1. Корреляци ба регрессийн
анализ
Эпидемиологи Биостатистикийн тэнхим
Нийгмийн Эрүүл Мэндийн Сургууль

2. Агуулга
• Энгийн корреляцийг тооцох, тайлбарлах
• Ач холбогдолтой эсэхийг шалгах
• Энгийн шугаман регрессийг тооцох
тайлбарлах
• Регрессийн урьдач нөхцөлүүд
• Регрессийн загвар ач холбогдолтой эсэхийг
тодорхойлох

3. Агуулга
(үргэлжлэл)
• Регрессийн коэффициетүүдийн итгэх
интервал
• Шугаман бус хамаарал

4. КОРРЕЛЯЦИЙН АНАЛИЗ

5. Нэр томъёо
Y хувьсагч Х хувьсагч
Хамааран хувьсагч Үл хамааран хувьсагч
Тайлбарлуулагч хувьсагч Тайлбарлагч хувьсагч
Үр дүнгийн хувьсагч Хүчин зүйлийн хувьсагч
....... .......

6. Ангилал 1.
Корреляци
Эерэг корреляци Сөрөг корреляци
Жин, систолын даралт Архины хэрэглээ , жолоодлогын
чадвар

7. Ангилал 2.
Корреляци
Олон хүчин
Энгийн зүйлийн
Хэсгийн Нийлбэр

8. Ангилал 3.
Корреляци
Шугаман Шугаман бус

9. Цэгэн диаграм ба Корреляци
• Цэгэн диаграм нь хоёр хувьсагчийн
хоорондох хамаарлыг үзүүлдэг.
• Корреляцийн шинжилгээ нь шугаман
хамаарлыг шинжилдэг.
– Нас болон систолын даралт
– Жин болон диастолын даралт

10. Жишээ
Шугаман хамаарал Шугаман бус хамаарал
y y
x x
y y
x x

11. Жишээ
(үргэлжлэл)
Хүчтэй хамаарал Сул хамаарал
y y
x x
y y
x x

12. Жишээ
(үргэлжлэл)
Хамааралгүй
y
x
y
x

13. Корреляцийн коэф
(үргэлжлэл)
• ρ (rho) эх олонлогийн корреляцийн
коэф
• r нь түүврийн корреляцийн коэфф,
ρ-г үнэлэхэд хэрэглэдэг.

14. Авах утгууд
• -1 ба 1
• -1 ойртох тусам хүчтэй сөрөг
хамааралтай
• 1 ойртох тусам хүчтэй эерэг
хамааралтай
• 0 ойртох тусам сул хамааралтай

15. Жишээлбэл
y y y
x x x
r = -1 r = -.6 r=0
y y
x x
r = +.3 r = +1

16. Хүчийг үнэлэх
• 0.00-0.20 - маш сул
• 0.21-0.40 - сул
• 0.41-0.60 - дундаж
• 0.61-0.80 - хүчтэй
• 0.81-1.00 - маш хүчтэй

17. Корреляцийн коэф-г тооцох
Түүврийн корреляци:
r
 ( x  x)(y  y)
[ ( x  x ) ][ ( y  y ) ]
2 2
Эквивалент :
n xy   x  y
r
[n(  x )  (  x ) ][n(  y )  (  y ) ]
2 2 2 2

18. Жишээ
Модны Их
өндөр биеийн
диаметр
y x xy y2 x2
35 8 280 1225 64
49 9 441 2401 81
27 7 189 729 49
33 6 198 1089 36
60 13 780 3600 169
21 7 147 441 49
45 11 495 2025 121
51 12 612 2601 144
=321 =73 =314 =14111 =713
2

19. Жишээ (үргэлжлэл)
Модны n xy   x  y
өндөр, r
y 70 [n(  x 2 )  (  x) 2 ][n(  y 2 )  (  y)2 ]
60
8(3142)  (73)(321)
50 
40
[8(713)  (73) 2 ][8(14111)  (321) 2 ]
 0.886
30
20
10
0
r = 0.886 → хүчтэй эерэг
0 2 4 6 8 10 12 14
хамааралтай
Их биеийн диаметр, x

20. Excel ашиглах
Excel Корреляци тооцохдоо
Tools / data analysis / correlation…
Их биеийн
Модны өндөр диаметр
Модны өндөр 1
Их биеийн
диаметр 0.886231 1
Хувьсагч хоорондын хамаарал

