Presentasi ini berisi materi SMA, yakni persamaan lingkaran. Di dalamnya terdapat 3 bentuk persamaan lingkaran. Presentasi ini juga membahas soal kedudukan garis dan titik terhadap lingkaran.
4. Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ = y. Jarak dari O (0, 0) ke P
(x, y) adalah.:
O(0,0)
P(x,y)
r
x
y𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 = 𝒓 𝟐
Q(x,0) x
y
5. 1. Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y.
Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan:
a. koordinat titik pusat lingkaran= (0, 0)
b. Jari-jari lingkaran r = 5
c. x2+ y2 = r2
x2 + y2 = 52
x2 + y2 = 25
6. Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat
diperoleh dari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan
berjari-jari r dengan menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0,
0) bergeser (a, b) maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y + b).
𝑥′
= 𝑥 + 𝑎 → 𝑥 = 𝑥′
− 𝑎
𝑦′
= 𝑦 + 𝑎 → 𝑥 = 𝑦′
− 𝑎
(𝒙 − 𝒂) 𝟐+(𝒚 − 𝒃) 𝟐= 𝒓 𝟐
13. • Terbagi menjadi 3, yaitu:
• Titik berada di dalam lingkaran
• Titik berada tepat pada garis lingkaran
• Titik berada di luar lingkaran
𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 < 𝒓 𝟐 atau 𝑲 < 𝟎
𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 = 𝒓 𝟐 atau 𝑲 = 𝟎
𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐 > 𝒓 𝟐 atau 𝑲 > 𝟎
14. Tentukan posisi titik-titik berikut terhadap
lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 25!
a. A(3,1)
b. B(-3,4)
c. C(5,-6)
Pembahasan:
• A(3,1)
𝐾 = 𝑥2
+ 𝑦2
𝐾 = 32
+ 12
𝐾 = 9 + 1
𝐾 = 10
𝐾 = 10 → 𝐾 < 25, maka titik berada di dalam
lingkaran.
• B(-3,4)
𝐾 = 𝑥2
+ 𝑦2
𝐾 = (−3)2
+42
𝐾 = 9 + 16
𝐾 = 25
𝐾 = 25 → 𝐾 = 25, maka titik berada tepat di
garis lingkaran.
• C(5,-6)
𝐾 = 𝑥2
+ 𝑦2
𝐾 = 52
+ (−6)2
𝐾 = 25 + 36
𝐾 = 61
𝐾 = 61 → 𝐾 > 25, maka titik berada diluar
lingkaran.
15. • Terbagi menjadi 3, yaitu:
• Memotong pada dua titik berbeda
• Memotong pada satu titik (bersinggungan)
• Tidak memotong titik
𝐷 > 0
𝐷 = 0
𝐷 < 0
𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
16. Cari kedudukan garis x + y = 2 terhadap lingkaran melalui persamaan 𝑥2 + 𝑦2 + 2x – 5y +4 = 0
Pembahasan:
• Persamaan garis:
𝑥 + 𝑦 = 2
𝑦 = 2 − 𝑥
• Masukkan persamaan garis ke persamaan lingkaran:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑥 − 5𝑦 + 4 = 0
𝑥2 + 2 − 𝑥 2 + 2𝑥 − 5 2 − 𝑥 + 4 = 0
𝑥2
+ 4 − 4𝑥 + 𝑥2
+ 2𝑥 − 10 + 5𝑥 + 4 = 0
2𝑥2
+ 3𝑥 − 2 = 0
• Cari Diskriminan
𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
𝐷 = 32
− 4(2)(−2)
𝐷 = 9 + 16
𝐷 = 25
∴ Kedudukan garis adalah
memotong di dua titik berbeda
(𝑫 > 𝟎)
17. Diberikan sebuah garis −𝑥 + 𝑦 = 3 dan lingkaran 𝑥2
+ 𝑦2
= 5,
selesaikanlah system persamaan linear kuadrat tersebut.
Kemudian tentukan diskriminannya!
Pembahasan:
• Persamaan garis:
−𝑥 + 𝑦 = 3
𝑦 = 3 + 𝑥
• Masukkan persamaan garis ke persamaan lingkaran:
𝑥2
+ 𝑦2
= 5
𝑥2
+ 3 + 𝑥 2
= 5
𝑥2 + 9 + 6𝑥 + 𝑥2 = 5
2𝑥2 + 6𝑥 + 4 = 0
Diskriminan:
𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝐷 = 62 − 4(2)(4)
𝐷 = 36 − 32
𝐷 = 4
∴ Diskriminannya adalah 4
18.
19. Diketahui titik A(2,0) dan titik B(8,0). Tentukan tempat kedudukan titik P(x,y) yang memenuhi
hubungan PB=2PA!
Pembahasan:
a. Jarak titik P(x,y) ke titik A(2,0)
𝑃𝐴 = 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2
𝑃𝐴 = 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 0 2
𝑃𝐴2
= 𝑥2
− 4𝑥 + 4 + 𝑦2
𝑃𝐴2
= 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 + 4 … (1)
b. Jarak titik P (x,y) ke titik B(8,0)
𝑃𝐵 = 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2
𝑃𝐵 = 𝑥 − 8 2 + 𝑦 − 0 2
𝑃𝐵2
= 𝑥2
− 16𝑥 + 64 + 𝑦2
𝑃𝐵2
= 𝑥2
+ 𝑦2
− 16𝑥 + 64 … (2)