Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to MT102 Лекц 11
Similar to MT102 Лекц 11 (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
MT102 Лекц 11
- 3. Тодорхойлолт: • Хэрэв 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийн хувьд 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑡𝛼𝑓(𝑥, 𝑦) тэнцэл биелж байвал 𝑓(𝑥, 𝑦) функцийг 𝜶 -эрэмбийн нэгэн төрлийн функц гэнэ. • Жишээ нь: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥3 𝑦 − 𝑥4 + 𝑥2 𝑦2 функц нь 4-р эрэмбийн нэгэн төрлийн функц байна. Учир нь: 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 2 𝑡𝑥 3 𝑡𝑦 − 𝑡𝑥 4 + 𝑡𝑥 2 𝑡𝑦 2 = 𝑡4 2𝑥3𝑦 − 𝑥4 + 𝑥2𝑦2 = 𝑡4𝑓(𝑥, 𝑦) 3 1. Нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл
- 4. Тодорхойлолт: 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (1) тэгшитгэлд 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄(𝑥, 𝑦) функцууд нь 𝛼 - эрэмбийн нэгэн төрлийн функцууд байвал (1) тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ. (1) тэгшитгэлийг 𝑡𝛼 = 1 𝑥𝛼 -аар үржүүлбэл 1 𝑥𝛼 ∙ 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 1 𝑥𝛼 ∙ 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 4
- 5. 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄(𝑥, 𝑦)-функцууд нь 𝛼 эрэмбийн нэгэн төрлийн функцууд учир • 1 𝑥𝛼 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑃 1 𝑥 ∙ 𝑥, 1 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑃 1, 𝑦 𝑥 = 𝑃1 𝑦 𝑥 • 1 𝑥𝛼 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑄 1 𝑥 ∙ 𝑥, 1 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑄 1, 𝑦 𝑥 = 𝑄1 𝑦 𝑥 болно. 5
- 6. 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэл нь 𝑃1 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑄1 𝑦 𝑥 𝑑𝑦 = 0 буюу 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝜑 𝑦 𝑥 (2) хэлбэртэй болно. 6
- 7. • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝜑 𝑦 𝑥 тэгшитгэлд 𝑦 𝑥 = 𝑢 орлуулга хийж хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэлд шилжүүлж бодно. Тодруулбал: 𝑦 𝑥 = 𝑢 ⇒ 𝑦 = 𝑢𝑥 ⇒ 𝑦′ = 𝑢 + 𝑥𝑢′ тул (2) тэгшитгэл нь 𝑑𝑢 𝜑 𝑢 − 𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэлд шилжинэ. 7
- 8. Хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэл 𝑑𝑢 𝜑 𝑢 −𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 интегралчилбал 𝑑𝑢 𝜑(𝑢) − 𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 + 𝐶 . Интегралчилсаны дараа 𝑢-ийн оронд 𝑦 𝑥 харьцааг тавьж өгөгдсөн (1) тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олно. 8
- 9. Жишээ: 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэлийг бод. Бодолт: 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 𝑷 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ба 𝑸 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙𝒚 функцууд нь 𝑃 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = (𝑡𝑥)2− 𝑡𝑦 2 = 𝑡2 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑡2 ∙ 𝑃(𝑥, 𝑦) ба 𝑄 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 3 𝑡𝑥)(𝑡𝑦 = 𝑡2 ∙ 3𝑥𝑦 = 𝑡2 ∙ 𝑄(𝑥, 𝑦) учир 2-р эрэмбийн нэгэн төрлийн функцууд байна. 9
