MT102 Лекц 13
- 1. “Математик II” хичээл Лекцийнсэдэв: Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
- 2. Тодорхойлолт: 𝑃 𝑥, 𝑦𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (1) дифференциал тэгшитгэлийн зүүн тал ямар нэг 𝑢(𝑥, 𝑦) функцийн бүтэн дифференциал өөрөөр хэлбэл, 𝑑𝑢 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 байвал (1)-ийг бүтэн дифференциалт тэгшитгэл гэнэ.
- 3. 𝑃 𝑥, 𝑦𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 илэрхийлэл ямар нэгэн 𝑢 функцийн бүтэн дифференциал 𝑑𝑢 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 байх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 = 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 (2) тэнцэл биелэх явдал юм.
- 4. 1. Хэрэв (2)нөхцөл биелж байвал (1) тэгшитгэл 𝑑𝑢 𝑥, 𝑦 = 0 хэлбэртэй болох ба ерөнхий интеграл нь 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝐶 байна. • Бүтэн дифференциалт тэгшитгэлийн 𝑢 𝑥, 𝑦 функцийг хэрхэн олохыг жишээгээр тайлбарлая.
- 5. Жишээ: 2 −9𝑥𝑦2 𝑥𝑑𝑥 + 4𝑦2 − 6𝑥3 𝑦𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэлийг бод. Бодолт: Энд 𝑃 𝑥, 𝑦 = 2 − 9𝑥𝑦2 𝑥, 𝑄 𝑥, 𝑦 = 4𝑦2 − 6𝑥3 𝑦 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = −18𝑥2 𝑦, 𝜕𝑄 𝜕𝑦 = −18𝑥2 𝑦 буюу 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 = 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 = −18𝑥2 𝑦 (2) нөхцөл биелж байгаа тул өгөгдсөн тэгшитгэл нь бүтэн дифференциалт тэгшитгэл юм.
- 6. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийнзүүн тал ямар нэг 𝑢 𝑥, 𝑦 функцийн бүтэн дифференциал болох ёстой. Өөрөөр хэлбэл, 𝑑𝑢 = 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝑑𝑦 = 2 − 9𝑥𝑦2 𝑥𝑑𝑥 + 4𝑦2 − 6𝑥3 𝑦𝑑𝑦 буюу 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 2 − 9𝑥𝑦2 𝑥, 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 4𝑦2 − 6𝑥3 𝑦 байх 𝑢 𝑥, 𝑦 функцийг олъё.
- 7. Үүний тулд 𝑦хувьсагчийг тогтмол гэж үзээд эхний харьцааг 𝑥 хувьсагчаар интегралчлан 𝑢 𝑥, 𝑦 функцийг олбол 𝑢 = 2𝑥 − 9𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥 + 𝜑 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥3 𝑦2 + 𝜑 𝑦 . (𝑥 хувьсагчаар дифференциалчлахдаа 𝑦-ийг тогтмол гэж тооцох тул интегралын дурын тогтмол нь 𝑦 -ээс хамаарсан 𝜑(𝑦) функц байх болно.)
- 8. 𝑢(𝑥, 𝑦) функцийнэнэхүү илэрхийллийг хоёрдахь харьцаанд орлуулан 𝜑(𝑦) функцийг олъё. 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥3 𝑦2 + 𝜑 𝑦 𝑦 ′ = −6𝑥3 𝑦 + 𝜑 𝑦 ′ тул −6𝑥3 𝑦 + 𝜑 𝑦 ′ = 4𝑦3 − 6𝑥3 𝑦 ⇒ 𝜑′ 𝑦 = 4𝑦3 . Эндээс 𝜑′ 𝑦 𝑑𝑦 = 4𝑦3 𝑑𝑦 ⇒ 𝜑 𝑦 = 𝑦4 + 𝐶1 болно.
- 9. altansuvd.b@iet.edu.mn Иймд 𝑢 𝑥, 𝑦= 𝑥2 − 3𝑥3 𝑦2 + 𝜑 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥3 𝑦2 + 𝑦4 + 𝐶1. Иймд бүтэн дифференциалт тэгшитгэлийн ерөнхий шийд 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟑 𝒚𝟐 + 𝒚𝟒 = 𝑪 болно.
- 10. 2. 𝑃 𝑥,𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэлийн зүүн тал нь ямар нэг функцийн бүтэн дифференциал биш байвал зарим хялбар тохиолдолд 𝜇 = 𝜇(𝑥, 𝑦) гэсэн интегралчлагч үржигдэхүүнийг ашиглан түүнийг бүтэн дифференциалт тэгшитгэлд шилжүүлдэг. Өөрөөр хэлбэл 𝜇𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝜇𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэл болох ба 𝜕𝜇𝑃 𝜕𝑦 = 𝜕𝜇𝑄 𝜕𝑥 нөхцөл биелэх ёстой.