21. Ач холбогдлыг шалгах
• Таамаглалууд
H0: ρ = 0 (хамааралгүй)
HA: ρ ≠ 0 (хамааралтай)
• Тестийн статистик
r
t (n – 2 чөлөөний зэрэг бүхий)
1 r 2
n2

22. Жишээ
H0: ρ = 0 (хамааралгүй)
H1: ρ ≠ 0 (хамааралтай)
 =.05 , df = 8 - 2 = 6
r .886
t   4.68
1 r 2 1  .886 2
n2 82

23. Жишээ
r .886 Шийдвэр :
t   4.68
1 r 2 1  .886 2 H0 няцаах
n2 82 Дүгнэлт:
Шугаман
d.f. = 8-2 = 6
хамааралтай,
5%-н ач
/2=.025 /2=.025
холбогдлын
түвшинд
няцаана H0 Няцаахгүй H0 няцаана H0
-tα/2 tα/2
0
-2.4469 2.4469
4.68

24. Бусад корреляцийн коэф
• Дараалсан хувьсагчид
– Спийрмений ρ эсвэл Кендалын Тау
• Дихитом хувьсагч (интервал/харьцаа)
– Цэгэн бисериал r (тасралттай)
– Бисериал r (тасралтгүй)
• Хоёр дихитом хувьсагч
– Phi коэффициент

25. Цэгэн бисериал r
• Үл хамаарах хувьсагч нь бодит дихитом
(2 категори)
• Хамааран хувьсагч нь интервал,
тасралтгүй
Жишээ
Үл хамаарах хувьсагч Хамааран хувьсагч
Эрүүл, өвчтэй холестрин
Эрэгтэй, эмэгтэй Цалин
........... ............

26. Бисериал r
• Үл хамаарах хувьсагч нь үүсмэл
дихитом (2 категори)
• Хамааран хувьсагч нь интервал,
тасралтгүй
Жишээ
Үл хамаарах хувьсагч Хамааран хувьсагч
Тарган, туранхай Холестрин
Даралт ихсэлттэй, хэвийн Цалин
........... ............

27. Phi корреляци
• Үл хамааран, хамааран хувьсагчид
бодит дихитом (2 категори) байна.
Жишээ
Үл хамаарах хувьсагч Хамааран хувьсагч
Тамхи (тийм, үгүй) Архи (тийм,үгүй)
Эрэгтэй эмэгтэй Профессор, профессор биш
........... ............

28. Спийрмений ρ, Кендаллын tau
• Үл хамааран, хамааран хувьсагчид
дараалсан байна.
– n > 20 бол Спийрмений ρ
– n < 20 бол Кендаллын tau
Жишээ
Үл хамаарах хувьсагч Хамааран хувьсагч
Насны бүлэг Боловсролын түвшин
Анги , дамжаа Дүн (A B C D F)
........... ............

29. Хэсгийн корреляци
• X ба Y-н корреляцид 3-дагч хувьсагчийн
нөлөөг засварлах

30. Хэсгийн корреляци

31. Нийлбэр корреляци
X2
X1 X3
Y

32. РЕГРЕССИЙН АНАЛИЗ

33. Энгийн регрессийн загвар
• Зөвхөн нэг үл хамаарах
хувьсагч, x
• х ба у хамаарлыг шугаман
функцээр тайлбарладаг.
• Х өөрчлөлтөөр У-н өөрчлөлтийг
тайлбарладаг.

34. Регрессийн загварын төрлүүд
Эерэг шугаман хамаарал Шугаман биш хамаарал
Сөрөг шугаман хамаарал Хамааралгүй

35. Эх олонлогийн шугаман
регресс
Эх олонлогийн регрессийн загвар:
Налалтын Үл хамаарах
тогтмол алдаа
коэфф хувьсагч
Хамааран
y  β0  β1x  ε
хувьсагч
Шугаман компонент Алдааны компонент

36. Шугаман регрессийн урьдач
нөхцөлүүд
• Алдаа (ε) үл хамаарах байна.
• Алдаа нь хэвийн тархалттай.
• Алдаа нь тогтмол дисперстэй.
• Х хувьсагч У-ээс шугаман хамаарна.

