8 - r) = 5 r = 8 - 5 r = 3 cm Jadi, panjang jari-jari yang lainnya adalah 3 cm
  68. 68. CONTOH SOAL 4. Panjang jari-jari dua lingkaran adalah 29 cm dan 14 cm. Panjang garis singgung persekutuan luarnya 36 cm. Hitung jarak pusat kedua lingkarannya!
  69. 69. CONTOH SOAL Diketahui: Jawab : • d = 36 cm d = √(p2 – (R - r)2) atau • R = 29 cm d2 = p2 – (R + r)2 • r = 14 cm 362 = p2 – (29 - 14)2 1296 = p2 – 225 Ditanyakan p = ? p2 = 1296 + 225 p2 = 1521 p = √1521 p = 39 cm Jadi, jarak pusat kedua lingkarannya adalah 39 cm
  70. 70. LATIHAN SIAPKAH ANDA MENCOBA LATIHAN ??? YA TIDAK
  71. 71. LATIHAN 1. Jika panjang garis dari pusat lingkaran A ke titik B adalah 45 cm dan panjang garis singgung BC adalah 36 cm, maka panjang jari- jari lingkarannya AC adalah…. 27 47 37 57 A B D C
  72. 72. LATIHAN 2. Dua buah lingkaran dengan panjang jari-jari 20 cm dan 2 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran 24 cm, maka jarak titik pusat kedua lingkaran tersebut adalah……. 10 cm 15 cm 20 cm 30 cm A B D C
  73. 73. LATIHAN 3. Panjang jari-jari lingkaran A = 36 cm dan B = 19 cm. Jika jarak pusat dua lingkaran AB = 73 cm.maka panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah…….. 78 cm 68 cm 58 cm 48 cm A B D C
  74. 74. LATIHAN 4. Tentukan urutan melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran a. Hubungkan titik K dengan titik M dan titik L dengan titik N. b. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik T dengan jari-jari TP. c. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di titik K dengan panjang jari-jarinya sama dengan UQ dan juga lukis busur lingkaran dengan pusat L dengan panjang jari-jarinya sama dengan VQ d. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik P yang panjang jari- jarinya r1 + r2 sedemikian sehingga memotong lingkaran yang berpusat di titik T di titik-titik U dan V e. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di titik P dan Q sehingga berpotongan di titik-titik R dan S. f. Lukislah dua lingkaran yang masing-masing berpusat di titik P dan titik Q f-e-b-d-c-a f-b-e-c-d-a a-b-f-d-c-e b-a-c-f-d-eA B DC
  75. 75. CEK SKOR
  76. 76. PENULIS Nama : Arvin Efriani TTL : Palembag, 19 April 1994 E-mail : arvinefriani@gmail.com Sosmed : arvinefriani

×