1. Тоон цуваа 1
Батлав: .......................ПХТ-ийн эрхлэгч / Л.Батбилэг/
МТ102 Лекц -12
Тоон цуваа
Функцийн утгыг бодох, тодорхой интеграл болон дифференциал
тэгшитгэл бодох зэрэгт цувааг ашиглана. Цуваа нийлэх зайлшгүй нөхцөл.
Тодорхойлолт.
= + + + ⋯
хэлбэрээр өгөгдсөн илэрхийллийг цуваа гэнэ. Энд , , , … , , … цувааны
гишүүд гэх ба тэр нь тоо эсвэл функц байж болно. Хэрвээ цувааны бүх гишүүд
нь тоо байвал түүнийг тоон цуваа, функц бол функциональ цуваа гэнэ.
∑ = + + + ⋯ (1)
тоон цувааг авч үзье . Цувааны эхний гишүүний нийлбэрийг цувааны хэсгийн
нийлбэр буюу = ∑ = + + ⋯ + гэж тэмдэглэнэ.
Хэрвээ = lim → хязгаарын утга оршин байдаг бол уг цувааг нийлдэг цуваа
гэх ба ∑ = (2) байна.
Хэрвээ lim → хязгаарын утга үл оршин байвал уг цувааг үл нийлэх цуваа
гэнэ. Хэрвээ цувааны гишүүд бүгд сөрөг биш тэмдэгтэй байвал түүнийг эерэг
цуваа гэх ба цувааны нийлбэр нь төгсгөлөг буюу дээрээсээ зааглагдсан утгатай
бол нийлдэг, эсрэг тохиолдолд үл нийлдэг цуваа гэнэ.
Хэрвээ цуваанаас эхний гишүүнийг хасвал гишүүний дараах үлдэгдэл
цуваа буюу
= = + + ⋯
үүснэ.
Теорем: 1. Хэрвээ ∑ = + + + ⋯ цуваа нийлдэг бол уг цувааны
дурын үлдэгдэл цуваа нийлнэ. Эсрэг чиглэлд дурын үлдэгдэл ∑ =
+ + ⋯ цуваа нийлдэг бол ∑ = + + + ⋯ цуваа нийлнэ.
Теорем: 2. Хэрвээ ∑ = + + + ⋯ цуваа нийлдэг бол уг цувааны
дурын үлдэгдэл цувааны нийлбэр = ∑ утга → ∞ үед 0 рүү
тэмүүлнэ. Ө.х., lim → = 0 байна.

2. Тоон цуваа 2
Теорем: 3. (Зайлшгүй нөхцөл) Хэрвээ ∑ = + + + ⋯ цуваа нийлдэг
бол lim → = 0 байна.
Тодотгол. Хэрвээ lim → ≠ 0 бол цуваа үл нийлнэ.
Тоон цувааны жишээ.
Геометр прогресс ∑ = + + + ⋯,
Гармоник цуваа ∑ = 1 + + + ⋯,
Дээр өгөгдсөн геометр прогресс цувааны хувьд | | < 1 нөхцөл биелж байвал
нийлнэ. Эсрэг тохиолдолд уг цуваа үл нийлнэ. Гармоник цуваа нь үл нийлнэ.
Тодотгол. Теорем. 3-д өгөгдсөн lim → = 0 нөхцөл нь цуваа нийлэх
хүрэлцээтэй нөхцөл байж чадахгүй.
Teoрем : 4. (Харьцуулах 1-р шинжүүр)
Хэрвээ ∀ ≥ хувьд
≤
нөхцөл биелдэг, мөн ∑ цуваа нь нийлдэг бол ∑ цуваа нийлдэг
цуваа байна.
Teoрем: 5. (Харьцуулах 2-р шинжүүр)
Хэрвээ lim → = ≠ 0 бол ∑ ба ∑ цуваанууд зэрэг нийлэх,
эсвэл эс нийлэх цуваанууд байна.
Teoрем: 6. (Кошийн интеграл шинжүүр)
Хэрвээ ( ) нь > 0 үед сөрөг биш, өсдөггүй функц бол
= + + + ⋯, = ( )
хэлбэрээр өгөгдсөн цуваа ба
= ( )
интеграл нь зэрэг нийлнэ. Эсвэл эс нийлнэ.
Тодотгол. = ∫ ( ) интегралын доод хязгаар нь ( ) функцийн
тодорхойлогдох мужид харъяалагдах дурын эерэг өөр тоо байж болно.

3. Тоон цуваа 3
Геометр цуваа
∑ = 1 + + + ⋯, (3)
Хэлбэрийн цувааг геометр цуваа гэнэ. (3) цувааны n-р хэсгийн нийлбэр нь
= ∑ = 1 + + + ⋯ + = ≠ 1 (4)
Хэрэв | | < 1 бол lim → хязгаар төгсгөлөг биш учир (3) цуваа сарнин.
Теорем7
∑ = 1 + + + ⋯
Геометр цуваа.
а. | | < 1 үед рүү нийлнэ.
b. | | > 1 үед сарнина.
Д’Аламберийн шинжүүр. Кошийн шинжүүр. Бусад шинжүүрүүд.
= + + + ⋯
эерэг гишүүн бүхий цувааг авч үзье.
Teoрем: 7. (Д’Аламберийн шинжүүр)
Хэрвээ ∑ = + + + ⋯ цувааны хувьд
lim
→
=
хязгаар оршин байдаг бөгөөд < 1 үед цуваа нийлж > 1 үед үл нийлнэ.
Тодотгол. = 1 үед цуваа нийлэх, эс нийлэх асуудал тодорхой бус байна.
Teoрем: 8. (Кошийн шинжүүр)
Хэрвээ ∑ = + + + ⋯ цувааны хувьд
lim
→
=
хязгаар оршин байдаг бөгөөд < 1 үед цуваа нийлж > 1 үед үл нийлнэ.
Teoрем: 9. (Раабегийн шинжүүр)
Хэрвээ ∑ = + + + ⋯ цувааны хувьд
lim
→
− 1 =
хязгаар оршин байдаг бөгөөд < 1 үед цуваа нийлж > 1 үед үл нийлнэ.
Teoрем: 10. (Гауссын шинжүүр)
Хэрвээ ∑ = + + + ⋯ цувааны хувьд

4. Тоон цуваа 4
=
+ + 2 +
+ + 2 +
хязгаар оршин байдаг бөгөөд − > 1 үед цуваа нийлж − ≤ 1 үед
үл нийлнэ.
Бодолт. Цувааны ерөнхий гишүүн =
( )( )…( ) ( )( )…( )
!∙ ∙( )( )…( )
,
түүний дараагийн гишүүн нь =
( )( )…( ) ( )( )…( )
( )!∙ ∙( )( )…( )
болно. Тэгвэл
=
( )( )
( )( )
= харьцаа ба түүний хязгаарын утга
lim
→
= 1
буюу = 1 тул тодорхой бус нөхцөл байдал үүснэ. Гауссын шинжүүрийг
ашиглая. = + , = + 1 тул − = + 1 − − > 1 үед цуваа нийлэх
ба − = + 1 − − ≤ 1 үед цуваа үл нийлнэ. Ө.х., − − > 0 үед
нийлнэ. − − ≤ 0 үед үл нийлнэ.