37. Эх олонлогийн шугаман
регресс (үргэлжлэл)
y y  β0  β1x  ε
Y-н бодит
утгууд
εi Налалт = β1
Y-н таамагласан
утгууд алдаа
тогтмол = β0
xi x

38. Регрессийн загварын үнэлгээ
Түүврийн регрессийн шулуунаар эх олонлогийн
шулуунаар төсөөлдөг.
Үнэлэгдсэн Үнэлсэн налалт
Үнэлэгдсэн (эсвэл
тогтмол
таамагласан) yтга
Үл хамаарах
y i  b 0  b1x
ˆ хувьсагч
Алдааны дундаж 0 байна.

39. Хамгийн бага квадратын арга
• b0 ба b1 -г олохдоо алдаануудын кв-г
минимумчилдаг.
 e   (y y
2
ˆ )2
  (y  (b
0  b1x)) 2

40. Тэнцэтгэл
• b1 ба b0 олох:
b1 
 ( x  x )( y  y )
 (x  x) 2
Эквивалент:
ба
 xy   x y
b1  n b0  y  b1 x
( x ) 2
 x2 
n

41. Налалт, тогтмол утгуудыг
тайлбарлах
• b0 нь х-н утга 0 байх үеийн у-н
дундаж
• b1 нь х-н нэгж өөрчлөлтөд
харгалзах у-н дундаж өөрчлөлт

42. Жишээ
(y) (x)
245 1400
312 1600
279 1700
308 1875
199 1100
219 1550
405 2350
324 2450
319 1425
255 1700

43. Excel ашиглах
• Tools / Data Analysis /
Regression

44. Excel үр дүн
Regression Statistics
Multiple R 0.76211
R Square 0.58082
Регрессийн тэгшитгэл:
y  98.24833 0.10977(x)
Adjusted R Square 0.52842
Standard Error 41.33032
Observations 10
ANOVA
df SS MS F Significance F
Regression 1 18934.9348 18934.9348 11.0848 0.01039
Residual 8 13665.5652 1708.1957
Total 9 32600.5000
Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386
Х 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580

45. График
• Цэгэн диаграм ба регрессийн
шулуун
Налалт
= 0.10977
тогтмол
= 98.248
y  98.24833 0.10977(x)

46. Налалтын коэф-г
тайлбарлах, b1
y  98.24833 0.10977(x)
• Х нэг нэгжээр өсөхөд у дундажаар
0.1097 дахин өснө.

47. Хэлбэлзэлүүд
• Нийт хазайлт:
SST  SSE  SSR
Кв-н нийт Алдааны кв-н Регрессийн кв-н
нийлбэр нийлбэр нийлбэр
SST   ( y  y )2 SSE   ( y  y )2
ˆ SSR   ( y  y )2
ˆ
y = дундаж утга
y = бодит утгууд
ˆ
y = үнэлсэн утга

48. Хэлбэлзлүүд
(үргэлжлэл)
y
yi 
 2
SSE = (yi - yi ) y
_
SST = (yi - y)2

y  _2
_ SSR = (yi - y) _
y y
Xi x

49. Детерминацийн коэф, R2
SSR
R 
2
SST
Энд
0  R 1
2

50. Детерминацийн коэф, R2
(үргэлжлэл)
SSR регрессээр ттайлбарл гдах кв - н нийлбэр
R 
2

SST кв - н нийт нийлбэр
Нэг үл хамаарах хувьсагчтай тохиолдолд
детерминацийн коэф нь:
энд:
R r2 2
R2 = детерминацийн коэф
r = энгийн корреляцийн коэф

51. Жишээ
y
R2 = 1
x ба y-н төгс шугаман
хамаарал:
x
R2 = 1
y
x
R2 = +1

52. Жишээ
y
0 < R2 < 1
x ба y-н сул шугаман
хамаарал:
x
x-ээр y-н зарим хэсгийг
y
тайлбарлаж чадна.
x

53. Жишээ
R2 = 0
y
x ба y нь шугаман
хамааралгүй:
x-ээр y-г тайлбарлаж
R2 = 0
x чадахгүй.

