Тоон цуваа
•
6 likes•8,575 views
Тоон цувааны нийлэлт, нийлбэр, цуваан дээрх үйлдлүүд, нийлэлтийн шинжүүрүүд
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Viewers also liked (20)
More from Battur
More from Battur (13)
Тоон цуваа
- 1. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа МАТЕМАТИК-2 Цуваа Д.Баттөр 2010 оны 4-р сарын 7
- 2. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Агуулга 1 Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд 2 Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа
- 3. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тоон цуваа Тодорхойлт {an}∞ n=1 = {a1, a2, a3, ..., an, ...} тоон дараалал гишүүдийг хооронд нь нэмэхэд үүссэн a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∞ n=1 an = an (1) илэрхийлэлийг тоон цуваа гэнэ.
- 4. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тоон цуваа Тодорхойлт {an}∞ n=1 = {a1, a2, a3, ..., an, ...} тоон дараалал гишүүдийг хооронд нь нэмэхэд үүссэн a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = ∞ n=1 an = an (1) илэрхийлэлийг тоон цуваа гэнэ.Энд байгаа a1, a2, ..., an, ... тоонууд уг цувааны гишүүд, тухайлбал, дурын n утганд an нь (1) цувааны ерөнхий гишүүн гэж нэрлэгдэх ба n-бэхлэгдсэн бол n-дүгээр гишүүн гэж нэрлэгдэнэ.
- 5. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тоон цуваа Тодорхойлт Цувааны гишүүдийг дэс дараалан нэмэх замаар цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал S1 = a1; S2 = a1+a2; S3 = a1+a2+a3; ...; Sn = a1+a2+...+an; ... {Sn}∞ n=1-г байгуулна.
- 6. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тоон цуваа Тодорхойлт Цувааны гишүүдийг дэс дараалан нэмэх замаар цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал S1 = a1; S2 = a1+a2; S3 = a1+a2+a3; ...; Sn = a1+a2+...+an; ... {Sn}∞ n=1-г байгуулна.Энэ дарааллын n-дүгээр гишүүн Sn = a1 + a2 + ... + an нь (1) цувааны n-дүгээр хэсгийн нийлбэр гэж нэрлэгддэг.
- 7. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тоон цуваа Тодорхойлт Цувааны гишүүдийг дэс дараалан нэмэх замаар цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал S1 = a1; S2 = a1+a2; S3 = a1+a2+a3; ...; Sn = a1+a2+...+an; ... {Sn}∞ n=1-г байгуулна.Энэ дарааллын n-дүгээр гишүүн Sn = a1 + a2 + ... + an нь (1) цувааны n-дүгээр хэсгийн нийлбэр гэж нэрлэгддэг. Тодорхойлт Хэрэв an цувааны хувьд ∀n утганд an ≥ 0 өөрөөр хэлбэл цувааны бүх гишүүд сөрөг биш тоонууд байвал уг цуваа нь эерэг цуваа гэнэ.
- 8. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Хэрэв (1) цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал {Sn} нь S хязгаар руу нийлдэг, өөрөөр хэлбэл, ∃ lim n→∞ Sn = S байвал (1) цуваа S тоо руу нийлдэг ба S нь уг цувааны нийлбэр гэгдэх ба ∞ n=1 an = S, (2) гэж бичигдэнэ.
- 9. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Хэрэв (1) цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал {Sn} нь S хязгаар руу нийлдэг, өөрөөр хэлбэл, ∃ lim n→∞ Sn = S байвал (1) цуваа S тоо руу нийлдэг ба S нь уг цувааны нийлбэр гэгдэх ба ∞ n=1 an = S, (2) гэж бичигдэнэ. Хэрэв {Sn} дараалал нийлэхгүй (салдаг) байвал (1) цуваа нь салдаг цуваа гэж нэрлэгдэх ба энэ тохиолдолд цувааны нийлбэрийн ухагдахуун тодорхойлогдохгүй. Хэрэв an цуваа нийлдэг, an = S, байвал rn = S − Sn нь уг цувааны n-р гишүүнээс хойших үлдэгдэл гэж нэрлэгдэх бөгөөд n → ∞ үед rn = S − Sn → S − S = 0 байна.
- 10. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ ∞ n=1 1 n·(n+1) = 1 1·2 + 1 2·3 + ... + 1 n·(n+1) + ..., цуваа нийлэх ба нийлбэр S = 1 байна.
