For geometri analitik

1. ELLIPS
DOSEN PENGAMPU : RESSY RUSTANUARSI, M. Pd.
Geometri analitik

2. Kelompok 5
ZULKARNAIN
12118023 RIZKY RAHMAYANI
12118006
TASYA REHAINI
ISMAWATI
12118019
12118029

3. Apa itu ellips ?
Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik sedemikian hingga jumlah
jaraknya dari pasangan dua titik tertentu yang berbeda adalah konstan
tertentu.
Dua titik tersebut diatas di sebut titik fokus (FOCI)
SKETSA ELLIPS

4. PF + PF ′ = konsta
Misal konstata tertentu nya adalah 2𝑎, maka dengan mengunakan rumus jarak
untuk menyatakan PF + PF ′
diperoleh :
(𝑥 − 𝑐)2+𝑦2 + (𝑥 + 𝑐)2+𝑦2 = 2𝑎
dengan menyederhanakan persamaan tersebut, maka di peroleh
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑎2−𝑐2 = 1
PERSAMAAN ELLIPS BENTUK BAKU

5. PERSAMAAN ELLIPS BENTUK BAKU
Dengan menganti 𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
, maka persamaan Ellips bentuk
baku adalah :
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1

6. CREDITS: This presentation template was created by
Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics
& images by Freepik
Karakteristik ellips
• Garis yang melalui kedua fokus disebut sumbu utama Ellips, yaitu sumbu 𝑥
• Titik potong Ellips dengan sumbu utama disebut dengan titik puncak yaitu
𝐴 𝐷𝐴𝑁 𝐴′
• Titik pada sumbu utama yang terletak di tengah tengah kedua puncak Ellips disebut
pusat Ellips, yaitu titik 𝑐
• Segmen garis yang menghubungkan kedua puncak di sebut sumbu mayor (sumbu
panjang) Ellips dengan panjang 2𝑎 satuan yaitu A A′
• Segmen garis yang menghubungkan titik potong Ellips dengan sumbu 𝑦 disebut
sumbu minor(sumbu pendek) Ellips dengan panjang 2𝑏 satuan yaitu 𝐵 𝐵′

7. CREDITS: This presentation template was created by
Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics
& images by Freepik
Karakteristik ellips
• Titik titik tetap F dan F’ terletak pada sumbu mayor dan di sebut dengan fokus
• Untuk Ellips yang sumbu mayornya terletak pada sumbu 𝑦 karateristiknya sama
• Latus rectrum adalah garis yang melalui titik fokus F dan F’ yng tegak lurus dengan
sumbu mayor. Pada gambar, garis latus rectrum adalah garis LR’ dan LR, di mana
masing masing memotong ellips di titik titik L’, R’, R, L. Panjang latus rectrum
= 𝐿𝑅′
= 𝐿𝑅′ =
2𝑏2
𝑎
dengan titik kordinat L’ −𝑐,
𝑏2
𝑎
, 𝑅′ −𝑐,
−𝑏2
𝑎
,L 𝑐,
𝑏2
𝑎
, R
𝑐,
−𝑏2
𝑎

8. Direktris dan eksentrisitet
• Eksentrisitas(e) adalah perbandingan jarak da titik fokus dan panjang sumbu mayornya, sehingga didapat rumusnya e =
𝑐
𝑎
• Direktris adalah sebuah garis yang tegak lurus dengan sumbu mayor dan berada di luar ellips yang di tunjukan oleh garis
HI dan garis JK. Persamaan garis HI adalah −
𝑎2
𝑐
dan garis JK adalah
𝑎2
𝑐

9. Ellips yang mempunyai sumbu simetri sejajar dengan sumbu koordinat dan berpusat pada (h,k) persamaanya berbentuk :
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 → ( 𝐹𝑜𝑘𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑥)
Atau
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2
+
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2
= 1 → ( 𝐹𝑜𝑘𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑦)
Kedua persamaan tersebut dapat direduksi kedalam bentuk persamaan ellips bentuk umum berikut ini :
𝐴𝑥2
+𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0
Dimana AB > 0 ( A dan B Keduanya positif atau negatif ) A ≠ B ( Jika A = B, Berupa lingkaran )
PERSAMAAN ELLIPS BENTUK BAKU

