Олон хувьсагчтай функцийн тухайн уламжлал ба бүтэн дифференциал

1. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
МАТЕМАТИК-2
Олон хувьсагчтай функцийн үндэс
Д.Баттөр
2010 оны 2-р сарын 10

2. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
1 Олон хувьсагчтай функц (ОХФ)
(ОХФ)-ийн тухайн уламжлал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Давхар функцийн уламжлал
Далд функцийн уламжлал
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
(ОХФ)-ийн градент
2 (ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал ба бүтэн
дифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал

3. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Тодорхойлт
Хэрэв z = f (x; y)-функцийн тухайн уламжлалуудыг аргументийн
өөрчлөлтөөр үржүүлэн нийлбэрчилсэн нийлбэр
dz =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy (1)
-ийг f (x; y) функцийн бүтэн дифференциал гэж нэрлээд dz-гэж
тэмдэглэнэ.

4. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Тодорхойлт
Хэрэв z = f (x; y)-функцийн тухайн уламжлалуудыг аргументийн
өөрчлөлтөөр үржүүлэн нийлбэрчилсэн нийлбэр
dz =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy (1)
-ийг f (x; y) функцийн бүтэн дифференциал гэж нэрлээд dz-гэж
тэмдэглэнэ.
Тодорхойлт
z = f (x1; x2; ...; xn) гэсэн n-хувьсагчтай функцийн бүтэн
дифференциал нь
dz =
∂f
∂x1
dx1 +
∂f
∂x2
dx2 + · · · +
∂f
∂xn
dxn (2)
байна.

5. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − y
x функцийн бүтэн дифференциалыг ол.

6. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − y
x функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
∂z
∂x = y + y
x2 ;

7. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − y
x функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
∂z
∂x = y + y
x2 ; ∂z
∂y = x − 1
x .

8. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − y
x функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
∂z
∂x = y + y
x2 ; ∂z
∂y = x − 1
x .
dz = (y +
y
x2
)dx + (x −
1
x
)dy.

9. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − y
x функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
∂z
∂x = y + y
x2 ; ∂z
∂y = x − 1
x .
dz = (y +
y
x2
)dx + (x −
1
x
)dy.
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэг
дээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.

10. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − y
x функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
∂z
∂x = y + y
x2 ; ∂z
∂y = x − 1
x .
dz = (y +
y
x2
)dx + (x −
1
x
)dy.
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэг
дээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.
∂z
∂x = yexy ;

11. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − y
x функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
∂z
∂x = y + y
x2 ; ∂z
∂y = x − 1
x .
dz = (y +
y
x2
)dx + (x −
1
x
)dy.
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэг
дээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.
∂z
∂x = yexy ; ∂z
∂y = xexy .

12. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − y
x функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
∂z
∂x = y + y
x2 ; ∂z
∂y = x − 1
x .
dz = (y +
y
x2
)dx + (x −
1
x
)dy.
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэг
дээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.
∂z
∂x = yexy ; ∂z
∂y = xexy .dz = yexy dx + xexy dy

13. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − y
x функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
∂z
∂x = y + y
x2 ; ∂z
∂y = x − 1
x .
dz = (y +
y
x2
)dx + (x −
1
x
)dy.
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэг
дээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.
∂z
∂x = yexy ; ∂z
∂y = xexy .dz = yexy dx + xexy dy
dz = exy
(ydx+xdy)

14. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − y
x функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
∂z
∂x = y + y
x2 ; ∂z
∂y = x − 1
x .
dz = (y +
y
x2
)dx + (x −
1
x
)dy.
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэг
дээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.
∂z
∂x = yexy ; ∂z
∂y = xexy .dz = yexy dx + xexy dy
dz = exy
(ydx+xdy) dz
M
= e1·1
(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.

15. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Давхар функцийн уламжлал
Тодорхойлт
V -муж дээр тодорхойлогдсон z = F(u; v)-гэсэн хоёр хувьсагчтай
функц авч түүний аргумент u, v-г x, y-гээс хамаарсан
u = φ(x; y), v = ψ(x; y),
(x; y) ∈ D, (u; v) ∈ V функц байх z = F(φ(x; y); ψ(x; y))-ыг D муж
дээр тодорхойлогдсон давхар функц гэнэ.

16. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Давхар функцийн уламжлал
Тодорхойлт
V -муж дээр тодорхойлогдсон z = F(u; v)-гэсэн хоёр хувьсагчтай
функц авч түүний аргумент u, v-г x, y-гээс хамаарсан
u = φ(x; y), v = ψ(x; y),
(x; y) ∈ D, (u; v) ∈ V функц байх z = F(φ(x; y); ψ(x; y))-ыг D муж
дээр тодорхойлогдсон давхар функц гэнэ.
Тодорхойлт
F(u, v), φ(x; y), ψ(x; y) гэсэн функцүүдийг өөр өөрийнхөө бүх
аргументуудаараа тасралтгүй, мөн тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай
гэж үзээд ∂F
∂x
, ∂F
∂y
уламжлалууд
∂z
∂x
=
∂F
∂u
·
∂u
∂x
+
∂F
∂v
·
∂v
∂x
(3)
∂z
∂y
=
∂F
∂u
·
∂u
∂y
+
∂F
∂v
·
∂v
∂y
(4)
байна.

17. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y, v = x sin y давхар функцийн
уламжлалуудыг ол.

18. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y, v = x sin y давхар функцийн
уламжлалуудыг ол.
∂z
∂u = 2u; ∂z
∂v = −2v;

19. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y, v = x sin y давхар функцийн
уламжлалуудыг ол.
∂z
∂u = 2u; ∂z
∂v = −2v;
∂u
∂x = cos y ∂u
∂y = −x sin y,

20. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y, v = x sin y давхар функцийн
уламжлалуудыг ол.
∂z
∂u = 2u; ∂z
∂v = −2v;
∂u
∂x = cos y ∂u
∂y = −x sin y,
∂v
∂x = sin y, ∂v
∂y = x cos y тул

21. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y, v = x sin y давхар функцийн
уламжлалуудыг ол.
∂z
∂u = 2u; ∂z
∂v = −2v;
∂u
∂x = cos y ∂u
∂y = −x sin y,
∂v
∂x = sin y, ∂v
∂y = x cos y тул
∂z
∂x
= 2u cos y − 2x sin y = 2x cos2
y − 2v sin2
y,

22. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y, v = x sin y давхар функцийн
уламжлалуудыг ол.
∂z
∂u = 2u; ∂z
∂v = −2v;
∂u
∂x = cos y ∂u
∂y = −x sin y,
∂v
∂x = sin y, ∂v
∂y = x cos y тул
∂z
∂x
= 2u cos y − 2x sin y = 2x cos2
y − 2v sin2
y,
∂z
∂y
= −2ux sin y − 2vx cos y = −x2
sin 2y − x2
sin 2y
байна.

23. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Далд функцийн уламжлал
Тодорхойлт
F(x; y) = 0 (5)
гэсэн хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл авъя. Хэрэв x-ын нэг
тодорхой утга бүхэнд (5) тэгшитгэлийг хангах y-ын зөвхөн
ганц утга харгалзах бол (5)-тэгшитгэлийг x-ээс хамаарсан y
функцийг далд хэлбэрээр тодорхойлж байна гэнэ.

24. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Далд функцийн уламжлал
Теорем
Хэрэв x-аргументаас хамаарсан y-функц нь (5) тэгшитгэлээр
далд хэлбэрээр тодорхойлогдсон байг.
Үүнд F(x; y), Fx (x; y), Fy (x; y)-нь координатууд нь (5)
тэгшитгэлийг хангах (x; y) цэгийг агуулсан D муж дээр
тасралтгүй ба Fy (x; y) = 0 байг. Тэгэхэд y далд функцээс x
хувьсагчаар авсан уламжлал нь
yx = −
Fx (x; y)
Fy (x; y)
(6)
байна. (6) адилтгалыг
yx = −
∂F
∂x
∂F
∂y
(7)
гэж бичиж болно.

25. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Далд функцийн уламжлал
Жишээ
ey − ex + xy = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдох x-ээс
хамаарсан y-далд функцийн уламжлалыг ол.

26. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Далд функцийн уламжлал
Жишээ
ey − ex + xy = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдох x-ээс
хамаарсан y-далд функцийн уламжлалыг ол.
F(x; y) = ey
− ex
+ xy

27. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Далд функцийн уламжлал
Жишээ
ey − ex + xy = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдох x-ээс
хамаарсан y-далд функцийн уламжлалыг ол.
F(x; y) = ey
− ex
+ xy ⇒
Fx = −ex + y,
Fy = ey + x

28. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Далд функцийн уламжлал
Жишээ
ey − ex + xy = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдох x-ээс
хамаарсан y-далд функцийн уламжлалыг ол.
F(x; y) = ey
− ex
+ xy ⇒
Fx = −ex + y,
Fy = ey + x
тул yx = −
y − ex
x + ey

29. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
Далд функцийн уламжлал
Жишээ
ey − ex + xy = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдох x-ээс
хамаарсан y-далд функцийн уламжлалыг ол.
F(x; y) = ey
− ex
+ xy ⇒
Fx = −ex + y,
Fy = ey + x
тул yx = −
y − ex
x + ey
=
ex − y
ey + x

30. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Тодорхойлолт
∆s → 0 үеийн ∆u
∆s -ноогдворын хязгаарыг u = f (x; y; z)
функцээс s-векторын чиглэлийн дагуух M(x; y; z) цэг дээрх
чиглэлээр авсан уламжлал гэж нэрлээд ∂u
∂s M
-гэж
тэмдэглэнэ.
Иймд u = f (x; y; z) функцийн s-векторын чиглэлээр авсан
уламжлал нь
∂u
∂s
=
∂u
∂x
cos α +
∂u
∂y
cos β +
∂u
∂z
cos γ (8)
болно.

31. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Зураг: Вектор

32. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i + j + 3k векторын чиглэлээр
авсан уламжлалыг M(1; 2; −1) цэг дээр ол.

33. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i + j + 3k векторын чиглэлээр
авсан уламжлалыг M(1; 2; −1) цэг дээр ол.
∂u
∂x = yz, ∂u
∂y = xz, ∂u
∂z = xy болох ба

34. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i + j + 3k векторын чиглэлээр
авсан уламжлалыг M(1; 2; −1) цэг дээр ол.
∂u
∂x = yz, ∂u
∂y = xz, ∂u
∂z = xy болох бачиглүүлэгч косинусууд
нь
cos α =
2
√
22 + 12 + 32
=
2
√
14
, cos β =
1
√
14
, cos γ =
3
√
14
байх тул

35. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i + j + 3k векторын чиглэлээр
авсан уламжлалыг M(1; 2; −1) цэг дээр ол.
∂u
∂x = yz, ∂u
∂y = xz, ∂u
∂z = xy болох бачиглүүлэгч косинусууд
нь
cos α =
2
√
22 + 12 + 32
=
2
√
14
, cos β =
1
√
14
, cos γ =
3
√
14
байх тулu = xyz-функцээс M(1; 2; −1) цэг дээрх
s = 2i + j + 3k-векторын чиглэлээр авсан уламжлал нь
∂u
∂s
= 2·(−1)
2
√
14
+1·(−1)
1
√
14
+1·2·
3
√
14
=
−4 − 1 + 6
√
14
=
1
√
14
байна.

36. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i + 1j + 3k векторын чиглэлээр
авсан уламжлалыг M(1; 2; −1) цэг дээр ол.
∂u
∂x = yz, ∂u
∂y = xz, ∂u
∂z = xy болох бачиглүүлэгч косинусууд
нь
cos α =
2
√
22 + 12 + 32
=
2
√
14
, cos β =
1
√
14
, cos γ =
3
√
14
байх тулu = xyz-функцээс M(1; 2; −1) цэг дээрх
s = 2i + j + 3k-векторын чиглэлээр авсан уламжлал нь
∂u
∂s
= 2·(−1)
2
√
14
+1·(−1)
1
√
14
+1·2·
3
√
14
=
−4 − 1 + 6
√
14
=
1
√
14
байна.

37. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i + j + 3k векторын чиглэлээр
авсан уламжлалыг M(1; 2; −1) цэг дээр ол.
∂u
∂x = yz, ∂u
∂y = xz, ∂u
∂z = xy болох бачиглүүлэгч косинусууд
нь
cos α =
2
√
22 + 12 + 32
=
2
√
14
, cos β =
1
√
14
, cos γ =
3
√
14
байх тулu = xyz-функцээс M(1; 2; −1) цэг дээрх
s = 2i + j + 3k-векторын чиглэлээр авсан уламжлал нь
∂u
∂s
= 2·(−1)
2
√
14
+1·(−1)
1
√
14
+1·2·
3
√
14
=
−4 − 1 + 6
√
14
=
1
√
14
байна.

38. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн градент
Тодорхойлолт
u = f (x; y; z) функцийн тодорхойлогдох муж D-ийн (x; y; z)
цэг
дээрх координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцүүд нь харгалзан
уул функцийн тухайн уламжлалууд ∂u
∂x , ∂u
∂y , ∂u
∂z байх
∂u
∂x
i +
∂u
∂y
j +
∂u
∂z
k
гэсэн векторыг u = f (x; y; z) функцийн градиент вектор гэж
нэрлээд gradu-гэж тэмдэглэх ба
gradu =
∂u
∂x
i +
∂u
∂y
j +
∂u
∂z
k (9)
байна.

39. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Зураг: Градент
Градентийн зарим чанар
1 grad(u1 + u2) = gradu1 + gradu2
2 grad(c · u) = c · gradu. Үүнд c − const.

40. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн градент
Жишээ
u = x2 + y2 + z2 функцийн M(1; 2; −1) цэг дээрх
градиентийг ол.

41. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн градент
Жишээ
u = x2 + y2 + z2 функцийн M(1; 2; −1) цэг дээрх
градиентийг ол.
Энэ функцийн дурын цэг дээрх градиент нь
gradu = 2xi + 2yj + 2zk
байна.

42. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн градент
Жишээ
u = x2 + y2 + z2 функцийн M(1; 2; −1) цэг дээрх
градиентийг ол.
Энэ функцийн дурын цэг дээрх градиент нь
gradu = 2xi + 2yj + 2zk
байна.Одоо энэ функцийн M(1; 2; −1) цэг дээрх градиентыг
олбол
(gradu)
M
= 2i + 4j − 2k
болно.
|(gradu)
M
| =
√
4 + 16 + 4 = 2
√
6.

43. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Тодорхойлолт
z = f (x; y) функц авч энэ функцийн ямар нэгэн D муж дээр
тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай гэж үзье. Тэгэхэд
fx (x; y), fy (x; y)-тухайн уламжлалууд нь x; y-хувьсагчаас
хамаарсан функц байх тул тэдгээрийн тухайн
уламжлалуудыг олж болно. I эрэмбийн уламжлалуудаас
авсан тухайн уламжлалуудыг z = f (x; y) функцийн II
эрэмбийн тухайн уламжлал гээд
∂2z
∂x2
= fxx (x; y),
∂2z
∂x∂y
= fxy (x; y),
∂2z
∂y∂x
= fyx (x; y),
∂2z
∂y2
= fyy (x; y)
гэж тэмдэглэнэ.

44. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг ол.

45. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг ол.
∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z
∂y = 2x3y + 5y4

46. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг ол.
∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z
∂y = 2x3y + 5y4
∂2z
∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y,

47. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг ол.
∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z
∂y = 2x3y + 5y4
∂2z
∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y,
∂2z
∂y∂x = 6x2y, ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3

48. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг ол.
∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z
∂y = 2x3y + 5y4
∂2z
∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y,
∂2z
∂y∂x = 6x2y, ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z
∂y∂x2 = 12xy, ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,

49. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг ол.
∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z
∂y = 2x3y + 5y4
∂2z
∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y,
∂2z
∂y∂x = 6x2y, ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z
∂y∂x2 = 12xy, ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,
∂3z
∂y2∂x
= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,

50. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг ол.
∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z
∂y = 2x3y + 5y4
∂2z
∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y,
∂2z
∂y∂x = 6x2y, ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z
∂y∂x2 = 12xy, ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,
∂3z
∂y2∂x
= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,
∂3z
∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y
= 12xy,

51. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг ол.
∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z
∂y = 2x3y + 5y4
∂2z
∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y,
∂2z
∂y∂x = 6x2y, ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z
∂y∂x2 = 12xy, ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,
∂3z
∂y2∂x
= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,
∂3z
∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y
= 12xy,
∂3z
∂x∂y∂x = 12xy, ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.

52. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг ол.
∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z
∂y = 2x3y + 5y4
∂2z
∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y,
∂2z
∂y∂x = 6x2y, ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z
∂y∂x2 = 12xy, ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,
∂3z
∂y2∂x
= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,
∂3z
∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y
= 12xy,
∂3z
∂x∂y∂x = 12xy, ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.

53. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийн
тухайн уламжлалуудыг ол.
∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z
∂y = 2x3y + 5y4
∂2z
∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y,
∂2z
∂y∂x = 6x2y, ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z
∂y∂x2 = 12xy, ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,
∂3z
∂y2∂x
= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,
∂3z
∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y
= 12xy,
∂3z
∂x∂y∂x = 12xy, ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.

54. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Тодорхойлт
z = f (x; y) функцийн хувьд fxy (x; y), fyx (x; y)-гэсэн
хоёрдугаар эрэмбийн тухайн уламжлалуудыг холимог
уламжлал гэнэ.

55. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Тодорхойлт
z = f (x; y) функцийн хувьд fxy (x; y), fyx (x; y)-гэсэн
хоёрдугаар эрэмбийн тухайн уламжлалуудыг холимог
уламжлал гэнэ.
Теорем
Хэрэв z = f (x; y) функц ба түүний
fx , fy , fxy , fyx -уламжлалууд ямар нэг M(x; y) цэг болон
түүний орчинд тодорхойлогдохын хамт тасралтгүй байвал
M(x; y) цэг дээр
fxy = fyx (10)
байна.

56. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x; y) функцийг M(x; y) цэг дээр II-эрэмбийн
тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыг
түүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.

57. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x; y) функцийг M(x; y) цэг дээр II-эрэмбийн
тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыг
түүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.
d2
z = d(dz)

58. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x; y) функцийг M(x; y) цэг дээр II-эрэмбийн
тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыг
түүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.
d2
z = d(dz) = d
∂z
∂x
dx +
∂z
∂y
dy

59. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x; y) функцийг M(x; y) цэг дээр II-эрэмбийн
тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыг
түүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.
d2
z = d(dz) = d
∂z
∂x
dx +
∂z
∂y
dy
= d
∂z
∂x
dx + d
∂z
∂y
dy

60. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x; y) функцийг M(x; y) цэг дээр II-эрэмбийн
тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыг
түүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.
d2
z = d(dz) = d
∂z
∂x
dx +
∂z
∂y
dy
= d
∂z
∂x
dx + d
∂z
∂y
dy
=
∂2z
∂x2
dx2
+ 2
∂2z
∂x∂y
dxdy +
∂2z
∂y2
dy2

61. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x; y) функцийг M(x; y) цэг дээр II-эрэмбийн
тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыг
түүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.
d2
z = d(dz) = d
∂z
∂x
dx +
∂z
∂y
dy
= d
∂z
∂x
dx + d
∂z
∂y
dy
=
∂2z
∂x2
dx2
+ 2
∂2z
∂x∂y
dxdy +
∂2z
∂y2
dy2
=
∂
∂x
dx +
∂
∂y
dy
2
z

62. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Гаргалгаа
Үүний адилаар d(d2
z) = d3
z-ыг олбол
d3
z

63. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Гаргалгаа
Үүний адилаар d(d2
z) = d3
z-ыг олбол
d3
z =
∂3
z
∂x3
dx3
+ 3
∂3
z
∂x2∂y
dx2
dy+
+3
∂3
z
∂x∂y2
dxdy2
+
∂3
z
∂y3
dy3

64. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Гаргалгаа
Үүний адилаар d(d2
z) = d3
z-ыг олбол
d3
z =
∂3
z
∂x3
dx3
+ 3
∂3
z
∂x2∂y
dx2
dy+
+3
∂3
z
∂x∂y2
dxdy2
+
∂3
z
∂y3
dy3
=
∂
∂x
dx +
∂
∂y
dy
3
z
болно.

65. МАТЕМАТИК-
2
Д.Баттөр
Агуулга
Олон
хувьсагчтай
функц
(ОХФ)
(ОХФ)-ийн
тухайн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
бүтэн
дифференциал
Давхар
функцийн
уламжлал
Далд
функцийн
уламжлал
(ОХФ)-ийн
өгөгдсөн
чиглэлээр
авсан
уламжлал
(ОХФ)-ийн
градент
(ОХФ)-ийн
дээд
эрэмбийн
тухайн
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Гаргалгаа
Үүний адилаар d(d2
z) = d3
z-ыг олбол
d3
z =
∂3
z
∂x3
dx3
+ 3
∂3
z
∂x2∂y
dx2
dy+
+3
∂3
z
∂x∂y2
dxdy2
+
∂3
z
∂y3
dy3
=
∂
∂x
dx +
∂
∂y
dy
3
z
болно.
Өргөтгөл
II ба III-эрэмбийн дифференциалыг олох ерөнхий томъёог ашиглавал
n-эрэмбийн дифференциалын хувьд дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.
dn
z =
∂
∂x
dx +
∂
∂y
dy
n
z (11)