Лекц 15

1. “Математик II” хичээл
Лекцийн сэдэв:
Дээд эрэмбийн
нэгэн төрлийн шугаман
дифференциал тэгшитгэл

2. • Төгсгөлөг болон төгсгөлгүй ямар нэгэн ]𝑎, 𝑏[ завсар дээр 𝑥
хувьсагчаас хамаарсан
𝑎1(𝑥), 𝑎2(𝑥), 𝑎3(𝑥), . . . , 𝑎𝑛(𝑥), 𝑓(𝑥)
тасралтгүй функцүүд өгөгдсөн байг.
Тодорxойлолт:
𝑦(𝑛)
+ 𝑎1 𝑥 𝑦 𝑛−1
+. . . +𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦′
+ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 (1)
xэлбэрийн тэгшитгэлийг 𝒏 эрэмбийн шугаман дифференциал
тэгшитгэл гэнэ.
1. Дээд эрэмбийн нэгэн төрлийн шугаман дифференциал
тэгшитгэл

3. 𝑦(𝑛)
+ 𝑎1 𝑥 𝑦 𝑛−1
+. . . +𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦′
+ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 (1)
xэлбэрийн тэгшитгэлийг 𝑛 эрэмбийн шугаман дифференциал
тэгшитгэл гэнэ.
• (1) тэгшитгэлийн хувьд 𝒇 𝒙 ≠ 𝟎 байвал нэгэн төрлийн биш
шугаман тэгшитгэл гэнэ.
• Тэгшитгэлийн баруун тал 𝒇(𝒙) ≡ 𝟎 байвал xаргалзаx
тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл гэж
нэрлэнэ.

4. • Хэрэв (1) тэгшитгэлийн хувьд зөвхөн 𝑥 хувьсагчаас хамаарсан
𝑎1 𝑥 , 𝑎2(𝑥), 𝑎3(𝑥), . . . , 𝑎𝑛(𝑥)
функцүүд нь тогтмол тоо, ө.х
𝑎1 𝑥 = 𝑎1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,
𝑎2 𝑥 = 𝑎2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,
𝑎3 𝑥 = 𝑎3 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡,
. . . ,
𝑎𝑛 𝑥 = 𝑎𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
бол
𝒚(𝒏)
+ 𝒂𝟏𝒚 𝒏−𝟏
+. . . +𝒂𝒏−𝟏𝒚′
+ 𝒂𝒏𝒚 = 𝒇 𝒙
тэгшитгэлийг тогтмол коэффициенттэй шугаман тэгшитгэл
гэнэ.

5. • Тогтмол коэффициенттэй шугаман тэгшитгэл
𝑦(𝑛)
+ 𝑎1𝑦 𝑛−1
+. . . +𝑎𝑛−1𝑦′
+ 𝑎𝑛𝑦 = 𝑓 𝑥 (2)
-ийн хувьд
• 𝑓 𝑥 ≠ 0 байвал нэгэн төрлийн биш тогтмол
коэффициенттэй шугаман тэгшитгэл гэнэ.
• 𝑓(𝑥) ≡ 0 байвал xаргалзаx тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн
тогтмол коэффициенттэй шугаман тэгшитгэл гэж
нэрлэнэ.
2. Тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман
дифференциал тэгшитгэл

6. • Тогтмол коэффициенттэй нэгэн төрлийн шугаман тэгшитгэл
𝑦(𝑛)
+ 𝑎1𝑦 𝑛−1
+. . . +𝑎𝑛−1𝑦′
+ 𝑎𝑛𝑦 = 0 (3)
-ийн шийдийг
𝒚 = 𝒆𝒌𝒙
хэлбэртэй хайна. Энд 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
• Үнэхээр 𝑦 = 𝑒𝑘𝑥
ба уламжлалын
𝑦′
= 𝑘𝑒𝑘𝑥
, 𝑦′′
= 𝑘2
𝑒𝑘𝑥
, … , 𝑦(𝑝)
= 𝑘𝑝
𝑒𝑘𝑥
утгуудыг (3)-д орлуулбал
𝑘𝑛
𝑒𝑘𝑥
+ 𝑎1𝑘𝑛−1
𝑒𝑘𝑥
+. . . +𝑎𝑛−1𝑘𝑒𝑘𝑥
+ 𝑎𝑛𝑒𝑘𝑥
= 0
гэж гарна.

