Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to MT102 Лекц 10
Similar to MT102 Лекц 10 (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
MT102 Лекц 10
- 1. Нэгдүгээр эрэмбийн Хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэл
- 2. 1. Үндсэн ойлголт ба тодорхойлолт Тодорхойлолт: • Үл хамаарах хувьсагчид, тэдгээрээс хамаарсан үл мэдэгдэх функц болон түүний уламжлалуудын хоорондын холбоог илэрхийлж буй тэгшитгэлийг дифференциал тэгшитгэл гэнэ. • Байгаль шинжлэл, физик, техникийн олон бодлогуудад: авч үзэж буй үзэгдэл, процессийг илэрхийлэх үл мэдэгдэх функцийг, түүний уламжлал болоод үл хамаарах хувьсагчтайгаа холбоотой харьцаанаас тодорхойлох асуудал нь дифференциал тэгшитгэлд шилждэг.
- 3. Тодорхойлолт: • Хэрэв эрж буй үл мэдэгдэх 𝑦 функц нь ганцхан 𝑥 үл хамаарах хувьсагчаас хамаарсан 𝑦 = 𝑦(𝑥) байвал 𝑥, 𝑦(𝑥) ба 𝑦′ 𝑥 , 𝑦′′ (𝑥), . . . , 𝑦(𝑛) (𝑥) уламжлалуудыг агуулсан 𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦′(𝑥), 𝑦′′(𝑥), . . . , 𝑦(𝑛) (𝑥)) = 0 тэгшитгэлийг ердийн дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Жишээ нь: • 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 0 • 𝑦′′ + 𝑦 + 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 • (𝑥2 − 𝑦2 )𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0
- 4. Тодорхойлолт: • Хэрэв үл мэдэгдэх функц нь хоёр эсвэл хоёроос олон тооны хувьсагчаас хамаарч байвал өөрөөр хэлбэл 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑡) байвал 𝐹 𝑥, 𝑡, 𝑦, 𝜕𝑦 𝜕𝑥 , 𝜕𝑦 𝜕𝑡 , . . . , 𝜕𝑚 𝑦 𝜕𝑥𝑘𝜕𝑡𝑙 = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэнэ. Энд 𝑘, 𝑙 нь 𝑘 + 𝑙 = 𝑚 нөхцлийг хангах сөрөг биш бүхэл тоонууд. Жишээ нь: • 𝜕𝑦 𝜕𝑡 − 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 0, 𝜕𝑦 𝜕𝑡 = 𝜕2𝑦 𝜕𝑥2
- 5. Тодорхойлолт: • Тэгшитгэлд орж буй уламжлалын хамгийн их (дээд) эрэмбийг дифференциал тэгшитгэлийн эрэмбэ гэж нэрлэдэг. Жишээ нь: 𝑦(9) − 4𝑦′′ = 𝑥2 тэгшитгэл 9-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл байна. Тодорхойлолт: • (𝑎, 𝑏) завсар дээр 𝑛 эрэмбийн уламжлалуудынхаа хамт тодорхойлогдож (𝑥-ийн хувьд), дифференциал тэгшитгэлийг адилтгал болгон хувиргаж байдаг 𝑦 = 𝜑(𝑥) хэлбэрийн функцийг 𝑛 эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн (𝑎, 𝑏) завсар дээрх шийд гэж нэрлэдэг.
- 6. Жишээ нь: 𝑦1 = sin 𝑥 + cos 𝑥 функц 𝑦′′ + 𝑦 = 0 тэгшитгэлийн (−∞, +∞) завсар дээрх шийд болно гэдгийг харуулъя. Эхлээд нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалуудыг олбол 𝑦1 ′ = cos 𝑥 − sin 𝑥 , 𝑦1 ′′ = − sin 𝑥 − cos 𝑥 , болох тул 𝑦′′ + 𝑦 = 0 тэгшитгэл −𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≡ 0 гэсэн үнэн адилтгалд хүрэх учир 𝑦1 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 нь шийд болно.
- 7. Мөн 𝑦2 = 𝐶1 ∙ sin 𝑥 , 𝑦3 = 𝐶2 ∙ cos 𝑥 функцууд нь 𝑦′′ + 𝑦 = 0 тэгшитгэлийн (−∞, +∞) завсар дээрх шийд болно гэдгийг харуулъя. • 𝑦2 ′ = 𝐶1 ∙ cos 𝑥 , 𝑦3 ′ = −𝐶2 ∙ sin 𝑥 ба • 𝑦2 ′′ = −𝐶1 ∙ sin 𝑥 , 𝑦3 ′′ = −𝐶2 ∙ cos 𝑥 болох тул 𝑦′′ + 𝑦 = 0 тэгшитгэл • 𝑦2 = 𝐶1 ∙ sin 𝑥 функцийн хувьд −𝐶1 sin 𝑥 + 𝐶1 sin 𝑥 ≡ 0 • 𝑦3 = 𝐶2 ∙ cos 𝑥 функцийн хувьд −𝐶2 cos 𝑥 + 𝐶2 cos 𝑥 ≡ 0 гэсэн үнэн адилтгалд хүрэх учир 𝑦2 = 𝐶1 ∙ sin 𝑥 , 𝑦3 = 𝐶2 ∙ cos 𝑥 функцууд нь мөн шийд болно.