- 10. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийг 1 𝑥2 –аар үржүүлэн хувиргалт хийж, • 𝑦 𝑥 = 𝑢 𝑦′ = 𝑢 + 𝑥𝑢′ орлуулга хийе. 1 𝑥2 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥 + 1 𝑥2 3𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0, 3𝑦 𝑥 𝑦′ = − 1 − 𝑦2 𝑥2 , • 3𝑢 𝑢 + 𝑥𝑢′ = − 1 − 𝑢2 ⇒ • 𝑢 + 𝑥𝑢′ = 𝑢2−1 3𝑢 ⇒ 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = −2𝑢2−1 3𝑢 . 10
- 11. • Энэхүү тэгшитгэлийн хувьсагчийг ялгаж, интегралчилбал − 3𝑢 2𝑢2 + 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 + ln 𝐶 , − 3 4 ln 2𝑢2 + 1 = ln 𝑥 + ln 𝐶 шийд олдоно. 11
- 12. • Одоо анхны 𝑥 ба 𝑦 хувьсагчид шилжвэл 𝑢 = 𝑦 𝑥 − 3 4 ln 2 𝑦 𝑥 2 + 1 = ln 𝐶𝑥 болж өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд олдож байна. Шийдийн график дүрслэлийг зурагт харуулав. 12
- 13. • Нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг Geogebra программ ашиглан бодох талаар тайлбарлая. 13
- 14. Жишээ: 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг Geogebra программ ашиглан олсон байдал. 14
- 16. 𝑦′ = 𝑓 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэл • нэгэн төрөл эсвэл • хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд шилжинэ. 16 2. Нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлд шилжих тэгшитгэл
- 17. А. Тэгшитгэлийн 𝑥, 𝑦 хувьсагчдын өмнөх коэффициентүүдээр бичигдсэн хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогч 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 ≠ 0 бол 𝑥 = 𝑥1 + 𝛼, 𝑦 = 𝑦1 + 𝛽 орлуулгаар анхны тэгшитгэл нэгэн төрлийн тэгшитгэлд шилжинэ. 17
- 18. • Энд 𝛼, 𝛽 -нь 𝑎1𝛼 + 𝑏1𝛽 + 𝑐1 = 0 𝑎2𝛼 + 𝑏2𝛽 + 𝑐2 = 0 системийн шийд тогтмол тоо. • Энэ тохиолдолд 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦1 𝑑𝑥1 . Иймд анхны дифференциал тэгшитгэл 𝑑𝑦1 𝑑𝑥1 = 𝑓 𝑎1𝑥1 + 𝑏1𝑦1 𝑎2𝑥1 + 𝑏2𝑦1 нэгэн төрлийн тэгшитгэлд шилжинэ. 18
- 19. Б. Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогч 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 = 0 бол 𝑎2 = 𝜆𝑎1, 𝑏1 = 𝜆𝑏1 анхны тэгшитгэл 𝑧 = 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 орлуулгаар хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд шилжинэ. 19
- 20. Жишээ А: 𝑦′ = − 𝑥−2𝑦+5 2𝑥−𝑦+4 тэгшитгэлийг бод. • Бодолт: Юуны өмнө тэгшитгэлийн 𝑥, 𝑦 хувьсагчдын өмнөх коэффициентүүдээр зохиосон хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг бодвол 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 = 1 − 2 2 − 1 = −1 + 4 = 3 ≠ 0 байна. Иймд 𝑥 = 𝑥1 + 𝛼, 𝑦 = 𝑦1 + 𝛽 орлуулга хийнэ. 20
- 21. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦1 𝑑𝑥1 тул орлуулгын дүнд тэгшитгэл 𝑑𝑦1 𝑑𝑥1 = − 𝑥1 − 2𝑦1 + 𝛼 − 2𝛽 + 5 2𝑥1 − 𝑦1 + 2𝛼 − 𝛽 + 4 хэлбэртэй болох ба 2𝛼 − β + 4 = 0 α − 2β + 5 = 0 системээс 𝛼 = −1, 𝛽 = 2 гэж олдоно. 21