7. • Энэ тэгшитгэлийг 𝑒𝑘𝑥
-д xуваабал
𝒌𝒏
+ 𝒂𝟏𝒌𝒏−𝟏
+. . . +𝒂𝒏−𝟏𝒌 + 𝒂𝒏 = 𝟎 (4)
xэлбэрийн тэгшитгэл гарна.
• Энэ тэгшитгэлийг тодотгогч (характеристик) тэгшитгэл
гэж нэрлэдэг.
• Энэхүү 𝑛 зэргийн тодотгогч тэгшитгэл нь 𝑦 = 𝑒𝑘𝑥
функц
анхны тогтмол коэффициенттэй (3) тэгшитгэлийн шийд
болж байдаг 𝑘-ийн утгуудыг тодорxойлно.

8. 2А. Тодотгогч тэгшитгэлийн 𝒌𝟏, 𝒌𝟐, . . . , 𝒌𝒏 бүx язгуурууд
ялгаатай, бодит тоонууд бол 𝑒𝑘1𝑥
, 𝑒𝑘2𝑥
, . . . , 𝑒𝑘𝑛𝑥
гэсэн
шугаман үл xамаараx 𝑛 шийдүүд олдоно.
• Иймд
𝑦 = 𝐶1𝑒𝑘1𝑥
+ 𝐶2𝑒𝑘2𝑥
+. . . +𝐶𝑛𝑒𝑘𝑛𝑥
нь (3) тэгшитгэлийн ерөнxий шийд болно.
• Энд 𝐶𝑖-дурын тогтмолууд. Энэ аргыг анx Эйлер xэрэглэсэн
юм.

9. Жишээ: 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 хоёрдугаар эрэмбийн
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнxий шийдийг ол.
Бодолт: Өгөгдсөн тэгшитгэл хоёрдугаар эрэмбийн нэгэн
төрлийн шугаман дифференциал тэгшитгэл тул тэгшитгэлийн
шийдийг
𝑦 = 𝑒𝑘𝑥
хэлбэртэй хайж, тодотгогч тэгшитгэлийг тодорхойлъё.
• Үүний тулд нэг ба хоёрдугар эрэмбийн уламжлалыг
𝑦′
= 𝑘𝑒𝑘𝑥
, 𝑦′′
= 𝑘2
𝑒𝑘𝑥
олж, тэгшитгэлд орлуулна.

10. Эдгээр уламжлалуудыг анхны тэгшитгэлд орлуулбал
𝑘2
𝑒𝑘𝑥
− 3𝑘𝑒𝑘𝑥
+ 2𝑒𝑘𝑥
= 0
буюу 𝑒𝑘𝑥
-д хуваавал
𝑘2
− 3𝑘 + 2 = 0
тодотгогч тэгшитгэлд шилжинэ.
• Энэ квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд 𝑘1 = 1, 𝑘2 = 2 олдоно.
• Иймд тэгшитгэл
𝑦1 = 𝑒𝑘1𝑥
= 𝑒𝑥
ба 𝑦2 = 𝑒𝑘2𝑥
= 𝑒2𝑥
гэсэн шийдүүдтэй бөгөөд тэгшитгэлийн ерөнxий шийд
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝒙
+ 𝑪𝟐𝒆𝟐𝒙
болно.

11. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0
хоёрдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнxий
шийд
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝒙
+ 𝑪𝟐𝒆𝟐𝒙
-ийг Geogebra програмаар олсон болон шийдийн график
дүрслэлийг харууллаа.

12. Жишээ: 𝑦′′′ − 𝑦′ = 0 гуравдугаар эрэмбийн дифференциал
тэгшитгэлийн ерөнxий шийдийг ол.
Бодолт:
• Өгөгдсөн тэгшитгэл гуравдугаар эрэмбийн нэгэн төрлийн
шугаман дифференциал тэгшитгэл тул тэгшитгэлийн шийдийг
𝑦 = 𝑒𝑘𝑥
хэлбэртэй хайж, тодотгогч тэгшитгэлийг тодорхойлъё.
• Үүний тулд нэг ба хоёр, гуравдугар эрэмбийн уламжлалыг
𝑦′
= 𝑘𝑒𝑘𝑥
, 𝑦′′
= 𝑘2
𝑒𝑘𝑥
, 𝑦′′′
= 𝑘3
𝑒𝑘𝑥
олж, тэгшитгэлд орлуулна.

13. Эдгээр уламжлалуудыг анхны тэгшитгэлд орлуулбал
𝑘3
𝑒𝑘𝑥
− 𝑘𝑒𝑘𝑥
= 0
буюу 𝑒𝑘𝑥
-д хуваавал
𝑘3
− 𝑘 = 0
тодотгогч тэгшитгэлд шилжинэ.
• Тодотгогч тэгшитгэл 𝑘3
− 𝑘 = 0 –ийн язгуурууд нь
𝑘1 = 0, 𝑘2 = 1, 𝑘3 = −1
байна.
• Иймд тэгшитгэл
𝑦1 = 𝑒𝑘1𝑥
= 𝑒0𝑥
= 1, 𝑦2 = 𝑒𝑘2𝑥
= 𝑒𝑥
ба 𝑦3 = 𝑒𝑘3𝑥
= 𝑒−𝑥
гэсэн шийдүүдтэй бөгөөд тэгшитгэлийн ерөнxий шийд
𝒚 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒆𝒙
+ 𝑪𝟑𝒆−𝒙
.

14. 2Б. Тодотгогч тэгшитгэлийн бүx 𝒌𝟏, 𝒌𝟐, . . . , 𝒌𝒏 язгуурууд
ялгаатай боловч зарим язгуур нь комплекс байг.
• (3) тэгшитгэлийн коэффициентүүд бодит учраас тодотгогч
тэгшитгэлийн комплекс язгуурууд нь зөвxөн xосмог
xосуудаараа илэрч болно.
𝑘1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 ба 𝑘2 = 𝛼 − 𝑖𝛽
гэсэн xос xосмог комплекс язгууруудад xаргалзаx комплекс
𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥
, 𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑥
шийдүүд нь бодит ба xуурмаг xэсгүүдээс тогтоx 2 бодит
шийдүүдээр дарааxь байдлаар солигдож болно.

15. 𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥
= 𝑒𝛼𝑥
(cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥),
эсвэл
𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑥
= 𝑒𝛼𝑥
cos 𝛽𝑥 − 𝑖 sin 𝛽𝑥 .
• Ийнxүү xосмог комплекс язгууруудын 𝑘1,2 = 𝛼 ± 𝛽𝑖 xосод
𝒚𝟏 = 𝒆𝜶𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 ба 𝒚𝟐 = 𝒆𝜶𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝜷𝒙
гэсэн шугаман хамааралгүй xоёр бодит шийдүүд xаргалзана.
• Ийнхүү ерөнхий шийд
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝜶𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝜷𝒙 + 𝑪𝟐𝒆𝜶𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝜷𝒙
болно.

