6. .
Параллель чиглэлт хэрчмүүдээр дүрслэгддэг
векторуудыг коллинеар векторууд гэнэ. Ө.х.
Alllllll
Clllllll
l
S
ll
ll
lll
lll ·
ll
lll
lll
нэг шулуун дээр буюу параллель шулуун дээр
lll
lll
lll
Cllll
Allll
l
l
u
l
·l
байх векторуудыг коллинеар вектоууд гэнэ.
Нэг хавтгай дээр байрладаг эсвэл нэг хавтгайтай параллель орших бүх векторыг
компланар векторууд гэнэ.
Коллинеар хоёр векторыг ерөнхий эхтэй байрлуулахад тэдгээрийн төгсгөл нь
эхлэлийнхээ нэг талд байрлаж байвал ижил чиглэлтэй, хоёр талд нь байвал эсрэг
чиглэлтэй векторууд гэнэ.
BS
l
lll
BS
ll
lll
1.Векторыг нэмэх. a, b векторуудын нийлбэр гэж a-ын төгсгөл дээр b-ын
эхлэлийг байрлуулахад үүсэх, a-ын эх дээр эхтэй, b-ын төгсгөл дээр төгсгөлтэй
байх векторыг хэлнэ.
t
b
t
rWG
rr
rr
r
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
r
rr
rr
rr
r
rr
a
a
bG
a+b
6
t• • • • • • • • • • • •GtW
r
rr
rr
rr
rr
rr
rr
r
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
rr
G
rr
a
a+b
b
7. 2. Векторыг тоогоор үржүүлэх. a векторыг λ тоогоор үржүүлсэн
үржвэр гэж |λ|·|a| хэмжээтэй, λ > 0 үед a-тай ижил чиглэлтэй, λ < 0 үед
эсрэг чиглэлтэй байх векторыг хэлэх бөгөөд λ·a гэж тэмдэглэнэ.
Вектор дээр хийх шугаман үйлдлүүдийн хувьд дараах чанаруудтай.
1. a + b = b + a нэмэгдэхүүний эрэмбээс хамаарахгүй.
2. (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c бүлэглэх хуультай
3. a + 0 = a
4. a + (−a) = 0
5. λ(a + b) = λb + λa;
λ∈R
6. (λ1 + λ2)a = λ1a + λ2a;
7. λ1(λ2)a = (λ1λ2)a;
λ1 λ2 ∈ R
λ1 λ2 ∈ R
8. 1 · a = a
7
8. Хасагч вектор дээр нэмэхэд хасагдагч вектор гарах векторыг эдгээрийн ялгавар
вектор гэнэ.
•cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
cc
c
a− b
o
−b
·
a
t
W
t
•cc
rr
cc
rr
cc
rr
rr
cc
rr
cc
rr
cc rrr
r
cc
rr
rr ccc
rr
cc
rr
cc
rr
rr
cc
r
rr
cc
rr
r
G
a
bG
•
a− b
a+ b
b
Эдгээр үйлдлийн чанаруудыг хангах векторуудын олонлогийг вектор огторгуй
гэж нэрлээд R3 гэж тэмдэглэнэ.
Def1:
a = α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn
(1)
векторыг x1, x2, . . . , xn векторуудын шугаман эвлүүлэг, α1, . . . , αn ∈ R-г
шугаман эвлүүлгийн коэффициентүүд гэнэ.
Def2:
α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn = 0
(2)
тэнцэтгэл α1 = α2 = . . . = αn = 0 тохиолдолд биелж байвал x1, x2, . . . , xn векторуудыг
шугаман хамааралгүй векторууд гэнэ.
8
11. Координатын Аффин систем.
Цэгийн байрлалыг тоогоор тодорхойлдог аргыг координатын арга гэнэ.
Шулуун, хавтгай, огторгуй дахь координатын аффин систем нь төстэйгөөр
тодорхойлогдох учраас огторгуйн аффин системийг төлөөлүүлэн авч үзье.