10. Jika fokus Ellips adalah (𝑜, 𝑐) dan (𝑜, − 𝑐) yang
berada di sumbu 𝑦 seperti pada gambar di samping
PERSAMAAN ELLIPS BENTUK BAKU

11. Persamman ellips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dengan
titik pusat M(0,0)
Persamaan elips pada gambar disamping adalah
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
Unsur-unsurnya :
 Titik pusat : (0,0)
 Titik puncak 𝑓1 0, −𝑐 dan 𝑓2 0, 𝑐
 Titik puncak : titik A (0,−𝑎) 𝐵 (0, 𝑎) 𝐶(−𝑏, 0) dan 𝐷(𝑏, 0)
 Panjang sumbu mayor = 2𝑎
 Panjang sumbu minor = 2𝑏
 Panjang luas rectum =
2𝑏2
𝑎
 Eksentrisitas : e=
𝑐
𝑎
 Persamaan direktris : y = −
𝑎2
𝑐
dan y =
𝑎2
𝑐

12. Persamaan ellips dengan sumbu mayor sejajar sumbu X dan titik pusat M(p,q)
Persamaan elips
Pada gambar disamping persamaan ellips nya adalah
(𝑥 − 𝑝)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑞)2
𝑏2
= 1
Unsur-unsurnya :
 Titik pusat M: (p,q)
 Titik puncak 𝑓1 𝑝 − 𝑐, 𝑞 dan 𝑓2 𝑝 + 𝑐, 𝑞
 Titik puncak : titik A (p −𝑎, 𝑞) 𝐵 (𝑝 + 𝑎, 𝑞) 𝐶(𝑝, 𝑞 −
𝑏) dan 𝐷(𝑝, 𝑞 + 𝑏)
 Panjang sumbu mayor = 2𝑎
 Panjang sumbu minor = 2𝑏
 Panjang luas rectum =
2𝑏2
𝑎
 Eksentrisitas : e=
𝑐
𝑎
 Persamaan direktris : x = −
𝑎2
𝑐
+ 𝑝dan x =
𝑎2
𝑐
+𝑝

13. Persamaan ellips dengan sumbu mayor sejajar sumbu Y dan titik pusat M(p,q)
Persamaan elips
Pada gambar disamping persamaan ellips nya adalah
(𝑥 − 𝑝)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑞)2
𝑏2
= 1

14. Contoh 1:
Selidiki dan buat sketsa grafik dari persamaan 9𝑥2
+ 25𝑦2
= 225
Jawab:
(jadikan persamaan baku) =
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
9𝑥2
225
+
25𝑦2
225
=
225
225
𝑥2
25
+
𝑦2
9
= 1
𝑎2
= 25, 𝑏2
= 9
𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
9 = 25 − 𝑐
𝑐2
= 16
𝑎 = 5, 𝑏 = 3, 𝑐 = 4
Puncak ±5,0
pusat 0,0
fokus ±4,0
Sumbu minor panjang=3
Titik potong dengan sumbu y(0, ±3)

15. CREDITS: This presentation template was created by
Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics
& images by Freepik
Puncak ±5,0
pusat 0,0
fokus ±4,0
Sumbu minor panjang=3
Titik potong dengan sumbu y(0, ±3)

16. Contoh 2
Tentukan persamaan Ellips dengan pusat (0,0), salah satu puncak (0,-13) dan salah satu titik fokus (0,12)
Jawab:
𝑎 = 13
Panjang sumbu mayor=25
𝑐 = 12
𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
132
− 122
= 25
𝑦2
𝑎2
+
𝑥2
𝑏2
= 1
𝑦2
169
+
𝑥2
25
= 1

