MT102 Лекц 12
- 1.
- 2.
- 3. Тодорхойлолт: • Үл мэдэгдэхфункц 𝑦 болон түүний 𝑦′ уламжлалын хувьд шугаман 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 (1) хэлбэрийн тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. 3 1. Шугаман дифференциал тэгшитгэл
- 4. 𝑦′ + 𝑝 𝑥𝑦 = 𝑓 𝑥 нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн • 𝑓 𝑥 ≡ 0 бол 𝒚′ + 𝒑 𝒙 𝒚 = 𝟎 нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. • 𝑓 𝑥 ≢ 0 бол нэгэн төрлийн биш шугаман тэгшитгэл гэнэ. 4
- 5. Нэгэн төрлийн бишшугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь харгалзах • нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд болон • нэгэн төрлийн биш тэгшитгэлийн тухайн шийд- үүдийн нийлбэртэй тэнцэнэ. 5
- 6. • Нэгэн төрлийншугаман тэгшитгэлийн хувьсагч нь ялгагддаг. Тодруулбал: • 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 тэгшитгэлийн шийд 𝒚 = 𝑪𝒆− 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 , 𝐶 ≠ 0 томъёогоор олдоно. 6
- 7. 𝑦′ + 𝑝𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) нэгэн төрлийн биш шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шийд 𝒚 = 𝒆− 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 𝒇(𝒙)𝒆 𝒑 𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 + 𝑪 томъёогоор олдоно. 7
- 8. Жишээ: 𝑦′ − 𝑦 𝑥 =𝑥2 тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. Бодолт: 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) шугаман тэгшитгэлийн шийдийг олох 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑓(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 томъёог шууд ашиглаж шийдийг олъё. 8
- 9. 𝑦′ + 𝑝 𝑥𝑦 = 𝑓(𝑥) шугаман тэгшитгэлийн шийдийн томъёо 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑓(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 Өгөгдсөн 𝑦′ − 1 𝑥 𝑦 = 𝑥2 тэгшитгэлээс 𝑝 𝑥 = − 1 𝑥 , 𝑓 𝑥 = 𝑥2 тул 9
- 10. 𝑦 = 𝑒−𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑓(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑒− − 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 𝑒 − 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝑒ln 𝑥 𝑥2 𝑒− ln 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = 10
- 11. = 𝑥 𝑥2 1 𝑥 𝑑𝑥+ 𝐶 = 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = = 𝑥 𝑥2 2 + 𝐶 = 𝑥3 2 + 𝐶𝑥. 𝑦′ − 𝑦 𝑥 = 𝑥2 тэгшитгэлийн ерөнхий шийд 𝑦 = 𝑥3 2 + 𝐶𝑥. Шийдийн графикийг зурагт харуулав. 11
- 12. • Одоо 𝑦𝑥0=2 = 1 анхны нөхцөлийг хангах шийдийг олъё. Өгсөн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд 𝑦 = 𝑥3 2 + 𝐶𝑥 гэж олдсон тул анхны нөхцөлөөс 𝑦 𝑥0=2 = 𝑥3 2 + 𝐶𝑥 𝑥0=2 = 23 2 + 2𝐶 = 4 + 2𝐶 = 1 ⇒ 𝐶 = − 3 2 болно. 12
- 13. • Одоо 𝑦𝑥0=2 = 1 анхны нөхцөлийг хангах шийдийг бичье. Ерөнхий шийд 𝑦 = 𝑥3 2 + 𝐶𝑥 ба 𝐶 = − 3 2 тул анхны нөхцөлийг хангах тухайн шийд 𝑦 = 𝑥3 2 − 3 2 𝑥 болно. Энэ бодлогын бодолт болон график дүрслэлийг Geogebra програм ашиглан гаргасан үр дүнг харуулав. 13
- 14.