- 8. Энэ жишээнээс харахад дифференциал тэгшитгэл төгсгөлгүй олон шийдтэй байна. Тодорхойлолт: • Дифференциал тэгшитгэлийн шийдүүдийн графикийг, ө.х шийд 𝑦 = 𝜑(𝑥) функцээр тодорхойлогдох муруйг уг дифференциал тэгшитгэлийн интеграл муруй гэж нэрлэдэг. • Жишээ нь: 𝑦′ + 1 𝑥 𝑦 − 6𝑥 − 1 = 0 дифференциал тэгшитгэлийн шийд 𝑦 = 4𝑥3+𝑥2+2𝐶 2𝑥 ба шийдийн график буюу интеграл муруйг дараах зурагт харууллаа.
- 9. Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл нь ерөнхий хэлбэрээрээ 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = 0 гэж өгөгдөнө. • Хэрэв 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′ = 0 тэгшитгэлийг 𝑦′ уламжлалаар нь ил хэлбэрт шилжүүлж болж байвал 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) тэгшитгэлийг уламжлалын хувьд зөвшөөрөгдсөн 1-р эрэмбийн тэгшитгэл гэнэ.
- 10. • 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) тэгшитгэлийн анхны 𝑦 𝑥0 = 𝑦0 нөхцлийг хангадаг 𝑦 = 𝑦(𝑥) шийдийг хайх бодлогыг Кошийн бодлого гэж нэрлэдэг. • Геометрийн хувьд энэ бодлого нь 𝑂𝑥𝑦 хавтгайн өгөгдсөн 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) цэгийг дайран өнгөрөх интеграл муруйг олох бодлого болно.
- 11. • 𝐶 тогмолын дурын боломжит утганд 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) тэгшитгэлийг ханган, түүний тодорхой утганд нь анхны 𝑦 𝑥=𝑥0 = 𝑦0 нөхцлийг хангадаг 𝑦 = 𝜑(𝑥, 𝐶) хэлбэрийн функцийг 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд гэж нэрлэдэг. • 𝐶-ийн тодорхой утганд ерөнхий 𝑦 = 𝜑 𝑥, 𝐶 шийдээс олдох шийдийг 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) тэгшитгэлийн тухайн шийд гэж нэрлэнэ.
- 12. • gg Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг бодох ерөнхий арга байдаггүй боловч тэдгээрийг тодорхой бүлгүүдэд төрөлжүүлэн хувааж, бүлэг тус бүрт тохирсон бодох арга боловсруулсныг авч үзэх болно.
- 13. 2. Хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэл Тодорхойлолт: 𝑓1 𝑥 𝜑1 𝑦 𝑑𝑦 + 𝑓2 𝑥 𝜑2 𝑦 𝑑𝑥 = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг 1-р эрэмбийн хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэл гэнэ. Ийм хэлбэрийн тэгшитгэлийг 𝜑1(𝑦) 𝜑2(𝑦) 𝑑𝑦 = − 𝑓2(𝑥) 𝑓1(𝑥) 𝑑𝑥 хувьсагч нь ялгагдсан хэлбэрт шилжүүлэн гишүүнчлэн, интегралчилбал ерөнхий шийд нь 𝜑1(𝑦) 𝜑2(𝑦) 𝑑𝑦 = − 𝑓2(𝑥) 𝑓1(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶 гэж олдоно.
- 14. Жишээ: 𝑦2 𝑦′ − 1 𝑥 = 0 дифференциал тэгшитгэлийг бод. Бодолт: 𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 1 𝑥 = 0 тэгшитгэлд хувиргалт хийж, хувьсагчийг ялгавал 𝑦2 𝑑𝑦 = 1 𝑥 𝑑𝑥 хэлбэрт шилжих ба интегралчилбал 𝑦2 𝑑𝑦 = 1 𝑥 𝑑𝑥 . Интегралыг бодвол шийд 𝑦3 3 = ln 𝑥 + ln 𝐶 буюу 𝑦3 = 3 ln 𝐶𝑥 болно. 𝑦2 𝑦′ − 1 𝑥 = 0 дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд 𝑦3 = 3 ln 𝐶𝑥 байна.
- 15. Жишээ: 9𝑦𝑦′ + 4𝑥 = 0 дифференциал тэгшитгэлийн А. ерөнхий шийдийг олж, Б. 𝑦 𝑥=0 = 1 анхны нөхцөл хангах шийдийг ол. Бодолт: • Тэгшитгэлд хувиргалт хийж, хувьсагчийг ялгавал 9𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑥 = 0 ⟹ 9𝑦𝑑𝑦 = −4𝑥𝑑𝑥 болох ба тэгшитгэлийг интегралчилбал 9𝑦𝑑𝑦 = − 4𝑥𝑑𝑥
- 16. 9 2 𝑦2 = −2𝑥2 + 𝐶 ⟹ 9𝑦2 = −4𝑥2 + 2𝐶 ⟹ 9𝑦2 + 4𝑥2 = 2𝐶 болох ба 2𝐶 = 𝐶1 гэж орлуулбал А. дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд 9𝑦2 + 4𝑥2 = 𝐶1 болно.