- 11. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ ∞ n=1 1 n·(n+1) = 1 1·2 + 1 2·3 + ... + 1 n·(n+1) + ..., цуваа нийлэх ба нийлбэр S = 1 байна. an = 1 n·(n+1) = 1 n − 1 n+1 адилтгалын үндсэн дээр n дүгээр хэсгийн нийлбэр
- 12. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ ∞ n=1 1 n·(n+1) = 1 1·2 + 1 2·3 + ... + 1 n·(n+1) + ..., цуваа нийлэх ба нийлбэр S = 1 байна. an = 1 n·(n+1) = 1 n − 1 n+1 адилтгалын үндсэн дээр n дүгээр хэсгийн нийлбэр Sn = 1 1·2 + 1 2·3 + ... + 1 n·(n+1) =
- 13. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ ∞ n=1 1 n·(n+1) = 1 1·2 + 1 2·3 + ... + 1 n·(n+1) + ..., цуваа нийлэх ба нийлбэр S = 1 байна. an = 1 n·(n+1) = 1 n − 1 n+1 адилтгалын үндсэн дээр n дүгээр хэсгийн нийлбэр Sn = 1 1·2 + 1 2·3 + ... + 1 n·(n+1) = (1 − 1 2) + (1 2 − 1 3) + · · · · · · + (1 n − 1 n+1) =
- 14. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ ∞ n=1 1 n·(n+1) = 1 1·2 + 1 2·3 + ... + 1 n·(n+1) + ..., цуваа нийлэх ба нийлбэр S = 1 байна. an = 1 n·(n+1) = 1 n − 1 n+1 адилтгалын үндсэн дээр n дүгээр хэсгийн нийлбэр Sn = 1 1·2 + 1 2·3 + ... + 1 n·(n+1) = (1 − 1 2) + (1 2 − 1 3) + · · · · · · + (1 n − 1 n+1) = 1 − 1 n+1 → (n→+∞) 1 = S;
- 15. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ Гармоник цуваа ∞ n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n + ... сална.
- 16. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ Гармоник цуваа ∞ n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n + ... сална. Учир нь хэрэв n = 2k авбал n дүгээр хэсгийн нийлбэрийн хувьд Sn = S2k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + · · · + 1 2k−1 + 1 + · · · + 1 2k ≥
- 17. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ Гармоник цуваа ∞ n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n + ... сална. Учир нь хэрэв n = 2k авбал n дүгээр хэсгийн нийлбэрийн хувьд Sn = S2k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + · · · + 1 2k−1 + 1 + · · · + 1 2k ≥ ≥ 1 + 1 2 + 2 · 1 22 + ... + 2k−1 · 1 2k
- 18. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ Гармоник цуваа ∞ n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n + ... сална. Учир нь хэрэв n = 2k авбал n дүгээр хэсгийн нийлбэрийн хувьд Sn = S2k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + · · · + 1 2k−1 + 1 + · · · + 1 2k ≥ ≥ 1 + 1 2 + 2 · 1 22 + ... + 2k−1 · 1 2k = 1 + k · 1 2
- 19. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ Гармоник цуваа ∞ n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n + ... сална. Учир нь хэрэв n = 2k авбал n дүгээр хэсгийн нийлбэрийн хувьд Sn = S2k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + · · · + 1 2k−1 + 1 + · · · + 1 2k ≥ ≥ 1 + 1 2 + 2 · 1 22 + ... + 2k−1 · 1 2k = 1 + k · 1 2 = 1 + k 2 > k 2 тэнцэтгэл биш биелэнэ.
- 20. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ Гармоник цуваа ∞ n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n + ... сална.
- 21. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Жишээ Гармоник цуваа ∞ n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ... + 1 n + ... сална. Иймд ямар ч (их утгатай) M > 0 авахад Sn > k 2 > M биелэгдэж байхаар n = 2k дугаар олдоно өөрөөр хэлбэл k > 2M авахад Sn > M биелэгдэнэ. Энэ эерэг тоон дараалал {Sn} дээрээсээ зааглагдахгүй учраас уг дараалал сална.
- 22. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Хэрэв an = A ба α = const бол ∞ n=1 (α · an) = α · A = α · an; Хэрэв an = A ба bn = B бол (an + bn) = A + B = an + bn; Нийлдэг цувааны гишүүдийн байрыг сэлгэхгүй дурын аргаар бүлэглэхэд цувааны нийлэлтийн чанар алдагдахгүй, өөрөөр хэлбэл an = A байхад (a1 + a2 + ... + an1 ), (an1+1 + ... + an2 ), (an2+1 + ... + an3 ), (ank−1+1 + ... + ank ), ...
- 23. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Нийлэлтийн үеийн зайлшгүй нөхцөл Хэрэв ∞ 1 an нийлж байвал n → +∞ үед an → 0 байна өөрөөр хэлбэл нийлдэг цувааны ерөнхий гишүүн n → ∞ үед тэг рүү тэмүүлнэ. Учир нь өгөгдсөн ёсоор sn → A бөгөөд an = Sn − Sn−1 → A − A = 0 байна.
