Ердийн дифференциал тэгшитгэл
•
8 likes•11,959 views
Ердийн дифференциал тэгшитгэл, тэгшитгэлийн эрэмбэ, шийд, Кошийн бодлогын шийд
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
More from Battur
More from Battur (15)
Ердийн дифференциал тэгшитгэл
- 2. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Агуулга 1 Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого 2 Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд
- 3. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн эрэмбэ Тодорхойлт Аргумент, түүнээс хамаардаг үл мэдэгдэх функц болон уг функцийн уламжлалуудыг холбосон тэгшитгэл F(x, y, y , y , ..., y(n) ) = 0 (1) -г ийг дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.
- 4. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн эрэмбэ Тодорхойлт Аргумент, түүнээс хамаардаг үл мэдэгдэх функц болон уг функцийн уламжлалуудыг холбосон тэгшитгэл F(x, y, y , y , ..., y(n) ) = 0 (1) -г ийг дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв тэгшитгэлд орж байгаа үл мэдэгдэх функц нь нэг хувьсагчтай функц бол уг тэгшитгэл нь ердийн дифференциал тэгшитгэл
- 5. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн эрэмбэ Тодорхойлт Аргумент, түүнээс хамаардаг үл мэдэгдэх функц болон уг функцийн уламжлалуудыг холбосон тэгшитгэл F(x, y, y , y , ..., y(n) ) = 0 (1) -г ийг дифференциал тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хэрэв тэгшитгэлд орж байгаа үл мэдэгдэх функц нь нэг хувьсагчтай функц бол уг тэгшитгэл нь ердийн дифференциал тэгшитгэл харин үл мэдэгдэх функц нь олон хувьсагчтай функц байвал тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэлд хүрнэ.
- 6. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн эрэмбэ Тодорхойлт Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлд орж байгаа үл мэдэгдэх функцийн уламжлалуудын хамгийн дээд эрэмбэ нь уг тэгшитгэлийн эрэмбэ болно. n эрэмбийн ердийн дифференциал тэгшитгэл F(x, y, y , y , ..., y(n) ) = 0 энд y = y(x) үл мэдэгдэх олох ёстой функц юм.
- 7. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн эрэмбэ Тодорхойлт Өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлд орж байгаа үл мэдэгдэх функцийн уламжлалуудын хамгийн дээд эрэмбэ нь уг тэгшитгэлийн эрэмбэ болно. n эрэмбийн ердийн дифференциал тэгшитгэл F(x, y, y , y , ..., y(n) ) = 0 энд y = y(x) үл мэдэгдэх олох ёстой функц юм.
- 8. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд Тодорхойлт Өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулан тавихад уг тэгшитгэлийг адилтгал болгодог функц бүр нь энэ тэгшитгэлийн шийд гэнэ.
- 9. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд Тодорхойлт Өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулан тавихад уг тэгшитгэлийг адилтгал болгодог функц бүр нь энэ тэгшитгэлийн шийд гэнэ. Жишээлбэл y = f (x) (∗) 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийд
- 10. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд Тодорхойлт Өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулан тавихад уг тэгшитгэлийг адилтгал болгодог функц бүр нь энэ тэгшитгэлийн шийд гэнэ. Жишээлбэл y = f (x) (∗) 1-р эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн шийд y = f (x)dx + C = φ(x, C); ∀C = const
- 11. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд y = φ(x, C) функц нь y = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд гэж нэрлэгдэх бөгөөд
- 12. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд y = φ(x, C) функц нь y = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд гэж нэрлэгдэх бөгөөд C хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн тодорхой C0 утгыг өгсний үр дүнд уг тэгшитгэлийн тухайн шийд y = φ(x, C0) үүснэ.
- 13. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд y = φ(x, C) функц нь y = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд гэж нэрлэгдэх бөгөөд C хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн тодорхой C0 утгыг өгсний үр дүнд уг тэгшитгэлийн тухайн шийд y = φ(x, C0) үүснэ. Яг төстэй байдлаар, n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь n удаа интегралчласны үр дүнд гарах n ширхэг дурын тогтмол хэмжигдэхүүнийг агуулна, y = φ(x, C1, C2, ..., Cn).