- 17. Б. 𝑦 𝑥=0 = 1 анхны нөхцлийг хангах шийдийг олъё. Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд 9𝑦2 + 4𝑥2 = 𝐶1 буюу 𝑦 = 1 3 𝐶1 − 4𝑥2 тул 𝑦 𝑥=0 = 1 3 𝐶1 − 4 ∙ 02 = 1 3 𝐶1 = 1 3 𝐶1 = 1 болно. Энд 𝐶1 ≥ 0. Эндээс 𝐶1 = 9 гэж олдох ба шийд • 9𝑦2 + 4𝑥2 = 9 ⇒ 𝑥2 3/2 2 + 𝑦2 = 1 болох 𝑎 = 3 2 , 𝑏 = 1 хагас тэнхлэгүүдтэй эллипс хэлбэрийн муруй байна.
- 18. Жишээ: 2м/сек хурдтай явж байгаа завь өөрийн хурдтай пропорционал эсэргүүцлийн хүчний нөлөөгөөр хөдөлгөөнөө удаашруулж 4 секундын дараа хурд нь 1м/сек болов. • Хэдэн секундын дараа завины хурд 0,25м/сек болох вэ? • Завь зогсох хүртлээ ямар зам туулах вэ? Бодолт: Хугацааны 𝑡 агшинд завины хурд 𝑣 = 𝑣(𝑡) байг. Тэгвэл 𝑣 0 = 2 ба Ньютоны хоёрдугаар хуулиар 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑡) болно. Энд 𝐹(𝑡) завинд үйлчлэх хүч, 𝑚 завины масс. 3. Хувьсагч нь ялгагдах дифференциал тэгшитгэлийн хэрэглээ
- 19. • Бодлогын нөхцлөөс 𝐹 𝑡 = −𝑘𝑣(𝑡), энд 𝑘 > 0 пропорционалийн коэффициент. • Хүч хөдөлгөөний эсрэг үйлчлэх учраас хасах тэмдэгтэй авч байна. Иймд завины хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = −𝑘𝑣(𝑡) гэж гарна. • Эндээс 𝑚 𝑑𝑣 𝑣 = −𝑘𝑑𝑡 болох ба интегралчилбал 𝑚 𝑑𝑣 𝑣 = −𝑘 𝑑𝑡. • Интегралыг бодвол 𝑚 ∙ ln 𝑣 = −𝑘𝑡 + 𝐶 тул дифференциал тэгшитгэлийн шийд • ln 𝑣(𝑡) = − 𝑘𝑡 𝑚 + 𝐶 𝑚 ⟹ 𝑒ln 𝑣 𝑡 = 𝑒− 𝑘𝑡 𝑚 + 𝐶 𝑚 = 𝑒− 𝑘 𝑚 𝑡 ∙ 𝑒 𝐶 𝑚 ⟹ 𝑣 𝑡 = 𝐶1 ∙ 𝑒− 𝑘 𝑚 𝑡 гэж олдоно. Энд 𝐶1 = 𝑒 𝐶 𝑚.
- 20. Бодлогын анхны нөхцлөөс 𝑣 𝑡 = 0 = 𝐶1 ∙ 𝑒− 𝑘 𝑚 ∙0 = 𝐶1 = 2. • Мөн 𝑣(𝑡) 𝑡=4 = 1 = 2𝑒− 𝑘 𝑚 ∙4 болно. Эндээс 𝑘 𝑚 = ln 2 4 гэж олдох ба 𝑣 𝑡 = 21− 𝑡 4 болно. • 𝑇 хугацааны дараа завины хурд 0.25м/сек болсон гэвэл тэгшитгэлээс 0.25 = 21− 𝑇 4 болох ба эндээс 2−2 = 21− 𝑇 4 ⟹ −2 = 1 − 𝑇 4 , ⟹ 𝑇 = 12сек гэж гарна.
- 21. • Завины зогсох хүртлээ явсан замыг 𝑆 𝑡 = 0 𝑡 𝑣 𝑥 𝑑𝑥 = 0 𝑡 21− 𝑥 4 𝑑𝑥 = 8 𝑙𝑛2 1 − 2− 𝑡 4 томъёогоор бодно. Эндээс завь 8 𝑙𝑛2 ≈ 11.5 метр хүрэхгүй зам туулаад зогсоно.
- 22. Бие даан гүйцэтгэх даалгавар: • Дифференциал тэгшитгэлийг бодоорой. • 𝑥𝑦2 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 − 𝑥2 𝑦 𝑑𝑦 = 0 • 𝑦′ = 𝑒𝑥+𝑦 • 𝑡𝑔𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛2 𝑦𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 ∙ 𝐶𝑡𝑔𝑦𝑑𝑦 = 0
- 23. Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан танд баярлалаа. Оюутан та • Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. • Бие даан гүйцэтгэх даалгавараа гүйцэтгэж, гүйцэтгэлийн үр дүнгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай. Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал илэрхийлье.