1. Лекц 4
Үндсэн агуулга
1. Шугаман тэгшитгэлийн систем
• Нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэлийн систем (НТБШТС).
• Нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем (НТШТС).
1

2. Шугаман тэгшитгэлийн систем

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 


a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
(1)
.................................................. 


am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
(1)–г n үл мэдэгдэгчтэй нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэлийн системийн
(НТБШТС) гэнэ.

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 


a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0
(2)
.................................................. 


am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0
(2)–г нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем (НТШТС) гэнэ.
Системийн хувьсагчдын оронд орлуулан тавихад системийн тэгшитгэл бүрийг
адилтгал болгон хувиргах (c1, c2, ..., cn) тоонуудын эрэмбэлэгдсэн олонлогийг
системийн шийд гэнэ.
2

3. Ядаж нэг шийдтэй системийг нийцтэй систем, нэг ч шийдгүй
системийг нийцгүй систем гэнэ.

a11
 a21
A=
 ···
am1
a12
a22
···
am2
···
···
···
···

a1n
a2n 

··· 
amn

a11
 a21
˜
A=
 ···
am1
(3)
···
···
···
···
a1n
a2n
···
amn

b1
b2 
. 
. 
bm
(4)
A-г (1) системийн үндсэн матриц,
A-г системийн өргөтгөсөн матриц гэнэ. (1)-г
B = (b1, ..., bm)T ,
(1) системийг

a11
 a21

 ···
am1
a12
a22
···
am2
···
···
···
···
X = (x1, ..., xn)T
 


(5)

a1n
x1
b1
a2n   x2   b2 
·
 

  ···  =  ··· 
···
amn
xn
bm
3
(6)

4. Эсвэл матрицан хэлбэрт бичвэл:
A·X =B
(7)
(1) системийн нийцтэй эсэхийг дараах теорем тогтооно.
Thr: Кронекер-Капеллийн теорем: (1) систем нийцтэй байх ⇐⇒ нь
системийн үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын рангууд тэнцүү байх явдал юм.
(r(A) = r(A)).
Кронекер-Капеллийн теорем нь систем нийцтэй эсэхийг тогтоох боловч системийн
шийдийг хэрхэн олохыг тодорхойлохгүй.
Крамерийн дүрэм.

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 


a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
.................................................. 


an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn
det(A) = 0 үед (8) тодорхой (нийцтэй) систем байна.
4
(8)

5. b1A1k + ... + bnAnk
k
. k = 1, n
=
(9)
a1k A1k + ... + ank Ank
Үүнд:
k нь тодорхойлогчийн k дугаар баганын элементүүдийг, харгалзах
мөрүүдийнх нь сул гишүүдээр солиход үүссэн тодорхойлогч.
(9) томъёог Крамерийн томъёо гэнэ.
(гаргалгааг унш)

 x1 + 2x2 + 5x3 = −9
x1 − x2 + 3x3 = 2
Жишээ:
систем тэгшитгэлийг бод.

3x1 − 6x2 − x3 = 25
1). Крамерийн аргаар бодъё.
xk =
1
2
5
1 2 5
−3 −2
== 48 − 24 = 24 = 0.
= |A| = 1 −1 3 = 0 −3 −2 =
−12 −16
0 −12 −16
3 −6 −1
1
−5 0 11
−9 2 5
−5 11
2 −1
3 = (−1)·(−1)2+2
2 −1 3 =
= −95+143 = 48.
=
13 −19
13 0 −19
25 −6 −1
5

6. 2
1 −9 5
0 −11
2
−11
2
2
3 = −1 · 1 ·
= 1 2 3 = 1
= −110 + 38 = −72
19 −10
3 25 −1
0 19 −10
3
1 2 −9
1 3 −11
3 −11
0 = −1 · 1 ·
= 1 −1 2 = 1 0
= −3(19 − 11) = −24
−3 19
3 −6 25
3 −3 19
x1 =
1
48
=
= 2,
24
x2 =
2
−78
=
= −3,
24
x3 =
3
−24
=
= −1
24
2). Урвуу матрицын аргаар бодъё.
AX = B
= 24 ,
X = A−1B
=⇒
A11 = 19 A12 = 10 A13 = −3
A21 = −28 A22 = −16 A23 = 12
A31 = 11 A32 = 2
A33 = −3
6

=⇒
A−1

19 −28 11
1 
10 −16 2 
=
24
−3 12 −3

7. Иймээс







19 −28 11
−9
48
2
1 
1 
10 −16 2   2  =
−72  =  −3 
X = A−1B =
24
24
−3 12 −3
25
−24
−1
Эндээс
x1 = 2 ,
x2 = −3 ,
x3 = −1
Хэрвээ системийн өргөтгөсөн матриц нь:


a11 a12 · · · a1r b1
r ≤ n, arr = 0 хэлбэртэй болсон бол
 0 a22 · · · a2r b2 


r(A) = r(A) = r тул уг систем цор ганц шийдтэй
 ··· ··· ··· ··· . 
.