Огторгуйд нэг цэг, компланар биш гурван вектор өгөгдсөнөөр аффин систем
−→
−
тодорхойлогдоно. Огторгуйд ∀M цэг байг. Түүний байрлал нь r = OM
вектороор бүрэн тодорхойлогдох бөгөөд энэ векторыг M -ийн радиус вектор гэнэ.
y
e3
X
z • X•X • • • • • • • • • •·11 M3
X
X
X
X
X
1
1
1
1
1
X
1
X
1
1
o
2• • • • • • • • • • o• o•
1
1
oo
ooo
1
1
ooo
o
1
1
ooo
X
o
1
XXX
XX
1
XX
1
XX
1
XX
1
XX
XX
1
XX
1
X
1• • • • • • • • • • • XX
•
Ö 1
1
M·
X
M
O
x
e
M
y
G
e2
−→
−
OM = r = xe1 + ye2 + ze3.
x, y, z-ийг
M
цэгийн аффин координатууд
гэнэ. Огторгуйн аффин координатын систем нь,
e1, e2, e3 нь харилцан перпендикуляр бөгөөд |e1| =
|e2| = |e3| = 1 байх тухайн тохиолдолд тэгш өнцөгт
координатын систем (ТӨКС) болно. ТӨКС-ийн
хувьд e1, e2, e3-ийг i, j, k гэж тэмдэглэж заншсан
бөгөөд эдгээрийг координатын тэнхлэгүүд гэнэ.
11
12. Хос тэнхлэг бүр нь нэг хавтгайг тодорхойлох ба тэдгээр хавтгайг нь координатын
хавтгай гэнэ. Координатын хавтгайнууд нь огторгуйг найман хэсэгт хуваах
бөгөөд тэдгээрийг нь октантууд гэнэ.
Хавтгайн аффин систем нь нэг цэг коллинеар биш хоёр вектороор, шулууны
аффин систем нь нэг цэг тэгээс ялгаатай ямар нэг вектороор тодорхойлогдоно.
Векторын тэнхлэг дээрх проекц.
a, b векторууд өгөгдсөн байг.
Def 5: Хоёр векторын нэгийг нь нөгөөтэй нь чиглэлээр нь давхaцтал эргүүлэхэд
үүсэх хамгийн бага өнцгийг уг хоёр векторын хоорондох өнцөг гэнэ.
Уг өнцгийг ϕ = (a, b) гэж тэмдэглэвэл ямагт 0 ≤ φ = (a, b) ≤ π байна.
a
b
U
gyyy
yyy
ooo
yyy
ooo
7
} yyy ooooo
yoy
yoy
oo yy
yyy
ooo
yyy
ooo
yy
ooo
oo
ϕ
b
yyy
U
yyy
ooo
yyy
ooo
—
yyy ooooo
yoo
ooyyyyy
o
Ô
yyy
ooo
yyy
ooo
yy9
oo
oo
ϕ
12
a
b
yyy
U
yyy
ooo
yyy
ooo
yyy ooo• oo
yoo
y
9
ooo y yÔ
yy
ooo
oo
yy
ooo
oo
a ϕ
13. −
→
Огторгуйд дурын байрлалтай u тэнхлэг болон a = AB вектор өгөгдсөн гэе.
−
→
Def 6: AB векторын эх ба төгсгөлийн цэгийн проекцоор эх төгсгөлөө хийсэн, u
−
→
тэнхлэг дээрх чиглэлт хэрчмийн хэмжээг AB векторын u тэнхлэг дээрх
−−
−→
проекц гэж нэрлээд прua = A1B1 гэж тэмдэглэнэ.
a
A
B
oU1
ooo 1
ooo
o
1
ooo
1
ooo
oo
1
oo… o
ooo
ooo • • • • • • • • • •1
1•
o •
1
1
1
1
1
ϕ
G
B1 u
A1
Зургаас харахад
прua = |a|·cos(a, u) = |a|·cos ϕ
(3)
байна.
Проекцын хувьд дараах чанарууд хүчинтэй.