- 14. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд y = φ(x, C) функц нь y = f (x) тэгшитгэлийн ерөнхий шийд гэж нэрлэгдэх бөгөөд C хэмжигдэхүүнд ямар нэгэн тодорхой C0 утгыг өгсний үр дүнд уг тэгшитгэлийн тухайн шийд y = φ(x, C0) үүснэ. Яг төстэй байдлаар, n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь n удаа интегралчласны үр дүнд гарах n ширхэг дурын тогтмол хэмжигдэхүүнийг агуулна, y = φ(x, C1, C2, ..., Cn).Хэрэв эдгээр тогтмол хэмжигдэхүүнүүдэд тодорхой ямар нэгэн утгуудыг C (0) 1 , C (0) 2 , ..., C (0) n , өгвөл уг тэгшитгэлийн тухайн шийд y = φ(x, C (0) 1 , C (0) 2 , ..., C (0) n ) үүснэ.
- 15. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд зарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x, y, C1, C2, ..., Cn) = 0 гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл гэж нэрлэгддэг.
- 16. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд зарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x, y, C1, C2, ..., Cn) = 0 гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл гэж нэрлэгддэг.Буцаагаад, n ширхэг параметр C1, C2, ..., Cn агуулсан Φ(x, y, C1, C2, ..., Cn) = 0 муруйнуудын бүл ерөнхий интеграл нь байх n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олох асуудал бас тавигдаж болно.
- 17. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд зарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x, y, C1, C2, ..., Cn) = 0 гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл гэж нэрлэгддэг.Буцаагаад, n ширхэг параметр C1, C2, ..., Cn агуулсан Φ(x, y, C1, C2, ..., Cn) = 0 муруйнуудын бүл ерөнхий интеграл нь байх n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олох асуудал бас тавигдаж болно.Энэ тохиолдолд Φ(x, y, C1, C2, ..., Cn) = 0 тэнцэтгэлд x-аргумент, y-түүнээс хамаарах функц байна гэж үзээд, уг тэнцэтгэлийг n-удаа дифференциалчлахад
- 18. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийд зарим тохиолдолд далд хэлбэрээр Φ(x, y, C1, C2, ..., Cn) = 0 гэж олддог. Энэ илэрхийллийг уг тэгшитгэлийн ерөнхий интеграл гэж нэрлэгддэг.Буцаагаад, n ширхэг параметр C1, C2, ..., Cn агуулсан Φ(x, y, C1, C2, ..., Cn) = 0 муруйнуудын бүл ерөнхий интеграл нь байх n-эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийг олох асуудал бас тавигдаж болно.Энэ тохиолдолд Φ(x, y, C1, C2, ..., Cn) = 0 тэнцэтгэлд x-аргумент, y-түүнээс хамаарах функц байна гэж үзээд, уг тэнцэтгэлийг n-удаа дифференциалчлахад үүссэн (n + 1) ширхэг тэгшитгэлүүдийн системээс C1, C2, ..., Cn хэмжигдэхүүнүүдийг зайлуулах замаар φ(x, y, y , ..., y(n)) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлд хүрнэ: Φ(...) = 0; d dx Φ(...) = 0; · · · ; dn dxn Φ(...) = 0 ;
- 19. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд Жишээлбэл x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциал тэгшитгэлийг олъё.