- 11. Сүүлийн тэнцлээс үзвэлинтегралчлагч үржигдэхүүний хувьд тухайн уламжлалт тэгшитгэл 𝜕𝜇 𝜕𝑦 𝑃 + 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝜇 = 𝜕𝜇 𝜕𝑥 𝑄 + 𝜕𝑄 𝜕𝑥 𝜇 болох ба хялбар хувиргалт хийвэл 1 𝜇 𝜕𝜇 𝜕𝑦 𝑃 + 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 1 𝜇 𝜕𝜇 𝜕𝑥 𝑄 + 𝜕𝑄 𝜕𝑥 буюу 𝜕(ln 𝜇) 𝜕𝑦 𝑃 + 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 𝜕(ln 𝜇) 𝜕𝑥 𝑄 + 𝜕𝑄 𝜕𝑥 тэнцэл биелэгдэнэ.
- 12. Хялбар тохиолдолд интегралчлагчүржигдэхүүнийг хэрхэн олох аргын талаар авч үзье. А. 𝜕𝑃 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑥 1 𝑄 илэрхийлэл 𝑦 -ээс хамаарахгүй байвал интегралчлагч үржигдэхүүн 𝜇 = 𝜇(𝑥) зөвхөн 𝑥 -ээс хамаарсан функц байна. Тэгвэл 𝜇 -ийн хувьд 𝑑 ln 𝜇 𝑑𝑥 = 𝜕𝑃 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑥 𝑄 гэсэн дифференциал тэгшитгэл үүсэх бөгөөд эндээс 𝝁 𝒙 = 𝒆 𝝏𝑷 𝝏𝒚 − 𝝏𝑸 𝝏𝒙 𝟏 𝑸 𝒅𝒙 гэж олдоно.
- 13. Б. 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 1 𝑃 илэрхийлэл 𝑥-ээс хамаарахгүйбайвал интегралчлагч үржигдэхүүн зөвхөн 𝑦-ээс хамаарсан 𝝁 𝒚 = 𝒆 𝝏𝑸 𝝏𝒙 − 𝝏𝑷 𝝏𝒚 𝟏 𝑷 𝒅𝒙 хэлбэртэй олдоно.
- 14. В. Эцэст ньнэгэн төрлийн ба шугаман тэгшитгэлүүд харгалзан 𝜇 𝑥, 𝑦 = 1 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑦 ба 𝜇 𝑥 = 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 интегралчлагч үржигдэхүүнтэй болно.
- 15. Жишээ: 𝑦2 − 3𝑥𝑦− 2𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. Бодолт: 𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑦2 − 3𝑥𝑦 − 2𝑥2 , 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 − 𝑥2 . 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 2𝑦 − 3𝑥, 𝜕𝑄 𝜕𝑥 = 𝑦 − 2𝑥 ⇒ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ≠ 𝜕𝑄 𝜕𝑥 учраас өгөгдсөн тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэл биш байна. Тэгвэл уг тэгшитгэлд интегралчлагч үржигдэхүүн олдох эсэхийг шалгая.
- 16. А. 𝜕𝑃 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑥 𝑄 = 𝑦 − 𝑥 𝑥𝑦 − 𝑥 = 1 𝑥 . Иймд тэгшитгэл зөвхөн 𝑥 хувьсагчаас хамаарсан 𝜇 = 𝜇(𝑥) интегралчлагч үржигдэхүүнтэй болох нь тодорхойлогдсон тул энэ интегралчлагч үржигдэхүүн 𝜇 𝑥 = 𝑒 𝜕𝑃 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑥 1 𝑄 𝑑𝑥 = 𝑒 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒ln 𝑥 = 𝑥 гэж олдоно.
- 17. Одоо анхны 𝑦2 −3𝑥𝑦 − 2𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 − 𝑥2 𝑑𝑦 = 0 дифференциал тэгшитгэлийн хоёр талыг 𝜇 𝑥 = 𝑥 интегралчлагч үржигдэхүүнээр үржүүлбэл 𝑦2 𝑥 − 3𝑥2 𝑦 − 2𝑥3 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑦 − 𝑥3 𝑑𝑦 = 0 бүтэн дифференциалт тэгшитгэлд шилжинэ. Энэ тэгшитгэлийн хувьд 𝑃1 𝑥, 𝑦 = 𝑦2 𝑥 − 3𝑥2 𝑦 − 2𝑥3 , 𝑄1 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑦 − 𝑥3 учир
- 18. 𝜕𝑃1 𝜕𝑦 = 2𝑦𝑥 −3𝑥2 , 𝜕𝑄1 𝜕𝑥 = 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 ⇒ 𝜕𝑃1 𝜕𝑦 = 𝜕𝑄1 𝜕𝑥 нөхцөл биелж байна. Иймд 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝑦2 𝑥 − 3𝑥2 𝑦 − 2𝑥3 , 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑥2 𝑦 − 𝑥3 . Эндээс 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥 = 𝑦2 𝑥 − 3𝑥2 𝑦 − 2𝑥3 𝑑𝑥 ⇒ 𝑢 = 1 2 𝑦2 𝑥2 − 𝑥3 𝑦 − 1 2 𝑥4 + 𝜑 𝑦 ба
- 19. 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 1 2 𝑦2 𝑥2 − 𝑥3 𝑦 − 1 2 𝑥4 +𝜑 𝑦 𝑦 ′ = 𝑦𝑥2 − 𝑥3 + 𝜑′ 𝑦 = 𝑥2 𝑦 − 𝑥3 , 𝜑′ 𝑦 = 0 ⇒ 𝜑 𝑦 = 𝐶. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд 1 2 𝑦2 𝑥2 − 𝑥3 𝑦 − 1 2 𝑥4 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝟏 𝟐 𝒚𝟐 𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 𝒚 − 𝟏 𝟐 𝒙𝟒 = 𝑪 болно.