байна.
 0 0 · · · arr br 

r-р тэгшитгэлээс xr -ийг, r −1 дүгээр тэгшитгэлээс
.
 ··· ··· ··· ··· . 
xr−1 -ийг, гэх мэтчилэн x1, . . . , xr шийдийг олно.
0 0 ···
0 0
7

8. 
x1 − x2 − 2x3 = 1 


3x1 + 2x2 + 5x3 = 2
бод.
Жишээ:
x1 + 4x2 + 6x3 = 1 


2x1 + 32 + 4x3 = 2

 
 

1 −1 −2 1
1 −1 −2 1
1 −1 −2 1
 3 2 5 2   0 5 11 −1   0 5 11 −1 

 
 

 1 4 6 1  ∼  0 5 8 0  ∼  0 0 3 −1 
2 3 4 2
0 5 8 0
0 0 0 0
˜
=⇒ r(A) = r(A) = r = n = 3.
Иймд өгөгдсөн систем тэгшитгэл цор ганц шийдтэй.

x1 − x2 − 2x3 = 1 
1
8
13
5x2 + 11x3 = −1
⇒ x3 = − , x2 = , x1 =

3
15
15
3x3 = −1
8

9. 
a11
 0

 ···

 0

 0

 ···
0
a12
a22
···
0
0
···
0
Жишээ:

···
···
···
···
···
···
···
a1r
a2r
···
arr
0
···
0
···
···
···
···
···
···
···
a1n
a2n
···
arn
0
···
0

b1
b2 
.
.

br 

0
.
.
0
r ≤ n хэлбэртэй болсон бол
r(A) = r(A) тул уг систем төгсгөлгүй
олон шийдтэй байна. n − r тооны
хувьсагч нь чөлөөт хувьсагч болох
ба, бусад нь эдгээр хувьсагчид болон
br сул гишүүний шугаман эвлүүлгээр
бичигдэнэ.

x1 + x2 − x3 + 2x4 + 3x5 = 2 
2x1 + x2 + x3 + 6x4 + 4x5 = 1 бод.

3x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + 6x5 = 8





1 1 −1 2 3 2
1 1 −1 2 3 2
1 1 −1 2 3 2
 2 1 1 6 4 1  ∼  0 −1 3 2 −2 −3  ∼  0 −1 3 2 −2 −3 
3 2 1 4 6 8
0 −1 4 −2 −3 2
0 0 1 −4 −1 5
9

10. 
 x1 + x2 − x3 + 2x4 + 3x5 = 2
⇒ −x2 + 3x3 + 2x4 − 2x5 = −3

x3 − 4x4 − x5 = 5

 x1 = −x2 + x3 − 2x4 − 3x5 + 2
x2 = 3x3 + 2x4 − 2x5 + 3
⇒

x3 = 4x4 + x5 + 5
Иймд x4, x5 хувьсагчдыг нь чөлөөт хувьсагч болгон авч x3, x2, x1 хувьсагчдыг
x4, x5 -аар нь илэрхийлье.
x3 = 4x4 + x5 + 5
x2 = 12x4 + 3x5 + 15 + 2x4 − 2x5 + 3 = 14x4 + x5 + 18
x1 = −14x4 − x5 − 18 + 4x4 + x5 + 5 − 2x4 − 3x5 + 2 = −12x4 − 3x5 − 11








−11
x1
−3
−12
 18 
 1
 x2   14 





  
 x3  =  4  · x4 +  1  · x5 +  5 
X=  





 0
 x4   1 
 0
0
1
0
x5
10

11. 
a11
 0

 ···

 0

 0

 ···
0
a12
a22
···
0
0
···
0
Жишээ:

···
···
···
···
···
···
···
a1r
a2r
···
0
0
···
0

b1
b2 
.
.

br 

0
.
.
0
r ≤ n, br = 0 хэлбэртэй бол r(A) = r(A) болж уг
систем нийцгүй систем байна.