54. Excel үр дүн
SSR 18934.9348
Regression Statistics
R 2
  0.58082
Multiple R 0.76211 SST 32600.5000
R Square 0.58082
Adjusted R Х-ээр У-н 58.08%-г
Square 0.52842 тайлбарлаж чадна
Standard Error 41.33032
Observations 10
ANOVA Significance
df SS MS F F
18934.934 11.084
Regression 1 18934.9348 8 8 0.01039
Residual 8 13665.5652 1708.1957
Total 9 32600.5000
Coefficien P- Upper
ts Standard Error t Stat value Lower 95% 95%

55. Стандарт алдаа
SSE
s 
n  k 1
SSE= алдааны кв-н нийлбэр
n= түүврийн хэмжээ
К= үл хамаарах хувьсагчдын тоо

56. Налалтын коэф-н хэлбэлзэл
• (b1)-н стандарт алдаа нь:
sε sε
sb1  
 (x  x) 2
(  x)
x  n 2
2
Энд:
sb1 = налалтын коэф-н стандарт алдаа
SSE
sε  = стандарт алдаа
n2

57. Excel үр дүн
Regression Statistics
Multiple R
R Square
0.76211
0.58082
sε  41.33032
Adjusted R
Square 0.52842
Standard Error
Observations
41.33032
10
sb1  0.03297
ANOVA Significance
df SS MS F F
18934.934 11.084
Regression 1 18934.9348 8 8 0.01039
Residual 8 13665.5652 1708.1957
Total 9 32600.5000
Coefficien P- Upper
ts Standard Error t Stat value Lower 95% 95%
0.1289 232.0738
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 2 -35.57720 6
0.0103
Square Feet 0.10977 0.03297 3.32938 9 0.03374 0.18580

58. Стандарт алдаануудыг
харьцуулах
y y
s ε бага x s b1 бага x
y y
s ε их x x
s ε их

59. Т тест, налалтын коэф
• Эх олонлогийн налалтыг коэф-н тухай
таамаглал шалгах
– x ба y нь шугаман хамааралтай эсэх?
• Таамаглал
– H0: β1 = 0 (шугаман хамааралгүй)
– H1: β1  0 (шугаман хамааралтай)
• Тестийн статистик Энд :
b1  β1 b1 = налалт
t – β1 = Эх олонлогийн налалт
sb1 d.f.  n  2 sb1 =стандарт алдаа

60. Т тест, налалтын коэф
(үргэлжлэл)
Үнэлэгдсэн регрессийн загвар:
(y) (x)
y  98.25  0.1098(x)
245 1400
312 1600
279 1700
Загварын налалт нь 0.1098
308 1875 Y-т Х нөлөөлдөг эсэх?
199 1100
219 1550
405 2350
324 2450
319 1425
255 1700

61. Жишээ
Тестийн статистик: t = 3.329
b1 sb1 t
H0: β1 = 0 Үр дүн:
HA: β1  0 Coefficient
Standard
Error t Stat
P-
value
Intercept 98.24833 58.03348 1.6929 0.1289
d.f. = 10-2 = 8
Х 0.10977 0.03297 3.3293 0.0103
/2=.025 /2=.025
Шийдвэр: H0 няцаана
Няцаах H0 Няцаахгүй H0 Няцаах H
-tα/2
0
tα/2 0
Дүгнэлт: Y-т Х нөлөөлнө
-2.3060 2.3060 3.329

62. Итгэх интервал
Итгэх интервал:
b1  t /2sb1 d.f. = n - 2
Coefficient Standard Upper
s Error t Stat P-value Lower 95% 95%
Intercept 98.24833 58.03348 1.69296 0.12892 -35.57720 232.07386
Х 0.10977 0.03297 3.32938 0.01039 0.03374 0.18580
Налалтын 95%-н итгэх интервал нь (0.0337, 0.1858)

63. Алдааны анализ
• Зорилт
– Шугаман эсэх
– Тогтмол дисперстэй эсэх
– Хэвийн тархалттай
• График
– Алдаа ба х –ийн зураглал
– Алдааны гистограмыг дүрслэх

64. Алдааны анализ
y y
x x
алдаа
x алдаа x
Шугаман биш
 Шугаман

65. Тогтмол дисперс
y y
x x
алдаа
x алдаа x
Дисперс нь тогтмол
бус
Дисперс нь тогтмол

66. Excel үр дүн
Алдаа
Таамаглас
ан утга Y Алдаа
1 251.92316 -6.923162
2 273.87671 38.12329
3 284.85348 -5.853484
4 304.06284 3.937162
5 218.99284 -19.99284
6 268.38832 -49.38832
7 356.20251 48.79749
8 367.17929 -43.17929
9 254.6674 64.33264
10 284.85348 -29.85348

67. АНХААРАЛ ТАВЬСАНД
БАЯРЛАЛАА