1. Лекц№ 4 Функцындээдэрэмбийнуламжлалбадифференциалчлал, дифференциалчлагдахфункцийнтухайтеоремууд

2. Дээд эрэмбийн уламжлалба дифференциал у=f(х) функц [а,b] хэрчмийн цэг бүхэн дээр уламжлалтай байвал у'=f '(x) нь [а,b] дээр тодорхойлогдсон функц болох ба хэрэв энэ функц дифференциалчлагдах байвал түүний уламжлал (f'(х))'-ыг уфункцийн II эрэмбийн уламжлал гэх бөгөөд у" буюуf"(х) гэж тэмдэглэнэ.

3. Энэ ёсоор у" = (у')'болно. у"=f "(х) функц дифференциалчлагдах байвал уг функцийн III эрэмбийн уламжлал гэх мэтчилэн хэрэв уn-1 = f (n-1)(x) функц дифференциалчлагдах байвал уг функцийн n эрэмбийн уламжлалын тухай ярьж болно. Үүнд: yn=[ f (n-1) (x)]I болно.

4. Ж: бол дээд эрэмбийн уламжлалыг ол.

5. Дээд эрэмбийн уламжлалын нэгэн адилаар d(dy)-г y=f(х)функцийн 2-р эрэмбийн дифференциал гэж нэрлээдd2y гэж тэмдэглэнэ. Иймд буюу болно. Мөн болно.

6. Дифференциалчлагдах функцийн тухай теоремууд Теорем 8.1: (Роллийн теорем) Хэрэв у=f(х) функц [а, b] хэрчим дээр тасралтгүй, (а, b) завсарт дифференциалчлагдахаас гадна f(а)=f(b) байвал f '(с) = 0 нөхцлийг хангах с цэг (а, b) завсраас ядаж нэг олдоно. Теорем 8.2: (Лагранжийн теорем)у=f(х) функц [а, b] хэрчим дээр тасралтгүй бөгөөд (a,b) дээр дифференциалчлагдах байвал (1) томьёог хангах с цэг энэ интервалаас ядаж нэг олдоно.

7. Дээрхи теоремын геометр утга нь А(а,f(а));В(b,f(b)) хоёр цэгийг дайрсан хөвчтэй параллель С(с,f(с)) цэгт татсан шүргэгч ядаж нэг байна гэсэн үг юм. (1) тэнцэтгэлээс f (b)-f (а)=f'(с)(b-а)гэж бичиж болох ба үүнийг функцийн төгсгөлөг өөрчлөлтийн тухай Лагранжийн томьёо гэдэг. Теорем 8.3 (Кошийн теорем) Хэрэв у=f(х);у =(х) функцүүд [а,b] хэрчим дээр тасралтгүй бөгөөд (а,b) завсарт дифференциалчлагдаж '(х) 0 , х(а,b) байвал гэсэн нөхцлийг хангах с цэг (а,b) завсраас ядаж нэг олдоно.

8. Лопиталын дүрэм:у=f(х), у=(х) функцүүд х=а цэгийн орчинд дифференциалчлагдах ба(x)0 байг. Хэрэвбуюу Өөрөөр хэлбэл, хэлбэрийн тодорхой биш байвал байна. Үүнийг Лопиталын дүрэм гэдэг.

9. Жишээ1. Жишээ2.

10. Тейлорын томьёо. Хэрэв у=f(х) функц а цэгийг агуулсан ямар нэг интервалд n+1 удаа дифференциалчлагдаж байвал (2) томьёо хүчинтэй байна. Rn(x)-г үлдэгдэл гишүүн гэдэг.

11. Үлдэгдэл гишүүнийг ихэнх тохиолдолд үлдэгдэл гишүүний Лагранжийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. хэлбэрээр авдаг.

12. Тейлорын томьёонд а = 0 гэж авбал болох бөгөөд үүнийг Маклорены томьёо гэнэ. Энд байна.

13. Тейлорын томьёо нь дурын функцийг олон гишүүнтээр илэрхийлэх боломж олгож байна. Иймээс маш чухал томьёо юм.Олон гишүүнт нь бусад функцүүдийг бодоход математикийн янз бүрийн үйлдэл хийхэд хялбар байдаг учир функцийг ойролцоогоор олон гишүүнтээр сольж судлах явдал практик ач холбогдолтой билээ.