- 24. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Нийлэлтийн үеийн зайлшгүй нөхцөл Хэрэв ∞ 1 an нийлж байвал n → +∞ үед an → 0 байна өөрөөр хэлбэл нийлдэг цувааны ерөнхий гишүүн n → ∞ үед тэг рүү тэмүүлнэ. Учир нь өгөгдсөн ёсоор sn → A бөгөөд an = Sn − Sn−1 → A − A = 0 байна. Теорем Эерэг цуваа an нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл бол уг цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал {Sn}∞ n=1 дээрээсээ зааглагдсан байхад оршино.
- 25. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр an, bn-эерэг цуваанууд бөгөөд an ≤ bn тэнцэтгэл биш биелэгддэг гэе. Тэгэхэд
- 26. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр an, bn-эерэг цуваанууд бөгөөд an ≤ bn тэнцэтгэл биш биелэгддэг гэе. Тэгэхэд bn цувааны нийлэлтээс an цувааны нийлэлт мөрдөн гарна;
- 27. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр an, bn-эерэг цуваанууд бөгөөд an ≤ bn тэнцэтгэл биш биелэгддэг гэе. Тэгэхэд bn цувааны нийлэлтээс an цувааны нийлэлт мөрдөн гарна; an цувааны салалтаас bn цувааны салалт мөрдөн гарна.
- 28. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж.
- 29. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл
- 30. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас
- 31. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn.
- 32. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn. Мөн bn нийлэх учраас an бас нийлнэ.
- 33. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn. Мөн bn нийлэх учраас an бас нийлнэ. Жишээ an = 1√ n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж.
- 34. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn. Мөн bn нийлэх учраас an бас нийлнэ. Жишээ an = 1√ n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл
- 35. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn. Мөн bn нийлэх учраас an бас нийлнэ. Жишээ an = 1√ n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an ≥ bn.
- 36. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Жишээ an = 1 n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n2 ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an bn = 1 n(n+1) 1 n2 = n2 n(n + 1) → n→∞ 1 учраас an ∼ bn ба өөрөөр хэлбэл an ≤ bn. Мөн bn нийлэх учраас an бас нийлнэ. Жишээ an = 1√ n(n+1) ерөнхий гишүүнтэй цувааны нийлэлтийг шинж. Жишилтэнд bn = 1 n ерөнхий гишүүнтэй цуваа авч үзвэл an ≥ bn. Мөн bn сарних учраас an бас сарнина.
- 37. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Жиших шинжүүр Мөрдлөгөө (Харьцаануудыг жиших арга) Эерэг (an > 0, bn > 0) гишүүд бүхий an ба bn цуваануудын хувьд ∀k ak+1 ak ≤ bk+1 bk , (∗) тэнцэтгэл биш биелэгддэг байвал bn цувааны нийлэлтээс an цувааны нийлэлт мөрдөн гарах ба мөн an цувааны салалтаас bn цувааны салалт мөрдөн гарна.
- 38. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Даламберийн шинжүүр Хэрэв эерэг (an > 0) гишүүд бүхий an цувааны хувьд lim n→∞ an+1 an = d, (3) хязгаар оршин байвал
- 39. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Даламберийн шинжүүр Хэрэв эерэг (an > 0) гишүүд бүхий an цувааны хувьд lim n→∞ an+1 an = d, (3) хязгаар оршин байвал d < 1 үед an цуваа нийлнэ;
- 40. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Даламберийн шинжүүр Хэрэв эерэг (an > 0) гишүүд бүхий an цувааны хувьд lim n→∞ an+1 an = d, (3) хязгаар оршин байвал d < 1 үед an цуваа нийлнэ; d > 1 үед an цуваа сална;
- 41. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Даламберийн шинжүүр Хэрэв эерэг (an > 0) гишүүд бүхий an цувааны хувьд lim n→∞ an+1 an = d, (3) хязгаар оршин байвал d < 1 үед an цуваа нийлнэ; d > 1 үед an цуваа сална; d = 1 үед an цувааны нийлэлт-салалт шийдэгдэхгүй, өөрөөр хэлбэл d = 1 үед нийлдэг цуваа ч оршино (жишээлбэл, an = 1 n2 ), мөн салдаг цуваа ч оршино (жишээлбэл an = 1 n )
- 42. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Кошийн шинжүүр Хэрэв эерэг an, (an ≥ 0) цувааны хувьд lim n→∞ n √ an = q, (4) хязгаар оршин байвал
- 43. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Кошийн шинжүүр Хэрэв эерэг an, (an ≥ 0) цувааны хувьд lim n→∞ n √ an = q, (4) хязгаар оршин байвал q < 1 үед an цуваа нийлнэ;
- 44. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Кошийн шинжүүр Хэрэв эерэг an, (an ≥ 0) цувааны хувьд lim n→∞ n √ an = q, (4) хязгаар оршин байвал q < 1 үед an цуваа нийлнэ; q > 1 үед an цуваа сална;
- 45. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Нийлэлтийн шинжүүрүүд Кошийн шинжүүр Хэрэв эерэг an, (an ≥ 0) цувааны хувьд lim n→∞ n √ an = q, (4) хязгаар оршин байвал q < 1 үед an цуваа нийлнэ; q > 1 үед an цуваа сална; q = 1 үед асуудал шийдэгдэхгүй.
