1. Дифференциалчлагдах функцийн тухай теоремууд
Теорем 8.1 (Роллийн теорем) Хэрэв У=f(x) функц [ a,b ] хэрчим дээр
тасралтгүй ( a,b ) завсарт дифференциалчлагдахаас гадна f(a)=f(b) байвал
(c)=0 нөхцлийг хангах С цэг ( a,b ) завсраас ядаж нэг олдоно.
Теорем 8.2 (Лагранжийн теорем) У=f(x) Функц [ a,b ] хэрчим дээр тасралтгүй
бөгөөд ( a,b ) дээр дифференциалчлагдаж байвал (1) = (c) томъѐог
хангах С цэг энэ интервалаас ядаж нэг олдоно. Үүнээс харвал энэ теоремын
геометр утга нь A( a, f(a) ) ; B( b, f(b) ) хоѐр цэгийг дайрсан хөвчтэй
параллель C( c, f(c) ) цэгт татсан шүргэгч ядаж нэг байна гэсэн үг юм. (1)
тэгцэтгэлээс f(b)-f(a)= (c)(b-a) гэж бичиж болох ба үүнийг функцийн
төгсгөлөг өөрчлөлтийн тухай Лагражийн томъѐо гэдэг.
Теорем 8.3 (Кошигийн теорем) Хэрэв У=f(x) ; У=φ(x) функцүүд [ a,b ]
хэрчим дээр тасралтгүй бөгөөд ( a,b ) завсарт дифференциалчлагдаж (
≠0 , x€ ( a,b ) ) байвал = (2)
гэсэн нөхцлийг хангах С цэг ( a,b ) завсраас ядаж нэг олдоно.
Баталгаа. Туслах чанарын F(x)=f(x) - f(a) - [ ]
Функц авъя. Энэ функц нь Роллийн теоремын бүх нөхцлийг хангах учир
=0 байх С цэг ( a,b ) –aac ядаж нэг олдоно. Иимд (c)= (c) –
(c)=0 буюу эндээс (2) гарч батлагдав.
Бодлого 1 [ 0.8 ] хэрчим дээр f(x)= функцийн хувьд Роллийн
теоремын нөхцлийг шалгаж С-г ол!
Бодолт. Өгсөн функц бүх тоон тэнхлэг дээр тасралтгүй бөгөөд уламжлал
(x)= нь
Х≠0 , Х≠8 үед оршин байна. Өөрөөр хэлбэл өгсөн функц ( 0,8 ) интервалд
дифференциалчлагдана.

2. Мөн f(0)=f(8)=0 учир Роллийн теорем [ 0,8 ] хэрчим дээр биелэгдэх бөгөөд
С=4 байна.
Бодлого 2 f(x)= ; функцийн хувьд [ 1,4 ] хэрчим дээр Кошийн
томъѐог бичиж X=C утгыг ол!
Бодолт. Өгсөн хоѐр функцийн хувьд [ 1;4 ] хэрчим дээр Кошийн теоремын
бүх нөхцөл биелэгдэнэ. Мөн (x)=2x , (x)= учир = буюу
15=4х болно. Эндээс Х=С= байна. Лопиталын дүрэм. У=f(x) ,
У= функцүүд х=а цэгийн орчинд дифференциалчлагдах ба
байг. Хэрэв буюу
өөрөөр хэлбэл , хэлбэрийн тодорхой биш
байвал байна.
Үүнийг Лопиталын дүрэм гэнэ.
Жишээ 1
Жишээ 2
Жишээ 3
Жишээ 4 ,(
Заримдаа Лопиталын дүрмийг хэд хэд дахин хэрэглэх замаар тодорхой
бишийг тайлдаг.
Жишээ 5 =
Жишээ 6 (n – эерэг бүхэл тоо ) хязгаарыг бод.

3. Бодолт. Энэ нь хэлбэрийн тодорхойгүй бөгөөд Лопиталын дүрмийг N
удаа хэрэглэнэ. = ....
= =0
Бид , хэлбэрийн тодорхой бишийг бодохыг авч үзлээ. Одоо бусад
хэлбэрийн тодорхой бишийн тайланыг авч үзье.
Хэрэв 0 хэлбэрийн тодорхой биш байвал хувиргалт хийх замаар
хэлбэр рүү шилжүүлж бодно.
Жишээ 7 = =
Тейлорын томъѐо. Хэрэв У=f(x) функц a цэгийг агуулсан ямар нэг
интервалд n+1 удаа дифференциалчлагдаж байвал
f(x)=f(a)+ (4)
томъѐо хүчинтэй байна.
- г үлдэгдэл гишүүн гэдэг. Үлдэгдэл гишүүнийг ихэнх тохиолдолд
үлдэгдэл гишүүний Лагранжийн хэлбэр гэж нэрлэдэг.
хэлбэрээр авдаг.
Тейлорын томъѐонд гэж авбал
f(x) = f(0) + болох бөгөөд үүнийг
Маклорены томъѐо гэнэ. Энд байна.
Тейлорын томъѐо нь дурын функцыг олон гишүүнтээр илэрхийлэх боломж
олгож байна.

4. Иймд маш чухал томъѐо юм. Олон гишүүнт нь бусад функцүүдийг бодоход
математикийн янз бүрийн үйлдэл хийхэд хялбар байдаг учир функцийг
ойролцоогоор олон гишүүнтээр сольж судлах явдал практик ач холбогдолтой
билээ.
Жишээ 1 f(x) = 1+5x-3 олон гишүүнтийг Х+1 ийн зэргээр бич
Бодолт.
болох учраас
Жишээ 2 f(x)=sinx функцийг Маклерны томъѐогоор задал
Бодолт. байдаг болохыг санаад X=0
гэвэл
болно. Эндээс f(0)=0 ;
гэх мэтчилэн цааш
үргэлжилнэ.
Үүнд Sinx=x- болно.
Үүнтэй нэгэн адилаар дараах функцүүдийн Маклорены задаргааг гаргаж
болно.
Cosx=1 +
(1+x