- 20. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд Жишээлбэл x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциал тэгшитгэлийг олъё. Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана:
- 21. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд Жишээлбэл x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциал тэгшитгэлийг олъё. Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана: x + y · y = C;
- 22. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд Жишээлбэл x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциал тэгшитгэлийг олъё. Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана: x + y · y = C; Одоо дараахь системээс C-ийг зайлуулна:
- 23. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд Жишээлбэл x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциал тэгшитгэлийг олъё. Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана: x + y · y = C; Одоо дараахь системээс C-ийг зайлуулна: x2 + y2 = 2Cx; x + y · y = C;
- 24. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд Жишээлбэл x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциал тэгшитгэлийг олъё. Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана: x + y · y = C; Одоо дараахь системээс C-ийг зайлуулна: x2 + y2 = 2Cx; x + y · y = C; Эндээс, олох дифференциал тэгшитгэл
- 25. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн шийд Жишээлбэл x2 + y2 = 2Cx муруйнуудын бүлийн дифференциал тэгшитгэлийг олъё. Өгөгдсөн тэнцэтгэлийг x-эр дифференциалчлана: x + y · y = C; Одоо дараахь системээс C-ийг зайлуулна: x2 + y2 = 2Cx; x + y · y = C; Эндээс, олох дифференциал тэгшитгэл y = y2 − x2 2xy
- 26. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдээс тухайн шийдийг нь ялган авахын тулд дифференциал тэгшитгэлийн зэрэгцээ ямар нэгэн нэмэлт нөхцлүүдийг шаардах бөгөөд тэдгээр нь эхний нөхцлүүд гэж нэрлэгддэг ба уг процессийн анхны төлөв байдлыг илэрхийлдэг. Эхний нөхцлүүд нь y0 = y(x)|x=x0 , y (x)|x=x0 = v0 гэх мэт бичигдэнэ.
- 27. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдээс тухайн шийдийг нь ялган авахын тулд дифференциал тэгшитгэлийн зэрэгцээ ямар нэгэн нэмэлт нөхцлүүдийг шаардах бөгөөд тэдгээр нь эхний нөхцлүүд гэж нэрлэгддэг ба уг процессийн анхны төлөв байдлыг илэрхийлдэг. Эхний нөхцлүүд нь y0 = y(x)|x=x0 , y (x)|x=x0 = v0 гэх мэт бичигдэнэ. Ерөнхий тохиолдолд n эрэмбийн дифференциал тэгшитгэлийн тухайн шийдийг тодорхойлох эхний нөхцлүүд n ширхэг y(x0) = y0, y (x0) = y0, ..., yn−1 (x0) = y (n−1) 0 байна.
- 28. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Тодорхойлт Дифференциал тэгшитгэлийн өгөгдсөн анхны нөхцлүүдэд хангах тухайн шийдийг олох бодлого нь Кошийн бодлого гэж нэрлэгддэг.
- 29. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Тодорхойлт Дифференциал тэгшитгэлийн өгөгдсөн анхны нөхцлүүдэд хангах тухайн шийдийг олох бодлого нь Кошийн бодлого гэж нэрлэгддэг. Тодорхойлт Ерөнхий шийдийн илэрхийлэлд орж байгаа тогтмол хэмжигдэхүүний ямар ч утгаар илэрхийлэгдэж чадахгүй шийд нь уг дифференциал тэгшитгэлийн онцгой шийд гэж нэрлэгддэг.
- 30. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Тодорхойлт F(x, y, y ) = 0 хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ. Түүнийг мөн уламжлалын хувьд бодогдсон, y = f (x, y) (2) хэлбэрт бичдэг.
- 31. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Тодорхойлт F(x, y, y ) = 0 хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ. Түүнийг мөн уламжлалын хувьд бодогдсон, y = f (x, y) (2) хэлбэрт бичдэг. Энэ тэгшитгэлийн хувьд анхны нөхцөл y |x=x0 = y0 хэлбэртэй байна.
- 32. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Нэгдүгээр эрэмбийн y = f (x, y) хэлбэрт бичигдсэн дифференциал тэгшитгэлийн шийдийг бодож олох зарим аргууд: Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэл Шугаман тэгшитгэлд шилжих зарим тэгшитгэлүүд Бүтэн дифференциалт тэгшитгэл
- 33. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Тодорхойлт Хэрэв өгөгдсөн y = f (x, y) (3) тэгшитгэлд f (x, y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвал хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ.