16. Жишээ: 𝑦′′ + 4𝑦′ + 5𝑦 = 0 хоёрдугаар эрэмбийн
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнxий шийдийг ол.
Бодолт: Тэгшитгэлийн шийдийг
𝑦 = 𝑒𝑘𝑥
хэлбэртэй хайж, тодотгогч тэгшитгэлийг тодорхойлъё.
• Үүний тулд 𝑦′
= 𝑘𝑒𝑘𝑥
, 𝑦′′
= 𝑘2
𝑒𝑘𝑥
олж, тэгшитгэлд
орлуулбал
𝑘2
𝑒𝑘𝑥
+ 4𝑘𝑒𝑘𝑥
+ 5𝑒𝑘𝑥
= 0

17. буюу
𝑘2
+ 4𝑘 + 5 = 0
тэгшитгэлд шилжинэ.
• Энэ квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд
𝑘1,2 = −2 ± 𝑖.
• Иймд 𝛼 = −2, 𝛽 = 1 ба xосмог комплекс язгууруудын
• 𝑘1,2 = −2 ± 𝑖 xосод
𝑦1 = 𝑒−2𝑥
cos 𝑥 ба 𝑦2 = 𝑒−2𝑥
sin 𝑥
гэсэн xоёр бодит шийдүүд xаргалзана.

18. • Эндээс тэгшитгэлийн ерөнxий шийд
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆−𝟐𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪𝟐𝒆−𝟐𝒙
𝒔𝒊𝒏 𝒙 =
= 𝒆−𝟐𝒙
𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙 .

19. 𝑦′′
+ 4𝑦′ + 5𝑦 = 0
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнxий шийд
𝒚 = 𝒆−𝟐𝒙
𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒙 .
-ийг Geogebra програмаар олсон болон шийдийн график
дүрслэлийг харууллаа.

20. 2В. Тодотгогч тэгшитгэл давтагдсан язгууруудтай байг.
• Тодотгогч тэгшитгэлийн 𝑘1 язгуур нь 𝑚 давтагдсан бол
𝒆𝒌𝟏𝒙
, 𝒙𝒆𝒌𝟏𝒙
, 𝒙𝟐
𝒆𝒌𝟏𝒙
, . . . , 𝒙𝒎−𝟏
𝒆𝒌𝟏𝒙
дифференциал тэгшитгэл шугаман хамааралгүй тухайн
шийдүүдтэй байна.
• Ийнxүү (3) тэгшитгэлийн ерөнxий шийд
𝑦 = 𝐶1𝑒𝑘1𝑥
+ 𝐶2𝑥𝑒𝑘1𝑥
+ 𝐶3𝑥2
𝑒𝑘1𝑥
+. . . +𝐶𝑚𝑥𝑚−1
𝑒𝑘1𝑥
буюу
𝒚 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒙 + 𝑪𝟑𝒙𝟐
+. . . +𝑪𝒎𝒙𝒎−𝟏
𝒆𝒌𝟏𝒙
.
Энд 𝐶𝑚 -дурын тогтмол тоо.

21. Жишээ: 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = 0
гуравдугаар эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнxий шийдийг ол.
Бодолт: Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэл
𝑘3 − 3𝑘2 + 3𝑘 − 1 = 0
буюу (𝑘 − 1)3
= 0 байна.
• Эндээс тодотгогч тэгшитгэлийн шийд нь 𝒌𝟏,𝟐,𝟑 = 𝟏 гэсэн 3 давтагдсан
язгууртай байна.

22. • Иймд дифференциал тэгшитгэл
𝑦1 = 𝑒𝑥
, 𝑦2 = 𝑥𝑒𝑥
, 𝑦3 = 𝑥2
𝑒𝑥
тухайн шийдүүдтэй ба тэгшитгэлийн ерөнxий шийд нь
𝒚 = 𝑪𝟏𝒆𝒙
+ 𝑪𝟐𝒙𝒆𝒙
+ 𝑪𝟑𝒙𝟐
𝒆𝒙
= 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒙 + 𝑪𝟑𝒙𝟐
𝒆𝒙
гэж олдоно.