- 20.
- 21. Жишээ: 2𝑥𝑦2 − 𝑦𝑑𝑥 + 𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0 тэгшитгэл бод. Бодолт: 𝑃 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦2 − 𝑦, 𝑄 𝑥, 𝑦 = 𝑦2 + 𝑥 + 𝑦. 𝜕𝑃 𝜕𝑦 = 4𝑥𝑦 − 1, 𝜕𝑄 𝜕𝑥 = 1 ⇒ 𝜕𝑃 𝜕𝑦 ≠ 𝜕𝑄 𝜕𝑥 учраас өгөгдсөн тэгшитгэл бүтэн дифференциалт тэгшитгэл биш байна.
- 22. А. Тэгвэл угтэгшитгэлд интегралчлагч үржигдэхүүн олдох эсэхийг шалгая. 𝜕𝑃 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄 𝜕𝑥 𝑄 = 4𝑥𝑦 − 2 𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 . илэрхийлэл 𝑦 хувьсагчаас хамаарч байна. Иймд уг тэгшитгэлийн хувьд зөвхөн 𝑥 -ээс хамаарсан 𝜇 = 𝜇(𝑥) интегралчлагч үржигдэхүүн олдохгүй.
- 23. Б. 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 𝑃 = 1 − 4𝑥𝑦+ 1 2𝑥𝑦2 − 𝑦 = −2(2𝑥𝑦 − 1) 𝑦(2𝑥𝑦 − 1) = − 2 𝑦 . Иймд тэгшитгэл зөвхөн 𝑦 хувьсагчаас хамаарсан 𝜇 = 𝜇(𝑦) интегралчлагч үржигдэхүүнтэй болох нь тодорхойлогдсон тул энэ интегралчлагч үржигдэхүүн 𝜇 𝑦 = 𝑒 𝜕𝑄 𝜕𝑥 − 𝜕𝑃 𝜕𝑦 1 𝑃 𝑑𝑦 = 𝑒 − 2 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒−2 ln 𝑦 = 1 𝑦2 гэж олдоно.
- 24. Одоо анхны 2𝑥𝑦2 −𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦2 + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0 дифференциал тэгшитгэлийн хоёр талыг 𝜇 𝑦 = 1 𝑦2 интегралчлагч үржигдэхүүнээр үржүүлбэл 2𝑥 − 1 𝑦 𝑑𝑥 + 1 + 𝑥 𝑦2 + 1 𝑦 𝑑𝑦 = 0 бүтэн дифференциалт тэгшитгэлд шилжинэ. Энэ тэгшитгэлийн хувьд 𝑃1 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑦 , 𝑄1 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥 𝑦2 + 1 𝑦 учир
- 25. 𝜕𝑃1 𝜕𝑦 = 1 𝑦2 , 𝜕𝑄1 𝜕𝑥 = 1 𝑦2 ⇒ 𝜕𝑃1 𝜕𝑦 = 𝜕𝑄1 𝜕𝑥 нөхцөл биелж байна.Иймд 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 2𝑥 − 1 𝑦 , 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 1 + 𝑥 𝑦2 + 1 𝑦 . Эндээс 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 − 1 𝑦 𝑑𝑥 ⇒ 𝑢 = 𝑥2 − 1 𝑦 𝑥 + 𝜑 𝑦 ба
- 26. 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑥2 − 1 𝑦 𝑥 +𝜑 𝑦 𝑦 ′ = 𝑥 𝑦2 + 𝜑′ 𝑦 = 1 + 𝑥 𝑦2 + 1 𝑦 , 𝜑′ 𝑦 = 1 + 1 𝑦 ⇒ 𝜑 𝑦 = 𝑦 + ln 𝑦 + 𝐶. Иймд өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд 𝑢 = 𝑥2 − 1 𝑦 𝑥 + 𝜑 𝑦 𝑥2 − 𝑥 𝑦 + 𝑦 + ln 𝑦 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝒙𝟐 − 𝒙 𝒚 + 𝒚 + 𝒍𝒏 𝒚 = 𝑪 болно.
- 27.
- 28. Анхаарал хандуулан, хичээлийнагуулгыг бүрэн судалсан оюутан танд баярлалаа. Оюутан та • Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. • Бие даан гүйцэтгэх даалгавараа гүйцэтгэж, гүйцэтгэлийн үр дүнгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал илэрхийлье.