- 34. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Тодорхойлт Хэрэв өгөгдсөн y = f (x, y) (3) тэгшитгэлд f (x, y) = φ(x) · ψ(y) хэлбэртэй байвал хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл гэнэ. Энэ тохиолдолд y = φ(x) · ψ(y), эсвэл dy dx = φ(x) · ψ(y) болно.
- 35. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн y-ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийг агуулсан) dy ψ(y) = φ(x)dx хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд
- 36. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Эндээс, хувьсагчуудыг ялгаж (dy-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн y-ийг, dx-ийн өмнөх коэффициент зөвхөн x-ийг агуулсан) dy ψ(y) = φ(x)dx хэлбэрт тэгшитгэлийг шилжүүлэх бөгөөд тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал уг тэгшитгэлийн ерөнхий шийд нь dy ψ(y) = φ(x)dx + C, C = const хэлбэрт бичигдэнэ.
- 37. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод.
- 38. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dy dx = 2xy
- 39. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dy dx = 2xy ⇒ dy y = 2xdx болно.
- 40. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dy dx = 2xy ⇒ dy y = 2xdx болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln |y| = x2 + C болно.
- 41. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dy dx = 2xy ⇒ dy y = 2xdx болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln |y| = x2 + C болно. Эндээс |y| = ex2+C
- 42. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ y = 2xy тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dy dx = 2xy ⇒ dy y = 2xdx болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln |y| = x2 + C болно. Эндээс |y| = ex2+C ⇒ y = ±ec · ex2
- 43. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг.
- 44. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x) үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж
- 45. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x) үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = 0 хувьсагчуудыг нь ялгана.
- 46. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x) үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = 0 хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхий шийд
- 47. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x) үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = 0 хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхий шийд φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = C, C = const хэлбэрт бичигдэнэ.
- 48. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Хувьсагчууд нь ялгагдах нэлээд ерөнхий хэлбэрийн нэгдүгээр эрэмбийн тэгшитгэл бол φ(x) · ψ(y)dx + r(x) · s(y)dy = 0 (4) хэлбэрийн тэгшитгэл байдаг. Энэ тэгшитгэлийг ψ(y) · r(x) үржигдэхүүнд гишүүнчлэн хувааж φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = 0 хувьсагчуудыг нь ялгана. Эндээс, интегралчилвал ерөнхий шийд φ(x) r(x) dx + s(y) ψ(y) dy = C, C = const хэлбэрт бичигдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, F(x, y, c) = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр ерөнхий шийд илэрхийлэгдэнэ.
- 49. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ (1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод.
- 50. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ (1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dx 1 + x2 + dy 1 + y2 = 0 болно.
- 51. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Хувьсагчууд нь ялгагдах тэгшитгэл Жишээ (1 + y2)dx + (1 + x2)dy = 0 тэгшитгэлийг бод. - Хувьсагчуудыг нь ялгавал: dx 1 + x2 + dy 1 + y2 = 0 болно.Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал arctg x + arctg y = C болно.
- 52. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл f (tx, ty) = tn · f (x, y) (∗∗) тэнцэтгэл биелэх y = f (x, y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье.
- 53. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл f (tx, ty) = tn · f (x, y) (∗∗) тэнцэтгэл биелэх y = f (x, y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье.t = 1 x гэж авбал f (x, y) = f 1 x · x, 1 x · y = f 1, y x = φ y x хэлбэрт бичигдэнэ.
- 54. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл f (tx, ty) = tn · f (x, y) (∗∗) тэнцэтгэл биелэх y = f (x, y) хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч үзье.t = 1 x гэж авбал f (x, y) = f 1 x · x, 1 x · y = f 1, y x = φ y x хэлбэрт бичигдэнэ. Тодорхойлт y = φ y x (5) хэлбэрийн дифференциал тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл гэнэ.