17. Contoh 3:
Gambarlah Ellips yang mempunyai persamaan : 3𝑥2
+ 5𝑦2
−6𝑥 +20𝑦 + 8 = 0
Jawab:
3𝑥2
+ 5𝑦2
−6𝑥 + 20𝑦 + 8 = 0
3𝑥2
+ 5𝑦2
−6𝑥 + 20𝑦 = −8
3𝑥2
− 6𝑥 + 5𝑦2
+20𝑦 = −8
3( 𝑥2
− 2𝑥)) + 5(𝑦2
+ 4y) = −8
3( 𝑥2
− 2𝑥 + 1) +5(𝑦2
+ 4y + 4) = −8 + 3 + 20
3( 𝑥 − 1)2
+ 5(𝑦 + 2)2
= 15
(𝑥 − 1)2
5
+
(𝑦 + 2)2
3
= 1
PUSAT (1,−2)
𝑎2
= 5 → 𝑎 = 5
𝑏2
= 3 → b = 3
𝑐2
= 𝑎2
−𝑏2
= 2 → 𝑐 = 2
Fokus ( h ± 𝑐, 𝑘 ) = ( 1 ± 2,−2)
Puncak ( h ±𝑎, 𝑘) = ( 1 ± 5,−5)
Titik potong dengan sumbu y ( h,k ±𝑏) = ( 1, −2 ± 3

18. Contoh 4
Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, panjang latus rectrum, persamaan
direktris, nilai eksentrisitas dari persamaan ellips berikut:
a.
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
Menentukan nilai 𝑎, 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐;
𝑎2
= 25 , 𝑎 = 5
𝑏2
= 16 , 𝑎 = 4
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
, 25 = 16 + 𝑐2
, 𝑐2
= 9, 𝑐 = 3
Karena nilai 𝑎 ada di bawah x, maka sumbu mayornya sejajar sumbu x, sehingga per samaan yang di pakai
adalah
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
Menentukan unsur unsurnya;
1. Panjang sumbu mayor = 2𝑎 = 2 × 5 = 10
2. Panjang sumbu minor = 2𝑏 = 2 × 4 = 8
3. Panjang latus spectrum = =
2𝑏2
𝑎
= =
2×42
10
= =
32
5
4. Eksentrisitas : 𝑒=
𝑐
𝑎
=
3
5
5. direktris = x =
𝑎2
𝑐
= x =
25
3
, x = −
𝑎2
𝑐
x = −
25
3
sehingga persamaan ellipsnya adalah x = −
25
3
, atau x =
25
3

19. Persamaan Garis Singgung Ellips
Garis singgung pada ellips artinya garis dan ellips sama-sama melalui suatu koordinat
yan sama atau juga bisa diartikan dengan garis memotong ellips pada satu titik.
Persamaan garis singgung ellips dibagi menjadi tiga kondisi yaitu garis singgung melalui
satu titik, garis singgung sejajar, dan garis singgung saling tegak lurus.
Berikut gambar beberapa kondidi garis singgung pada ellips.

20. Persamaan Garis Singgung Ellips dengan Gradien m
Mencari garis singgung pada ellips yang melalui suatu titik tergantung dari persamaan ellips yang
diberikan pada soal.
Berikut rumus-rumus yang digunakan untuk mencari persamaan garis singgung melalui suatu titik :
Persamaan Ellips Persamaan garis singgung dengan gradien m
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
y= 𝑚𝑥 ± 𝑎2𝑚2 + 𝑏2
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
y= 𝑚𝑥 ± 𝑏2𝑚2 + 𝑎2
(𝑥 − 𝑝)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑞)2
𝑏2
= 1
y−𝑞 = 𝑚(𝑥 − 𝑝) 𝑎2𝑚2 + 𝑏2
(𝑥 − 𝑝)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑞)2
𝑏2
= 1
y−𝑞 = 𝑚(𝑥 − 𝑝) 𝑏2𝑚2 + 𝑎2