1. прu(a + b) = прua + прub
1S
kk 1
a kkkkkkkBkyyyyyyyyyb
k
1
y
yyy
kkk
1
˜H91
kkk
kkk ˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜˜ 1
k
1
kkk ˜˜˜˜˜
˜˜˜
1k
˜
1
1
1
1
1
1
1
1
2. прu(λa) = λ · прua
A1
13
a+ b
B1
C
C1
G
u
14. Декартын тэгш өнцөгт суурь.
y
z
•
C yt t• t•t• • • • • • • • • • ••11
t
t
1
g
××
t
1
t
××
t
1
××
t
1
• • • • • • • • • • • • • • •g1
1
××
××1
1
1 ×××
×× 1
1
1 ××
××
1
1
××
××
×1
×
1
1
×× 1
××
1
1
×× 1
××
××
1
1
××
1
××
××
1
1
1
××
××
1
1
1
××
××
y
1
1 ×
1
××
×
1
1
1
××
1
1
1
××
G
G
t
1
1
G
×
t t
1
1
t
t
1
1
t
1
1
t
t
1
1
t
t 1
1
t
•
• • • • • • • • • • • • • •
t
1
a
a M
k
o
j
B
i
A
x
y
Огторгуйд ∀a авч, уг векторыг өөртэй нь
параллелиар зөөн эхлэлийг нь координатын
−→
−
эхтэй давхцуулан a = OM вектор байгуулъя.
−→
−
OM -ийн төгсгөлийг дайруулан координатын
хавтгай-нуудтай параллель хавтгайнууд татвал
−→
−
тэгш өнцөгт паралелопипед үүснэ.
OM нь
−→ −
−
→
түүний диагональ болно. Иймээс OM = OA +
−
−
→ −
→
OB + OC байна.
M1
Огторгуйн ∀a нь ортуудаараа нэгэн утгатай задарна.
a = xi + y j + z k
Баталгаа:
−→ − → − −
−
−
−→
−
→ −→
−
−−
−→ −
→ −
−
→ −
→
a = OM = OM1 + M1M = (OA + AM1) + M1M = OA + OB + OC
14
(4)
15. энд
−
→
OA = прOxa · ¯
i,
Иймд M (x, y, z)
=⇒
−
−
→
¯
OB = прOy a · j,
A(x, 0, 0),
прOxa = x,
−
→
¯
OC = прOz a · k
B(0, y, 0),
прOy a = y,
C(0, 0, z)
прOz a = z
болж (4) батлагдав.
(4) томъёог, a-г ортогональ сууриар задалсан задаргаа гэнэ.
x, y, z нь a-ийн ТӨКС-ийн координатын тэнхлэгүүд дээрх проекц учир
a = {x, y, z} гэж тэмдэглэе.
a = {x1, y1, z1},
b = {x2, y2, z2}
a, b ∈ R3. хувьд дараах чанарууд биелэнэ.
1. a + b = {x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2}
2. λa = {λx1, λy1, λz1}
3. x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2 үед л a = b байна.
15
16. Чиглүүлэгч косинусууд
x = |a| cos α,
y = |a| cos β,
энд α = (Ox, a)
β = (Oy, a), γ
тэнхлэгүүдтэй үүсгэх өнцгүүд.
Тэгвэл
x
cos α =
=
|a|
y
cos β =
=
|a|
z
cos γ =
=
|a|
z = |a| cos γ.
= (Oz, a) нь a векторын координатын
x
x2 + y 2 + z 2
y
x2
y2
+ +
z
z2
(5)
x2 + y 2 + z 2
cos α, cos β, cos γ– г a– векторын чиглүүлэгч косинусууд гэнэ.
(5)–аас
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
Иймд a0 гэсэн a–ийн нэгж векторын координатын тэнхлэгүүд дээрх проекц нь
түүний чиглүүлэгч косинусуудтай давхцана. ө.х a0 = {cos α, cos β, cos γ} байна.
−→
−
ТӨКС дэх ∀M цэгийн хувьд OM векторыг M цэгийн радиус вектор гэнэ.
16
17. −→
−
¯
¯
r = OM = x¯ + y j + z k,
i
r = {x, y, z}
−→
−
OM радиус векторын координатын тэнхлэгүүд дээрх проекц нь M цэгийн
координат болно.
Огторгуйд, харгалзан r1, r2 радиус вектор бүхий A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) цэгүүд
өгөгдсөн гэж үзье.
Тэгвэл
−
→
AB = r2 − r1 = {x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1}
=⇒
−
→
|AB| =
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
(6)
(6) томъёог хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томъёо гэнэ.
Хэрчмийг өгөгдсөн харьцаанд хуваах.
−→
−
−→
−
A, B цэгүүдийг дайрсан шулуун дээр AM = λ · M B байх M цэгийг олох
бодлогыг авч үзье.