- 22. Иймд 𝑥 = 𝑥1 − 1, 𝑦 = 𝑦1 + 2 орлуулгаар өгсөн тэгшитгэл 𝑑𝑦1 𝑑𝑥1 = − 𝑥1 − 2𝑦1 2𝑥1 − 𝑦1 нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлд шилжинэ. Энэ тэгшитгэлд 𝑦1 𝑥1 = 𝑢 ⇒ 𝑦1 = 𝑥1𝑢 ⇒ 𝑦1 ′ = 𝑢 + 𝑥1𝑢′ орлуулга хийвэл 𝑢 + 𝑥1 𝑑𝑢 𝑑𝑥1 = − 1 − 2𝑢 2 − 𝑢 22
- 23. хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэл гарч, хувьсагчийг ялгаж, интегралчилбал 𝑥1 ∙ 𝑑𝑢 𝑑𝑥1 = 𝑢2 − 1 2 − 𝑢 ⇒ 2 − 𝑢 𝑢2 − 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥1 𝑥1 , 2 − 𝑢 𝑢2 − 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥1 𝑥1 2 1 𝑢2 − 1 𝑑𝑢 − 1 2 𝑢2 − 1 ′ 𝑢2 − 1 𝑑𝑢 = 1 𝑥1 𝑑𝑥1 23 𝑑𝑥 𝑥2 − 𝑎2 = 𝟏 𝟐 ln 𝑥 − 𝑎 𝑥 + 𝑎 + 𝐶
- 24. 2 ∙ 1 2 ln 𝑢 − 1 𝑢 + 1 − 1 2 ln 𝑢2 − 1 = ln 𝑥1 + ln 𝐶 , ln 𝑢−1 𝑢+1 1 𝑢2−1 = ln 𝐶𝑥1 , • 𝒖−𝟏 𝟏/𝟐 𝒖+𝟏 𝟑/𝟐 = 𝑪𝒙𝟏 24
- 25. 𝒖−𝟏 𝟏/𝟐 𝒖+𝟏 𝟑/𝟐 = 𝑪𝒙𝟏 ⇒ 𝑢 − 1 = 𝐶𝑥1 2 𝑢 + 1 3 Одоо 𝑦1 𝑥1 = 𝑢 орлуулгаа тавибал 𝑦1 − 𝑥1 = 𝐶 2 𝑦1 + 𝑥1 3 болно. • Эцэст нь 𝑥 = 𝑥1 − 1, 𝑦 = 𝑦1 + 2 буюу 𝑥1 = 𝑥 + 1, 𝑦1 = 𝑦 − 2 • тул анхны 𝑥 ба 𝑦 хувьсагчид шилжвэл 𝑦 − 𝑥 − 3 = 𝐶 𝑦 + 𝑥 − 1 3 • Анхны дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд болно. 25
- 26. Жишээ Б: 2𝑥 + 𝑦 − 1 𝑑𝑥 − 4𝑥 + 2𝑦 + 5 𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэлийг бод. • Бодолт: Тэгшитгэлийг 𝑦′ = 2𝑥+𝑦−1 4𝑥+2𝑦+5 хэлбэрт шилжүүлэн 𝑥, 𝑦 хувьсагчдын өмнөх коэффициентүүдээр зохиосон хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг бодвол 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 = 2 1 4 2 = 0 байна. 26
- 27. Иймд тэгшитгэл 𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 орлуулгаар хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд шилжинэ. Мөн 𝑧𝑥 ′ = 2𝑥 + 𝑦 𝑥 ′ ⇒ 𝑧′ = 2 + 𝑦′ болно. Иймд 𝑧′ = 2 + 𝑦′ буюу 𝑦′ = 𝑧′ − 2 тул 𝑦′ = 2𝑥+𝑦−1 4𝑥+2𝑦+5 тэгшитгэл дараах хэлбэрт шилжинэ. 𝑧′ − 2 = 𝑧 − 1 2𝑧 + 5 . 27
- 28. Энэ тэгшитгэлийн хувьсагчийг ялгаж, интегралчилбал 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 5𝑧 + 9 2𝑧 + 5 ⇒ 2𝑧 + 5 5𝑧 + 9 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 ⇒ 2 5 + 7 5 1 5𝑧 + 9 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥, 2 5 + 7 5 1 5𝑧 + 9 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 . 28
- 29. 2 5 𝑧 + 7 25 ln 5𝑧 + 9 = 𝑥 + 𝐶 . Анхны 𝑥 ба 𝑦 хувьсагчид шилжвэл 10𝑦 − 5𝑥 + 7 ln 10𝑥 + 5𝑦 + 9 = 𝐶 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд олдоно. 29
- 30. 30 Бие даан гүйцэтгэх бодлого Нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг бодоорой. • 𝑥2 − 3𝑦2 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 • 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 𝑦𝑑𝑦 • 𝑥 + 𝑦 + 1 𝑑𝑥 + 2𝑥 + 2𝑦 − 1 𝑑𝑦 = 0
- 31. 31 Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан танд баярлалаа. Та бүхэн Бие даан гүйцэтгэх даалгавараа гүйцэтгэж, гүйцэтгэлийн үр дүнгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. Цахим сургалтандаа идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал илэрхийлье.