21. Contoh soal :
Hitunglah persamaan garis singgung ellips dengan persamaan x2
+ 4𝑦2
= 4 dan sejajar dengan garis
y = 𝑥 + 3 …
Pembahasan :
x2
+ 4𝑦2
= 4
𝑥2
4
+
4𝑦2
4
=
4
4
𝑥2
4
+
𝑦2
1
= 1
Gradien garis yang akan di cari nilainya adalah m = 1, karena garis yang akan dicari sejajar dengan y =
𝑥 + 3.
Berdasarkan persamaan ellips, diperoleh bahwa a =2 dan b =1.

22. Sehingga, persamaan garis singgung elips yang sejajar dengan y = x + 3 dapat dicari seperti pada cara
berikut.
y = 𝑚𝑥 ± 𝑎2𝑚2 + 𝑏2
y = 1.𝑥 ± 2212 + 12
y = 𝑥 ± 4 + 1
y = 𝑥 ± 5
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 𝑥 + 5 atau y = 𝑥 − 5

23. Persamaan Garis Singgung Ellips Melalui Suatu Titik
Mencari garis singgung pada ellips yang melalui suatu titik tergantung dari persamaan ellips yang diberikan pada soal.
Berikut rumus-rumus yang digunakan untuk mencari persamaan garis singgung melalui suatu titik :
Persamaan Ellips Persamaan garis singgung melalui suatu titik
(𝑥1,𝑦1)
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1
𝑥.𝑥1
𝑎2 +
𝑦.𝑦1
𝑏2
𝑥2
𝑏2
+
𝑦2
𝑎2
= 1
𝑥.𝑥1
𝑏2 +
𝑦.𝑦1
𝑎2
(𝑥 − 𝑝)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑞)2
𝑏2
= 1
𝑥−𝑝 (𝑥1−𝑝)
𝑎2 +
𝑦−𝑝 (𝑦1−𝑝)
𝑏2
(𝑥 − 𝑝)2
𝑏2
+
(𝑦 − 𝑞)2
𝑎2
= 1
𝑥−𝑝 (𝑥1−𝑝)
𝑏2 +
𝑦−𝑝 (𝑦1−𝑝)
𝑎2
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0 A𝑥1𝑥 + B𝑦1𝑦 +
1
2
𝐶(𝑥 + 𝑥1) +
1
2
𝐷(𝑦 + 𝑦1) + 𝐸 = 0

24. Contoh soal :
Hitunglah persamaan garis singgung ellips dengan persamaan
(𝑥−5)2
28
+
(𝑦−1)2
21
= 1 dan melalui titik (9,4)…….
Pembahasan :
Maka persamaan garis singgung nya adalah x + y = 13
(𝑥 − 𝑝)(𝑥1 − 𝑝)
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑞)(𝑦1 − 𝑞)
𝑏2
= 1
(𝑥 − 5)(9 − 5)
28
+
(𝑦 − 1)(4 − 1)
21
= 1
𝑥 − 5 . 4
28
+
𝑦 − 1 . 3
21
= 1
𝑥 − 5 . 1
7
+
𝑦 − 1 . 1
7
= 1
𝑥 − 5
7
+
𝑦 − 1
7
= 1
𝑥 − 5 + 𝑦 − 1
7
= 1
x−5 + 𝑦 − 1 = 7
x+𝑦 = 7 + 5 + 1
x+𝑦 = 13

25. THANK YOU GUYS
Silahkan bertanya, jangan berebutan nanti kelahi
“Barangsiapa yang memberi kemudharatan kepada seorang muslim, maka Allah akan
memberi kemudharatan kepadanya, barangsiapa yang merepotkan (menyusahkan)
seorang muslim maka Allah akan menyusahkan dia.”
(Hadits riwayat Abu Dawud nomor 3635, At Tirmidzi nomor 1940 dan dihasankan oleh
Imam At Tirmidzi).