17
18. Bllllll
l
lll ·
lll
ll·
lll
Alllllll M
ll
lll ·
l
λ 0 бол
λ = −1 гэж үзнэ.
Хэрэв M нь A, B-ийн хооронд байвал дотоод хуваалт
гэх бөгөөд λ 0 байна.
Хэрэв M нь A, B-ийн үргэлжлэл дээр байвал гадаад
хуваалт гэх ба энэ үед λ 0 байна.
−→
−
AM = r − r1,
−→
−
M B = r2 − r,
−→
−
−→
−
AM = λ · M B
байх M цэг олдох учир
r − r1 = λ(r2 − r) =⇒ r =
r1 + λr2
1+λ
болно.
Эндээс
y1 + λy2
z1 + λz2
x1 + λx2
, y=
, z=
1+λ
1+λ
1+λ
болох ба (7) томъёог хэрчмийг өгөгдсөн харьцаанд хуваах томъёо гэнэ.
x=
18
(7)
21. Хоёр векторын вектор үржвэр.
a, b векторуудын вектор үржвэр гэж: модуль нь |a| · |b| sin(a, b)
үржвэртэй тэнцүү, a, b векторуудын хавтгайд перпендикуляр бөгөөд a, b, c нь
баруун гуравт үүсгэх c векторыг хэлнэ.
Ө.х
|c| = a × b = [ab] = |a| · |b| sin(a, b)
байна.
a × b = 0 ⇐⇒ a = 0, b = 0 нь коллинеар байх явдал юм
Вектор үржверийн чанарууд
y
1. a × b = −b × a
c
b
2. a × (b + c) = a × b + a × c
S
lly y
yy
lll
lll
yy
ll
lll
y
yyy
lll
l
yyy
l l
yyy
l
yyy l l l
yl
9
3. (ka) × b = a × (k b) = k(a × b)
a
21
22. a = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2} векторууд координатаар өгөгдсөн гэе.
Тэгвэл вектор үржвэр нь:
i j k
c = a × b = [(x1i + y1j + z1k)(x2i + y2j + z2k)] = x1 y1 z1
x2 y2 z2
гэж олдоно.
Геометр утгаараа вектор үржвэр нь a, b-ээр байгуулагдсан параллелограммын
талбайтай тэнцүү.
Ө.х
y1 z1
y2 z2
S = |c| = |a × b| =
22
2
x z
+ 1 1
x2 z2
2
x y
+ 1 1
x2 y2
2
23. Гурван векторын холимог үржвэр.
a, b, c гурван вектороор зохиосон (a×b)·c үржвэрийг уг гурван векторынхолимог
үржвэр гэнэ.
Холимог үржвэр нь абсолют (геометр) утгаараа уг гурван вектороор байгуулагдсан
параллелопипедийн эзлэхүүнтэй тэнцэнэ.
z
y
``
1
1 ```
``
1
`
1
1
1
1
``
``
1
`` • • • • •`
•
G
``
`
``
`
``
`
``
)
``
)
c
O
y``
``
``
``
b
yG
S = (a×b)c =
y1 z1
x z
x y
x3− 1 1 y3+ 1 1
y2 z2
x2 z2
x2 y2
a x
Холимог үржвэрийн чанарууд.
1. (a × b)c = a(b × c)
2. (abc) = (bca) = (cab) = (acb) = −(bac) = −(cba)
23
x1 y1 z1
z3 = x2 y2 z2
x3 y3 z3
24. Гурван векторын давхар вектор үржвэр.
a × b векторыг c вектороор вектор үржүүлсэн үржвэрийг давхар вектор
үржвэр гэж нэрлээд (a × b) × c гэж тэмдэглэнэ.
(a × b) × c = b(ac) − (bc)a гэж задарна.
(a × b) × c =
y1 z1
x z
x y
,− 1 1 , 1 1
y2 z2
x2 z2
x2 y2
× {x3, y3, z3}
буюу
(a×b)×c =
−
x1 z1
x2 z2
y3
x1 y1
x2 y2
z3
y1 z1
y2 z2
x3
,−
x1 y1
x2 y2
z3
Энд
(a × b) × c = a × (b × c)
24
,
y1 z1
y2 z2
x3
−
x1 z1
x2 z2
y3