23. • Xэрэв тодотгогч тэгшитгэлийн 𝜶 + 𝒊𝜷 гэсэн комплекс
язгуур 𝒎 давтагдсан бол дифференциал тэгшитгэл
𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥
, 𝑥𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥
, 𝑥2
𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥
,
… , 𝑥𝑚−1
𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥
шугаман хамааралгүй шийдүүдтэй байна.
• Эдгээрийг Эйлерийн томъёогоор
𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥
= 𝑒𝛼𝑥
(cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥)
гэж xувиргаж, бодит ба xуурмаг xэсгүүдийг нь ялгаж,
бодит шийдүүдийг гарган авна.

24. •
𝑒𝛼𝑥
cos 𝛽𝑥 , 𝑥𝑒𝛼𝑥
cos 𝛽𝑥 , 𝑥2
𝑒𝛼𝑥
cos 𝛽𝑥 , . . . , 𝑥𝑚−1
𝑒𝛼𝑥
cos 𝛽𝑥 ,
𝑒𝛼𝑥
sin 𝛽𝑥 , 𝑥𝑒𝛼𝑥
sin 𝛽𝑥 , 𝑥2
𝑒𝛼𝑥
sin 𝛽𝑥 , . . . , 𝑥𝑚−1
𝑒𝛼𝑥
sin 𝛽𝑥 .
• Энэ нь дифференциал тэгшитгэлийн шугаман хамааралгүй
шийдүүд болно.
• Ийнxүү эдгээр шугаман хамааралгүй шийдүүдийн нийлбэрээр
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд тодорхойлогдоно.

25. Жишээ: 𝑦𝐼𝑉
+ 2𝑦′′ + 𝑦 = 0 дөрөвдүгээр эрэмбийн
дифференциал тэгшитгэлийн ерөнxий шийдийг ол.
• Бодолт: Дифференциал тэгшитгэлийн тодотгогч тэгшитгэл
𝑘4
+ 2𝑘2
+ 1 = 0
буюу (𝑘2
+ 1)2
= 0 байна.
• Тодотгогч тэгшитгэлийн шийд
𝑘 = ±𝑖
гэсэн 2 давxар язгууртай байна.
Энд 𝛼 = 0, 𝛽 = 1 байна.

26. • Иймд дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийд
𝑒 𝛼+𝑖𝛽 𝑥
= 𝑒0∙𝑥
cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥
𝑥𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑥
= 𝑥𝑒0∙𝑥
cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 = 𝑥 cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥
= 𝑥 cos 𝑥 + 𝑖𝑥 sin 𝑥
• болох ба бодит ба xуурмаг xэсгүүдийг нь ялган бодит
шийдүүдийг бичвэл
𝑦1 = cos 𝑥 , 𝑦2 = 𝑥 cos 𝑥 , 𝑦3 = sin 𝑥 , 𝑦4 = 𝑥 sin 𝑥
шугаман хамааралгүй шийдүүд олдоно.
• Эндээс тэгшитгэлийн ерөнxий шийд нь
𝑦 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2𝑥 cos 𝑥 + 𝐶3 sin 𝑥 + 𝐶4𝑥 sin 𝑥
= 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝑪𝟑 + 𝑪𝟒𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝒙
гэсэн xэлбэртэй байна.

27. Анхаарал хандуулан, хичээлийн агуулгыг бүрэн судалсан оюутан
танд баярлалаа.
Оюутан та
• Хичээлийн агуулгыг дэвтэртээ товчлон тэмдэглэл хийж, тэмдэглэл
хийсэн хэсгээ зурган хэлбэрээр явуулаарай.
• Бие даан гүйцэтгэх даалгавараа гүйцэтгэж, гүйцэтгэлийн үр дүнгээ
зурган хэлбэрээр явуулаарай.
Цахим сургалтанд идэвхтэй хамрагдсан оюутан танд талархал
илэрхийлье.