2x1 + 3x2 − x3 + 5x4 = 5 
4x1 − 2x2 + 3x3 + 2x4 = 2

2x1 − 5x2 + 4x3 − 3x4 = 10





2 3 −1 5 5
2 3 −1 5 5
2 3 −1 5 5
 4 −2 3 2 2  ∼  0 −8 5 −8 −8  ∼  0 −8 5 −8 −8 
2 −5 4 −3 10
0 −8 5 −8 5
0 0 0 0 13
⇒
˜
r(A) = 2 = 3 = r(A)
тул өгөгдсөн систем тэгшитгэл нь нийцгүй систем байна.
11

12. Нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем
(2) хэлбэрийн НТСТ нь x1 = x2 = ... = xn = 0 гэсэн илэрхий шийдтэй
учраас ямагт нийцтэй систем байна.
(2) нь хэдийд тэгээс ялгаатай шийдтэй байх вэ? Үүнийг мэдэхийн тулд дараах
теоромыг авч үзье.
Thr: НТС (2) нь шийдтэй байх ⇐⇒ нь r(A) ≤ n байх явдал юм.
Mr: m = n үед (2) нь тэгээс ялгаатай шийдтэй байх ⇐⇒ нь |A| = 0 байх
явдал юм. Ө.х. |A| = 0 бол (2) нь тэгээс ялгаатай шийдгүй бөгөөд (2) нь
тэгээс ялгаатай шийдгүй бол |A| = 0 байна.
Def: Бусад шийдүүдээрээ шугаман илэрхийлэгдэхгүй шийдийг шугаман
хамааралгүй шийд гэнэ.
12

13. (2) системийн шугаман хамааралгүй шийдүүдийг олъё.
r(A) = r ≤ n байг.
Иймд r эрэмбийн тэгээс ялгаатай минор оршин байг
a11
a
Mrr = 21
···
ar1
a12
a22
···
ar2
···
···
···
···
a1r
a2r
=0
···
arr
(10)
Хялбар хувиргалтаар квадрат матрицыг гурвалжин, квадрат биш матрицыг
трапец хэлбэрт шилжүүл дэгийн адилаар хувиргалт хийхэд (2) НТШТ нь:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = 0 


∗
∗
∗
a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = 0 

a∗ x3 + · · · + a∗ xn = 0
(11)
33
3n

........................... 



∗
∗
arr xr + · · · + arnxn = 0
хэлбэртэй болно.
Хувиргалтын дүнд тэгшитгэлийн тоо цөөрч болох учраас r ≤ m байна.
r(A) = r ⇒ системийн xr+1, . . . , xn хувьсагчдыг чөлөөт хувьсагч гэнэ.
13

14. Энэ системийн тодорхойлогч (Mrr = 0) нь тэгээс ялгаатай гэдгээс (11) систем
тэгшитгэл шийдтэй байх ба уг шийд нь чөлөөт хувьсагчдаасаа хамаарсан байна.
Чөлөөт хувьсагчдын утга бүрийн хувьд шугаман хамааралгүй шийдүүд оршин
байх бөгөөд эдгээрийг ший-дүүдийн фундаменталь систем гэнэ. (11) системийн
дурын шийд нь фундаменталь систем шийдүүдийн шугаман эвлүүлэг болж байгаа
учраас A·X = 0 буюу (2) системийн ерөнхий шийд нь дараах хэлбэртэй олдоно.
X = c1 · X1 + c2 · X2 + · · · + cn−r · Xn−r
Жишээ:
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
2x1 + 3x2 + 2x3 − x4 = 0
1 2 3 4
1 2 3 4
x2 = −4x3 − 9x4
∼
⇒
2 3 2 −1
0 −1 −4 −9
x1 = 5x3 + 14x4



  
14
5
x1


 x2   −4 
 · x3 +  −19  · x4
 =
 0
 x3   1 
0
1
x4
14
(12)

15. Thr: НТБС - (6 )-ийн шийд нь X = X 0 + X (14) хэлбэртэй байна. Энд,
X 0 нь (6)-д харгалзах НТТ (2)-ийн ерөнхий шийд, X нь ямар нэг тухайн
шийд.
. =⇒. A · X = B, A · X 0 = 0 ⇒
A(X + X 0) = AX + AX 0 = B + 0 ⇒ X = X + X 0 вектор (6 ) тэгшитгэлийн
шийд болно.
⇐= . AX = B, AX = B ⇒ AX − AX = B − B = 0 буюу X − X ⇒ нь
НТС-ийн шийд болж байна. Иймд
X 0 = X − X =⇒ X = X + X 0
Эндээс үзвэл (6 ) системийн ерөнхий шийд нь дараах хэлбэртэй олдоно.
X = c1 · X1 + c2 · X2 + · · · + cn−r · Xn−r + X
15
(15)