- 55. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үл мэдэгдэх u = u(x) функцийг y x = u, y = u · x, y = u · x + u томъёогоор орлуулга хийвэл
- 56. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үл мэдэгдэх u = u(x) функцийг y x = u, y = u · x, y = u · x + u томъёогоор орлуулга хийвэл(5) тэгшитгэл u · x + u = φ(u), x · du dx = φ(u) − u, du φ(u) − u = dx x ; хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд шилжинэ.
- 57. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үл мэдэгдэх u = u(x) функцийг y x = u, y = u · x, y = u · x + u томъёогоор орлуулга хийвэл(5) тэгшитгэл u · x + u = φ(u), x · du dx = φ(u) − u, du φ(u) − u = dx x ; хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд шилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаар u-ийг u = y/x томъёогоор олно.
- 58. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Энэ тэгшитгэл нь y = y(x) функцийн оронд шинэ үл мэдэгдэх u = u(x) функцийг y x = u, y = u · x, y = u · x + u томъёогоор орлуулга хийвэл(5) тэгшитгэл u · x + u = φ(u), x · du dx = φ(u) − u, du φ(u) − u = dx x ; хэлбэртэй хувьсагч нь ялгагдах тэгшитгэлд шилжинэ.Сүүлчийн тэнцэтгэлийг интегралчлаад, улмаар u-ийг u = y/x томъёогоор олно. Хэрэв M(x, y) ба N(x, y) ижил зэрэгтэй нэгэн төрлийн функцүүд бол нэгдүгээр эрэмбийн нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийг M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 хэлбэрт бичиж болно.
- 59. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод.
- 60. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - f (x, y) = y2 − x2 2xy = 1 2 · y x − 1 2 · y x байгаа учраас
- 61. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - f (x, y) = y2 − x2 2xy = 1 2 · y x − 1 2 · y x байгаа учраасy = u · x орлуулга хийхэд
- 62. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - f (x, y) = y2 − x2 2xy = 1 2 · y x − 1 2 · y x байгаа учраасy = u · x орлуулга хийхэд x · du dx + u = u2 − 1 2u ,
- 63. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - f (x, y) = y2 − x2 2xy = 1 2 · y x − 1 2 · y x байгаа учраасy = u · x орлуулга хийхэд x · du dx + u = u2 − 1 2u , x · du dx = u2 − 1 2u − u = − u2 + 1 2u ; болно.
- 64. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - f (x, y) = y2 − x2 2xy = 1 2 · y x − 1 2 · y x байгаа учраасy = u · x орлуулга хийхэд x · du dx + u = u2 − 1 2u , x · du dx = u2 − 1 2u − u = − u2 + 1 2u ; болно.Одоо сүүлчийн тэгшитгэлд хувьсагчуудыг ялгавал 2udu u2 + 1 = − dx x .
- 65. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln(u2 + 1) = − ln x + ln C, u2 + 1 = C x ; болно.
- 66. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln(u2 + 1) = − ln x + ln C, u2 + 1 = C x ; болно.Эцэст нь u-гийн оронд y x тавибал өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд y2 x2 + 1 = C x ,
- 67. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Ердийн дифференциал тэгшитгэл (ЕДТ) ЕДТ-ийн эрэмбэ ЕДТ-ийн шийд ЕДТ-ийн Кошийн бодлого Нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл Хялбар интегралчлагдах тэгшитгэлүүд Аргумент ба үл мэдэгдэх функцийн хувьд нэгэн төрлийн тэгшитгэл Жишээ dy dx = y2−x2 2xy тэгшитгэлийг бод. - Тэнцэтгэлийн 2 талын интегралчивал ln(u2 + 1) = − ln x + ln C, u2 + 1 = C x ; болно.Эцэст нь u-гийн оронд y x тавибал өгөгдсөн тэгшитгэлийн ерөнхий шийд y2 x2 + 1 = C x , ⇒ x2 + y2 = C · x хэлбэрт бичигдэнэ.