- 15. Олон тооны дифференциалтэгшитгэлүүд нь хувьсагчийг солих замаар шугаман тэгшитгэлд шилждэг. Жишээлбэл: Бернуллийн тэгшитгэл. 𝒚′ + 𝒑 𝒙 𝒚 = 𝒇 𝒙 𝒚𝒏, 𝑛 ≠ 1 хэлбэртэй тэгшитгэлийг Бернуллийн тэгшитгэл гэнэ. 15
- 16. 𝑦′ + 𝑝𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑦𝑛, 𝑛 ≠ 1 Бернуллийн тэгшитгэлийг 𝑦𝑛 -д хуваавал 𝑦−𝑛𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦1−𝑛 = 𝑓(𝑥) гэсэн хэлбэртэй болох бөгөөд 𝒚𝟏−𝒏 = 𝒛 гэсэн орлуулгаар шугаман тэгшитгэл рүү шилжүүлдэг. 16
- 17. Жишээ: 𝑦′ − 3 𝑥 𝑦= −𝑥3𝑦2 Бернуллийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг ол. Бодолт: Тэгшитгэлийн хоёр талыг 𝑦2-д хуваавал 1 𝑦2 𝑦′ − 3 𝑥 1 𝑦 = −𝑥3 ⇒ 1 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 3 𝑥 1 𝑦 = −𝑥3 болох ба 𝑛 = 2 тул 𝑦1−𝑛 = 𝑦1−2 = 𝑦−1 = 1 𝑦 = 𝑧 гэсэн орлуулга хийнэ. 17
- 18. 1 𝑦 = 𝑧 гэсэн орлуулгынуламжлал нь 1 𝑦 ′ = 𝑧 ′ ⇒ 1 𝑦2 𝑦𝑥 ′ = 𝑧𝑥 ′ − 1 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 𝑑𝑥 ⇒ 1 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑑𝑧 𝑑𝑥 болно. 18
- 19. 𝑦′ − 3 𝑥 𝑦 =−𝑥3𝑦2 тэгшитгэл хувиргалтаар 1 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 3 𝑥 1 𝑦 = −𝑥3 хэлбэрт шилжсэн ба 1 𝑦 = 𝑧 гэсэн орлуулгын дүнд 1 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑑𝑧 𝑑𝑥 тул − 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 3 𝑥 𝑧 = −𝑥3 ⇒ 𝒛′ + 𝟑 𝒙 𝒛 = 𝒙𝟑 гэсэн 𝑥-ээс хамаарсан 𝑧(𝑥) функц бүхий шугаман тэгшитгэлд шилжинэ. 19
- 20. 𝑦′ − 3 𝑥 𝑦 =−𝑥3𝑦2 Бернуллийн тэгшитгэлийг бодох нь 𝒛′ + 𝟑 𝒙 𝒛 = 𝒙𝟑 гэсэн 𝑥-ээс хамаарсан 𝑧(𝑥) функц бүхий шугаман тэгшитгэлийн шийдийг олох бодлогод шилжлээ. • 𝑧′ + 3 𝑥 𝑧 = 𝑥3 тэгшитгэлээс 𝑝 𝑥 = 3 𝑥 , 𝑓 𝑥 = 𝑥3 тул 20
- 21. 𝑧 = 𝑒−𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑓(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = = 𝑒− 3 𝑥 𝑑𝑥 𝑥3 𝑒 3 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = = 𝑒−3 ln 𝑥 𝑥3 𝑒3 ln 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 = = 𝑥−3 𝑥3 𝑥3 𝑑𝑥 + 𝐶 = = 𝑥−3 𝑥6 𝑑𝑥 + 𝐶 = 𝒙−𝟑 𝒙𝟕 𝟕 + 𝑪 . 21
- 22. болох ба орлуулгыгбуцааж орлуулбал анхны 𝑦′ − 3 𝑥 𝑦 = −𝑥3 𝑦2 Бернуллийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд 1 𝑦 = 𝑥−3 𝑥7 7 + 𝐶 ⇒ 𝒙𝟑 = 𝒚 𝒙𝟕 𝟕 + 𝑪 болно. Энэ шийдийн график дүрслэлийг зурагт харуулав. 22
- 23. 23 Бие даан гүйцэтгэх бодлого Шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шийдийголоорой. • 𝑦′ + 1 𝑥 𝑦 = 6𝑥 + 1 • 𝑦′ + 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑦 = cos2 𝑥
- 24. 24 Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыгбүрэн судалсан оюутан танд баярлалаа. Та бүхэн Бие даан гүйцэтгэх даалгавараа гүйцэтгэж, гүйцэтгэлийн үр дүнгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. Цахим сургалтандаа идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал илэрхийлье.