- 46. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Теорем Эерэг цуваа an нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл бол уг цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал {Sn}∞ n=1 дээрээсээ зааглагдсан байхад оршино.
- 47. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Теорем Эерэг цуваа an нийлэх зайлшгүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл бол уг цувааны хэсгийн нийлбэрүүдийн дараалал {Sn}∞ n=1 дээрээсээ зааглагдсан байхад оршино. Тодорхойлт Хэрэв an ба |an| цуваанууд нэгэн зэрэг нийлдэг байвал an цуваа нь абсолют нийлдэг цуваа гэж нэрлэгдэнэ. Харин an цуваа нийлдэг, |an| цуваа салдаг байвал an нь нөхцөлт (абсолют биш) нийлдэг цуваа гэж нэрлэгдэнэ.
- 48. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Абсолют нийлэлтийн шинжүүрүүд Эерэг цуваа bn нийлдэг бөгөөд an цувааны гишүүдийн хувьд | an+1 an | ≤ bn+1 bn , (n = 1, 2, ...), тэнцэтгэл бишүүд биелэгдэж байвал an абсолют нийлнэ.
- 49. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Абсолют нийлэлтийн шинжүүрүүд Эерэг цуваа bn нийлдэг бөгөөд an цувааны гишүүдийн хувьд | an+1 an | ≤ bn+1 bn , (n = 1, 2, ...), тэнцэтгэл бишүүд биелэгдэж байвал an абсолют нийлнэ. Эерэг цуваа bn салдаг бөгөөд an цувааы гишүүдийн хувьд | an+1 an | ≥ bn+1 bn тэнцэтгэл бишүүд биелэгдэж байвал an цуваа сална.
- 50. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Тодорхойлт Цувааны зэрэгцсэн хоёр гишүүн бүр нь эсрэг тэмдэгтэй тоонууд байвал уг цувааг тэмдэг сөөлжих цуваа гэнэ.
- 51. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Тодорхойлт Цувааны зэрэгцсэн хоёр гишүүн бүр нь эсрэг тэмдэгтэй тоонууд байвал уг цувааг тэмдэг сөөлжих цуваа гэнэ. Лейбницийн шинжүүр Хэрэв тэмдэг сөөлжих цувааны гишүүд нь абсолют утгаараа монотон буурдаг (a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · ) ба lim n→0 an = 0 нөхцөл биелэгдэж байвал нийлнэ.
- 52. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Лейбницийн шинжүүр Жишээ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · (Лейбницийн цуваа) нийлнэ
- 53. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Лейбницийн шинжүүр Жишээ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · (Лейбницийн цуваа) нийлнэ 1 ≥ 1 2 ≥ 1 3 ≥ · · · ≥ 1 n ≥ · · · ,
- 54. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Лейбницийн шинжүүр Жишээ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · (Лейбницийн цуваа) нийлнэ 1 ≥ 1 2 ≥ 1 3 ≥ · · · ≥ 1 n ≥ · · · , 1 n → 0;
- 55. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Лейбницийн шинжүүр Жишээ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · (Лейбницийн цуваа) нийлнэ 1 ≥ 1 2 ≥ 1 3 ≥ · · · ≥ 1 n ≥ · · · , 1 n → 0; Гэвч уг цувааны гишүүдийн абсолют утгуудаас зохиогдсон цуваа 1 n сална.
- 56. МАТЕМАТИК- 2 Д.Баттөр Агуулга Тоон цуваа Цувааны нийлэлт, нийлбэр Нийлдэг цуваанууд дээрх хялбар үйлдлүүд Нийлэлтийн шинжүүрүүд Дурын тэмдэгтэй гишүүд бүхий цуваа Абсолют нийлдэг цуваа Тэмдэг сөөлжих цуваа Лейбницийн шинжүүр Жишээ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + (−1)n+1 n + · · · (Лейбницийн цуваа) нийлнэ 1 ≥ 1 2 ≥ 1 3 ≥ · · · ≥ 1 n ≥ · · · , 1 n → 0; Гэвч уг цувааны гишүүдийн абсолют утгуудаас зохиогдсон цуваа 1 n сална. Ийнхүү, Лейбницийн цуваа абсолют биш нийлнэ.